探析反例在初中数学教学中的应用

李如俞

（甘肃省通渭县陇山学校，甘肃通渭 743318）

数学教学中的反例主要是指符合命题条件，但是与命题结论相反的例子。反例在数学教学中的应用优势非常突出，不但具有说服力强的特点，而且可以帮助学生对数学概念、公式、错误问题等建立深刻、具象的认识，培养学生全面考虑问题的思维品质。为此，教师应该充分明晰反例在数学教学中的应用价值，努力将反例引入数学课程的各个环节，使单一的数学教学内容得到补充和拓展，训练和强化学生的数学核心素养与综合思维。下面我们就针对这个目标展开简单教学探析。

一、反例在初中数学教学中的应用价值

要想提高学生的学习能力，仅靠程式化的知识讲授是难以实现的，教师需要抓好思维方面的训练，使学生从多个角度剖析理解数学知识。反例是一种科学有效的思维训练工具，无论在巩固学生数学基础还是提升学生思维延展性上都发挥着举足轻重的作用。经过细致的分析研究，笔者将反例在初中数学教学中的应用价值归纳为以下三个方面：

第一，应用反例可以深化学生对数学概念知识的理解。初中数学课程中涉及的基础概念非常庞杂，且这些概念知识具有一定的相似性，学生在记忆和理解的过程中容易出现混淆现象，直接影响学生的后续运用和学习效果。反例在数学教学中最卓越的一项应用价值就是可以深化学生对数学概念知识的理解，因此教师可以根据不同数学概念点之间的细微差别列举恰当的反例，不仅能够刷新学生对数学概念学习的枯燥体验，也能巩固学生的数学知识链，使学生在难以区分相似概念时能联想到相关反例。这样学生的数学概念体系就不容易出现断层，有利于学生开展其他高阶数学探究活动。

第二，应用反例有助于培养学生的逆向思维能力。逆向思维能力不仅是数学核心素养的重要维度之一，也是学生参与数学探究必备的思维品质，但是大部分初中生逆向思维能力都有待强化，教师必须着力开拓创新的思维培养方法。反例是与命题结论相矛盾的例子，应用反例是培养学生逆向思维能力行之有效的方法。因此，教师在数学推理论证活动中引入反例能够帮助学生从正向和逆向两个视角看待命题，促使学生经历思维发散的过程，又能基于理性思维和逆向思维去判定一个命题的真假，从而不断提升学生的数学素养。

第三，应用反例能够降低学生的错题率。长期以来，学生在数学解题学习中出现错误无法避免，主要原因是数学题目求解需要运用诸多概念、定理和公式，且某项条件发生变化会导致解题思路和结果大相径庭。在学生解题思维不够缜密、基础知识运用欠缺灵活性的情况下，同类错误是难以得到有效规避的。应用反例教学的直观性和说服力非常突出，而且反例对多种数学题型都具有适用性，教师借助反例带领学生辨析数学解题错误，可以使学生对错误原因的印象更加深刻，同时能够做到对知识结构的薄弱环节查缺补漏。这样，学生的解题能力、自我纠错和完善能力都可以得到良好发展。

二、反例在初中数学教学中的应用策略

（一）在概念教学中应用反例，帮助学生轻松理解

上文我们谈到，反例在提高学生对数学概念理解效率方面彰显深刻价值，这主要得益于反例和命题事实相悖的特点，教师在初中数学教学中合理构建反例可以引领学生经历数学概念模型的生成过程，并激发学生的反思意识。这样，学生在理解数学概念遭遇思维障碍时就可以基于反例明确矛盾冲突，从而实现对数学概念的深刻掌握和长时记忆。在初中数学概念教学中应用反例的步骤和方法如下：

第一，了解学生的概念理解难点，列举恰当的反例加以引导。在数学概念教学中应用反例追求针对性和目的性，所以教师必须先了解学生对数学概念中的哪个要素认知理解存在模糊，进而选择最恰当的反例实施教学。具体来说，可以鼓励学生自由发言，阐述自身对数学概念的存疑之处，然后教师将这些疑难问题罗列在黑板上，留作后续的反例列举依据。接下来，在选择和列举反例时，教师应该根据学生的概念理解难点甄别采用基本形式反例、条件变化型反例或者是充分条件、必要条件假设判断型反例。比如，学生对数学概念的生成条件认知不够透彻，这时教师就可以列举条件变化型反例，直接攻破学生的理解障碍。

第二，出示反例，组织学生对数学概念自主构建。教师根据学生实际情况初步确定概念教学所用的反例之后，可以应用多媒体投屏工具出示反例。比如，在学生学习图形概念遇到难点时，教师就可以结合图形特征设计几个符合图形特征判定条件，但不符合概念结论的反例选项，同时在电子白板投屏上展示几个直观的图形，让学生分小组合作观察图形、思考和辨析反例。如果各小组对图形概念存在争议，教师还可以鼓励组间开展辩论活动，引导各组学生应用反例印证自身结论、说明理由并说服其他组员消除对图形概念的错误认识。这样，学生就能够顺利借助反例实现对数学概念的自主构建和透彻掌握。

第三，对于学生容易混淆的数学概念，分别跟进反例讲解。随着数学教学的持续推进，学生需要掌握的概念知识点越来越多，教师也发现学生对区分相似概念存在困难。针对这种现象，教师需要在日常教学中加以留心，把学生经常混淆的数学概念归集汇总起来，如有理数、无理数和实数的概念，相反数、倒数和绝对值的意义概念，矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定条件以及三者的关系和区别等等。将这些相似概念整理成条分缕析的微课件，在每一组相似概念后方都标注一个简明恰当的反例，播放微课件鼓励学生小组合作探讨，还可以让学生根据自己对相似概念的理解列举更多反例，进而准确区分相似数学概念。

（二）在命题辩证中应用反例，提高学生判定能力

初中数学教学中涉及很多真假命题的判定。对于真命题，大部分学生可以运用正向思维或是正面例子加以判定，但是数学课程中也不乏假命题的存在，在学生正向思维形成定式的条件下命题辩证就会遭遇阻碍，影响学生数学思维的和谐发展。反例在数学命题辩证中的实用性很强，尤其可以打破学生的思维定式，提高学生的命题判定能力和推理论证能力，使学生养成正向和逆向思维相结合的数学探究习惯。在初中数学命题辩证中应用反例的具体步骤和策略如下：

第一，应用反例引导学生明确并不是所有命题结论都是成立的。学生命题判定思维形成定式的最主要表现是接触太多真命题，所以在命题辩证中总是习惯性地认为命题结论成立，所以教师在应用反例时应该多引入一些假命题，出示假命题之后先留给学生几分钟合作思考和讨论的时间，然后让学生呈现讨论结果。此时，学生的命题判定结论大多存在分歧，教师就可以适时出示反例。比如，在菱形和矩形特征判定的假命题中，教师就可以列举“所有边都相等的多边形一定是正多边形”的反例，紧接着让持不同意见的学生重新思考和判定命题，使学生逐步意识到命题结论不一定都成立，并掌握基于反例辩证判定命题的一般方法。

第二，向学生渗透应用反例辩证命题的技巧。应用反例辩证和判定命题的真伪，其路径和方法不是唯一的，教师在渗透技巧指导时可以应用具体数值代入法和画图法。在应用具体数值代入法时，教师可以向学生出示字母类命题，然后引导学生把命题中的字母替换成具体数字，检验命题的结论是否成立，如果成立命题就是正确的，反之命题错误。教师还应该重点指导学生注意特殊值“0”，这是因为很多字母命题代入“0”进行计算，命题结论是否成立就可以一目了然。在应用画图法时，教师可以出示几何图形类命题，引导学生合作观察和分析命题，根据命题设置的内容在演算纸上画出具象直观的图示。比如，在关于“同位角相等、三角形全等”的命题判定中，画出具体的图示后，学生就可以对命题真伪做出迅速、准确的辩证和判定。

（三）在解题教学中应用反例，降低学生的出错率

学生在数学解题中的错误情况屡屡发生，教师要合理地利用反例开展教学活动，降低学生的出错率，锻炼学生的审题和解题能力，从而突出反例在数学教学中的实践价值。将反例引入初中数学解题教学中的路径和方法主要有以下两条：

第一，在方程解题教学中运用反例。方程在初中数学解题教学中占据重要地位，但是由于一些学生对一元一次方程和一元二次方程的解题方法掌握不到位，容易出现解题错误。为此，教师可以先向学生讲授两类方程题的解题步骤和方法，然后再出示几道经典例题，让学生分小组合作解题。各组学生初步求解之后，教师让每组派代表将解题过程和结果呈现到黑板上，鼓励学生详细探讨出错的原因，让学生自主分析对方程式解题定理运用的薄弱点。这样，学生就可以加深印象，有效规避常见错误。

第二，在应用题审题分析中采用反例。数学应用题解题教学中的审题环节十分关键，教师可以根据应用题给出的数量条件设计几个条件改变型反例，把原始题目和反例同时出示给学生，让学生分组观察、分析、判断条件变化后应用题的求解结论是否还成立，鼓励学生说出结论或其中存在的矛盾，并在演算纸上列出正确的数量条件和逻辑关系，引导学生联系反例思考和明晰题目求的到底是哪项条件、属于哪类应用类问题，比如路程、时间、植树等等，最后再运用对应公式、代入具体的数量条件列式解题。这样，即便是数学应用题的各项条件千变万化，学生也能从反例的角度严谨审题、减少解题错误的发生。

（四）在知识巩固中应用反例，增强学生学习效果

初中数学教学是一个动态化过程，随着学生吸纳的数学知识点和技能越来越多，教师也应该着力跟进复习和巩固教学，促进学生数学学习效果的增强。反例具有良好的教学辅助和补充作用，适合教师在数学知识巩固中应用。具体的反例应用策略如下：

第一，应用反例考查学生数学知识体系中的疏漏点。教师可以根据学生以往学过的数学知识设计一组由正面例子和反例混合组成的命题组，然后让他们互相问答判断每个命题选项的正确性，边判断边说出相关的概念、定理和公式依据。如果学生说不出判断依据，则代表学生对数学基础知识掌握不扎实，教师应该把这些判断错误的反例命题单独提炼出来讲解，引导学生运用所学知识正确区分正例和反例，使学生知识体系中的漏洞得到弥补。

第二，编制反例复习合集。在应用反例巩固学生数学知识的过程中，教师还可以采用编制反例复习合集的方法将学生认知理解模糊或是容易忽略的知识点整理出来，并在每个知识点后面列举几个反例。比如，在轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形的概念复习中，教师可以如法炮制编制反例合集，然后组织学生自主复习、自主研究反例，还可以把电子版反例合集下载到学习优盘中，方便日后复习巩固。这样，学生的数学基础势必能得到长效强化。

（五）在拓展训练中应用反例，强化学生逆向思维

拓展训练是初中数学课程中的关键环节，以往教师在拓展训练中采用的例题，大多是题目条件和结论相一致的正例。这种教学模式对于训练学生逆向思维效果不够明显，因此要想真正实现具有拓展性和发散性的思维训练，教师采用反例教学法是十分必要的。在初中数学拓展训练中应用反例的策略如下：

首先，教师应该根据数学课程的具体训练目标，先向学生提出一个命题判定问题，如判定命题“一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形”的真伪，然后让学生分组口头交流，再引导学生根据题设应用尺规作图，使学生从逆向思维出发利用图示自主构建反例，从而验证对命题真伪的猜想和论断。在此基础上，教师还可以鼓励学生结合题设条件列举同类反例，并针对每个反例编制一道简单的练习题。学生能够列举一些反例和习题，就证明他们已经养成良好的正向、逆向思维结合习惯，同时反例教学的实践目的也就达到了。

三、结语

总而言之，在初中数学教学中应用反例不但可以增强学生对概念、公式、定理的记忆，培养学生的逆向思维，还能降低学生的出错率。因此，教师应该根据数学教学需求在概念教学、命题辩证、解题教学、知识巩固以及拓展训练中引入反例，全方位完善学生的数学知识体系和思维品质，避免学生陷入非理性的数学探索和思考误区，从而真正达到去伪存真的教学效果。