回归起点 一以贯之

[摘  要] 数学试题的设计往往会呈现不同数学知识与数学思想方法之间的关联，从而揭示数学知识的整体性和解题方法的一般性. 在实际数学解题教学过程中，教师要善于引导学生从试题的起点出发，关注试题的整体架构，不断优化解题思路，促进学生的深层次思考，提升思维品质，培养学生的创造性思维能力.

[关键词] 整体;原点;关联;一以贯之

试题来源

本题选自2019年武汉市中考数学第23题，其中第（1）问取材于人教版九年级上册第70页第7题图形的变换. 本题第（1）问利用该变换模型设计成一个简单的三角形全等证明，既注重了核心基础知识的考查，同时熟悉的几何图形又能稳定学生的考试情绪，增强考试信心. 后两问都紧紧围绕第一问的基本图形，在去掉旋转后的△BCN的基础上弱化条件（特殊到一般），层层深入，层次分明. 试题注重学生对所学知识的理解，促使学生体会数学知识与方法之间的关联. 揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等[1]，充分体现了试题“源于教材，高于教材”的命题指导思想.

试题呈现

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，=n，M是BC边上一点，连接AM.

（1）如图1，若n=1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直. 求证：BM=BN;

（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q.

①如图2，若n=1，求证：=;

②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）.

试题评析

本题的第（1）问本质就是将△ABM绕点B顺时针旋转90°得到△BCN，学生理清题意直接利用条件证明△ABM≌△CBN即可.

本题的重点和难点是第（2）问中两小问的解答. 显然，第（2）问中两小问的图形均去掉了（1）中△ABM绕点B顺时针旋转得到的△BCN，给人的第一印象是前后相互关联不大，很多学生做第（2）问时就完全不考虑第（1）问这一特殊证明在本题中的作用，直接另起炉灶 “单干”，将一道题拆分为三道题去做. 虽然也有学生能够有效解答，但极大地增加了思维量，在中考这样的大型考试及严格的时间限制下很多优秀学生没能顺利完成解答. 下面就第（2）问中两小问（重点是最后一问）的解法及思考进行探讨.

评析：本题第（1）问给出一个非常简单的全等模型，学生也很容易上手，但从第（2）问就没有了前面的全等模型，结论也变为求线段的比，大部分学生就束手无策了. 而解决这两问的关键是条件“过点B作BP⊥AM”与第（1）问中全等模型之间的关联. 通过分析发现，第（1）问中的两个全等三角形中的一组对应边AM，CN除长度相等外，在位置上还存在着相互垂直的关系，再加上“BP⊥AM”，即CN∥BP，第①问的结论中正好在这组平行线之间，因此只需将第（1）问的模型补齐就能顺利解决;第②问求三角函数，看似与前面关联不大，但仔细比较，可以发现仅仅是弱化了第①问中“n=1”这一条件，回归起点，延续第①问的基本图形及思想方法，即可顺利完成解答.

评析：第①问在巧妙利用结论中证明“比例线段”中比的分点P，通过作平行线构造“X”型相似图形的同时，恰好形成“一线三等角”模型，先通过“X”型相似将转换为，而在“一线三等角”模型中通过△BCD≌△ABM直接转换线段CD即可;第②问求三角函数，直接利用①中的思路从结论入手，借助M是BC的中点作CF⊥BD于点F，同时也将∠BPQ的对顶角∠CPF放在直角三角形中，再通过三角函数亦可直接求解，也避免了思维的跳跃.

评析：以上仅仅是最后一问的三种不同解答，这三种解答都可以不考虑前两问中解决问题的思路与方法，仅仅从本题的内部条件进行挖掘，充分利用“中点”这一重要信息. 其中解法3直接利用中点叠加子母三角形转化相似三角形证明∠BPQ=∠BAC，无须添加辅助线直接解答;解法4、解法5都是借助中点构造中位线的同时很好地将要求的三角函数的角“放在”了直角三角形中，将条件巧妙地“关联”在一起.

题后反思

数学知识之间存在一定的逻辑顺序，试题的设计往往会呈现不同数学知识与数学思想方法之间的关联，从而揭示数学知识的整体性和解题方法的一般性. 本题从学生常见的数学基本图形（源自教材）出发，遵循从特殊到一般的数学思想，逐步弱化条件，综合三角形全等、相似及解直角三角形等核心数学知识. 在实际数学解题教学过程中，教师要善于引导学生从试题的起点出发，关注试题的整体架构，在数学活动中激发学生的学习兴趣，不断优化解题思路，通过优化与类比促进学生的深层次思考，提升思维品质，培养学生的创造性思维能力.

1. 回归原点，一以贯之

从试题的起点出发，注重解题思维的整体性、逻辑的连贯性，回归试题原点，在共性求解的整体视角基础上追求问题的“个性解”，从而快速找到解题最优的路径[2]. 很多学生之所以不能顺利解答后两问，除自身能力因素外，主要是解题过程中将前后几问割裂开来，“各自为战”，极大地增加了数学思维量，以致在短时间内突破的可能性大大降低. 从解法1可以看出：第一问的意义和价值在于体现其“起点”的作用，给考生呈现一种探究式的解题思路（方法），这一思路（方法）在后几问中往往可以“一以贯之”，使學生在规定时间内顺利解答. 因此，在解决几何综合题时教师要多引导学生回归试题原点，整体关联，从试题的起点探寻问题的突破口.

2. 构建模型，优化组合

《义务教育数学课程标准（2011年版）》针对数学课程设计指出：充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质;在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程[1]. 在实际解题中，数学问题往往不是一个单一的几何模型，而是多个模型的叠加. 我们要耐心观察，仔细分析，寻找多个模型之间的“交叉点”[3]. 解法1就是在实际背景中直接借助（1）中的旋转模型“一以贯之”，实现思维的传承，提高了解题的效率;解法2则将“一线三等角”“子母三角形”等模型优化组合，再通过解直角三角形（相似），同样能完成证明及解答.

3. 提炼信息，本质关联

基于核心素养考查的数学命题往往会将各种数学信息通过创设适当的问题情境置于试题之中，教师要引导学生在准确地搜集、整理并提炼出其中的重要信息的过程中抓住这些信息之间的本质联系，从而寻找解决问题的途径. 如上面求解最后一问时，仅抓住“中点”这一信息，解法3通过射影定理转化证明三角形相似，进而证明角相等，直接计算结果;解法4和解法5都是借助“中点”构造中位线转化求解. 学生在信息提炼的过程中抓住问题的本质特征，准确探寻信息之间的关联，从中感悟解题思路的整体性和方法的一般性.

结语

在实际数学解题教学过程中，教师要善于引导学生从试题的起点出发，关注试题的整体架构，注重解题思维的整体性、逻辑的连贯性，不断优化解题思路，促进学生的深层次思考，提升思维品质，培养学生的创造性思维能力.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 曹凤山. 回归原点——化解解题顽症、突破解题教学困境[J]. 中学数学教学参考，2020（29）：1.

[3] 刘光华. 巧“构”几何模型 妙解倍角问题——一道数学试题的解法再研究[J]. 中学数学教学，2019（4）：39-40.