利用函数教学培养学生数学建模素养的策略

王均芳

（甘肃省通渭县第二中学，甘肃通渭 743300）

在数学教学中函数属于一种可以直观反映事物变量关系的数学模型，所以函数课程十分适用于培养学生的数学建模素养。教师合理利用函数教学优势将建模思想渗透到数学教改工作中，不但可以活化学生的数学抽象思维，也能使学生一目了然地掌握数学问题中的变量关系，从而增强学生对函数模型的实践运用能力。为此，教师应该明确利用函数教学培养学生数学建模素养的必要性，同时采取创新的教学举措同步发展学生的数学建模兴趣和能力，以期实现对学生数学建模素养的高效培养。下面我们就对这个目标展开教学策略研讨。

一、利用函数教学培养学生数学建模素养的必要性分析

所谓数学建模，就是通过建立数学模型分析和解决实际的数学问题。函数是一种最具代表性的数学模型，在发展学生数学建模素养方面发挥重大作用，值得教师广泛运用。经过细致的分析研讨，我们将利用函数教学培养学生数学建模素养的必要性总结为以下三点：

第一，函数教学是锻炼学生数学建模素养的主要途径。函数是数学课程中最常见的数学模型，可以用解析式、图像以及表格表示，主要用于描述数量变化过程中常量和变量之间的关系，这一点与学生数学建模素养培养需求相适应。基于此，函数教学是锻炼学生数学建模素养的主要途径，教师在带领学生从定量角度探究数学问题时，可以将函数作为主要工具，通过建立、求解函数模型帮助学生发现其中潜在的变量关系，使学生习得科学的建模方法。这些都是学生数学建模素养得到顺利培养的重要标志，同时也能发挥函数教学的实际价值。

第二，利用函数教学策划建模活动，可以增强学生解决实际数学问题的意识和能力。教师培养学生数学建模素养的主要意图是引导学生对数学知识技能加以运用，锻炼学生解决实际问题的能力。利用函数教学策划建模活动可以使学生将实际数学问题中的变量条件和函数模型联系起来思考，通过简化假设、建构模型刻画量与量之间的关系，然后再列出函数模型解析式求出模型结果，利用结果去解答实际数学问题。在这个过程中，学生的数学建模素养、思辨能力、解决问题的能力都会得到显著强化。

第三，利用函数教学培育学生的数学建模素养，有助于提高数学知识的输出效率。函数模型和不等式、方程之间联系极为紧密，教师利用函数教学培养学生的数学建模素养，可以将生活中的函数关系具象地呈现给学生，提升学生的建模意识和模型运用思想，使学生深刻体会到函数模型的意义和价值。这些都有助于提高数学知识的输出效率，促进学生对函数建模技能的掌握，因此教师应该积极依托函数教学发展学生的数学建模素养。

二、利用函数教学培养学生数学建模素养的策略

（一）分析函数课程和学情，策划科学的数学建模素养培养方案

要想利用函数教学高效培养学生的数学建模素养，教师必须先落实函数课程和学情分析工作，策划科学完整的数学建模素养培养方案，最大限度地发挥函数课程的建模教学价值。为此，笔者建议教师从以下三个步骤入手开展学生数学建模素养培养的前期准备工作：

第一，分析整合函数课程资源。教师可以通过备课将数学教学中所涉及的函数课程资源汇集起来，包括与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数相关的图像、性质以及概念，分析每种函数模型在解决数学问题中的优势和作用。比如，一次函数和二次函数可以用于描述和解决路程问题等等，并将分析结果整理成文字材料作为开展学生数学建模素养培养教学的依据。

第二，分析学生的函数认知和数学建模基础。教师可以通过日常教学以及和学生的实际交流考查和了解学生对函数知识的掌握情况以及关于数学建模活动的参与经验。教师采集学情信息完毕后，应该按照不同的能力素质对学情信息分门别类制成表格，比如将逻辑推理能力、绘图能力、抽象概括能力以及数学表达能力作为考查指标，分析学生的函数认知和综合能力是否满足数学建模教学的开展需求，重点明确学生数学建模基础的长项和弱势，以便针对性制订函数建模教学方案。

第三，策划设计基于培养学生数学建模素养的函数教学导学案。教师应该根据函数课程特性以及学情基础设计数学建模素养培育导学案。比如，教师在确定数学建模导学案的主体内容和结构时，可以把函数教学划分为问题导入、简化假设、合作探究求解、归纳建模方法、函数建模拓展运用五个环节，同时结合应用电子白板、“互联网+”数据库等信息化设备和资源，从而为利用函数教学培养学生数学建模素养落实先决条件。

（二）创设生活化问题情境，激发学生的数学建模兴趣

在利用函数教学培养学生数学建模素养过程中，教师应该从学生熟悉的生活经验出发，通过创设生活化问题情境的方式引出建模研究内容。这样一来可以激发学生的数学建模兴趣，二来也能帮助学生建立对函数模型的具象认识，从而确保数学建模素养培养教学的顺利开展。具体的教学步骤如下：

第一，基于日常生活设计函数问题情境。教师应该截取一个生活片段设计问题情境。比如，教师可以根据生活中汽车行驶速度和油耗的数据信息设问：“同学们，你们知道汽车行驶速度和油耗之间的关系吗？保持怎样的行驶速度汽车才能更省油呢？”在这个情境中，教师可以为学生提供3～5 分钟自由讨论的时间，启发学生从函数的角度思考上述问题，初步激活学生的函数模型建构思维。

第二，利用多媒体设备展示原始数据图。教师在创设问题情境阶段向学生出示的是数据信息。接下来，教师应该利用多媒体设备将原始数据转化为图表形式呈现给学生，比如平面直角坐标图等，将问题情境中具体的数量条件运用字母和数字标注在坐标图上，然后鼓励学生分析问题条件，尝试在演算纸上画出简易的平面直角坐标系并描出各点位置，引导学生体会由形到数和由数到形的数学建模思想，使学生顺利将生活问题转变为数学问题。

（三）引导学生合理假设，初步建立数学函数模型

利用函数教学培养学生数学建模素养导学案中的第二个环节，就是引导学生针对问题情境做出合理的假设或猜想，初步建立数学函数模型。相关的教学步骤如下：

第一，教师应该指导学生在先前画出的平面直角坐标系上运用平滑的曲线把已经确定好的各点位置连接起来，这样一个完整的函数散点图就完成了。接下来，教师继续提出问题：“同学们，散点图画好了，那么之前的问题是否能用函数模型来解决呢？请大家观察散点图，结合问题情境中的数量条件，预测和假设解决问题的函数类型。”学生经过对图像曲线的观察和思考，一致认为函数模型可以用于解决先前的问题，但是对于预估采用哪种函数模型仍然存在较大的争议。

第二，学生在函数模型的假设和预测阶段普遍存在不确定性。大部分学生认为问题情境的原始数据图以及散点图和二次函数型、幂函数型、对数型以及指数型函数都具有相似之处。基于以上情况，教师不必急于揭晓答案，而要引导学生将所有猜想到的函数模型构建出来，以便学生在后续探究中找出最优的解题函数模型。

（四）组织学生小组合作探究，利用函数模型解决问题

在利用函数教学培育学生数学建模素养的过程中，学生对采用哪种函数模型进行解题持不同意见，这是教师开展小组合作探究的绝佳契机。教师可以让学生根据自身的建模猜想划分为若干小组，利用函数模型解决问题，比一比哪个小组的解题效率最高，评判出最佳的函数模型。这样，学生的数学建模素养、合作探究能力以及思考辨析能力都能得到良好发展。具体的探究步骤和内容如下：

第一，各组学生合作求解所预估的函数模型。教师可以启发学生将问题数量条件和原始数据点代入函数模型解答中，引导学生应用待定系数法先列出函数模型解析式，再求出猜想函数模型的结果。在此过程中，教师可以应用电子白板投屏展示几个初等函数图像，让学生在求解函数模型时能够综合考虑实际问题的条件以及原始数据信息和模型曲线的拟合效果。这样，学生的数学建模能力、模型求解能力和图像数据分析能力都能得到锻炼。

第二，各组学生展示函数模型求解答案，评选最佳函数模型。教师可以先让各小组呈现模型求解成果，并阐述选择该函数型作为解题模型的理由以及解题思路。学生一边阐述，教师一边应用电子笔在电子白板上把相关概要快速整理记录下来，将其作为后续的分析和评判依据。各组学生展示和阐述完毕后，教师重新出示原始问题的数据散点图，让学生思考一个问题：“对于散点图中没有表现出的剩余点位来讲，哪个函数模型解析式适用性更高且结果误差最小，比如针对工厂产品生产销量预测问题，哪个函数模型求出的结果最接近客观实际。”最后，教师就可以让各小组带着这些问题展开探讨，引导学生通过运用定量分析和定性分析法共同评选出最优的解题函数模型，同时让学生尝试从数和形两个角度评价每种函数模型在解决具体问题中的优势或劣势，将数学建模经验回扣到实际问题中，得出最终的问题探究结论，从而加深学生对函数模型种类、应用场景的了解和认识，提升学生的数学建模素养。

（五）绘制思维导图归纳建模过程，促进学生数学建模方法的掌握

在经历了运用函数模型解决实际问题的过程之后，学生脑海中接收到的知识点和建模技能较为杂乱，这时教师应该通过绘制思维导图的方式带领学生梳理和归纳建模解题过程，促进学生对一般数学建模方法以及函数模型辨析技巧的掌握，从而增强学生数学建模素养的发展效果。具体的导图绘制方法如下：

首先，教师可以在电子白板上出示树状或者洋葱型思维导图模板，然后引导学生回顾应用函数模型解决实际问题的过程，并将最关键的几个建模步骤简略地写在演算纸上。接下来，教师可以通过问答形式带领学生共同补充思维导图中的空白部分。拿树状思维导图来讲，教师可以手指导图的主干部位向学生提问：“同学们，这个位置是本课研究的实际问题，你们还记得吗？”学生非常踊跃的复述了相关问题，教师应用电子笔进行记录和填充，紧接着出示和问题对应的原始数据图，针对树状思维导图的其他分支部位继续向学生提问：“那么同学们是否能够归纳，将实际问题转化为数学问题的方法和过程以及预估和拟定函数模型、解析式、求解的过程？”这个问题稍显复杂，教师可以让学生分组讨论，并把讨论结果补充到思维导图的分支结构中。这样，利用函数模型解决实际问题的一般步骤就非常直观地呈现在学生眼前，促使学生的数学建模素养以及归纳总结能力得到进一步发展。

（六）开展函数应用类练习，培养学生的数学建模素养

利用函数教学提升学生的数学建模素养，追求的是引领学生对函数模型甄别、模型建构技能的学以致用。为此，在归纳建模方法环节结束后，教师应该跟进并组织学生开展函数应用类练习，巩固提高学生数学建模素养、函数模型实践力的培养效果。在具体的教学操作上，教师应该设计和函数教学研究内容类似的生活应用问题，比如设定一个产品促销情境，为学生提供产品销售单价、固定成本、日均销售量等数据信息，然后鼓励学生应用函数模型对问题数据做出表示和分析，探究如何调整产品定价才能实现促销利润最大化。在学生练习的过程中，教师可以启发学生根据不同函数模型的解题优劣势，甄别采用最佳的函数模型，引导学生先建立函数模型，再列出解析式求出结果，最后把结果代入促销情境中，检验函数模型所求出的结果是否合乎实际问题的客观条件，如果符合就是可用结果，如果不符合教师应该和学生共同探究，找出并改正建模和解题过程中的错误环节，从而在实践运用和反思中驱动学生数学建模素养的完善。

三、结语

综上所述，函数教学是培养学生数学建模素养的重要平台和途径。教师合理利用函数教学既可以锻炼学生应用函数模型解决实际问题的能力，也可以加速学生对函数知识的领会和吸收。因此，教师应该落实函数课程和学情分析工作，精心策划数学建模素养培养导学案，创设生活化问题情境，按部就班地带领学生建立函数模型、探究最佳的模型解题思路，同时通过归纳函数模型建构过程、开展函数应用练习等活动，全面培育和强化学生的数学建模素养。