以导数为“工具”解答函数问题

常丽

导数是解答函数问题的重要工具，尤其在解答一些含有高次函数式、指数函数式、对数函数式的复杂函数问题时，灵活运用导数知识，可使问题顺利获解.下面重点谈一谈如何运用导数知识解答两类函数问题.

一、求函数的最值

在求函数的最值时，我们经常要用到导函数与函数的单调性之间的关系：若f′x>0，x ∈a，b，则函数 f x在a，b上单调递增;若f′x<0，x ∈a，b，则函数 f x在a，b上单调递减，以及极值的定义.运用导数知识求函数最值的步骤如下：第一步，对函数求导，得到f′x;第二步，令f′x=0，解得 x 的值 x0;第三步，讨论 x0的左右两侧的f′x的符号，确定函数在对应区间内的单调性.若函数 f x在 x0两侧的单调性为“左增右减”，则 x0为函数 f x的极大值点，若函数 f x在 x0两侧的单调性为“左减右增”，则 x0为函数 f x的极小值点.再将极值与函数定义域上的端点值进行比较，即可求得函数的最值.

例1.

解：

本题采用常规的方法求解较为困难，运用导数与函数单调性之间的关系、极值的定义可使问题顺利获解.在求极值时，用表格的形式呈现自变量、导函数、极值之间的变化情况，有助于快速找到极小值点、极大值点.

二、证明函数不等式

证明函数不等式问题在函数问题中比较常见.在   &nbsp;  解题时，可从函数不等式的结构特点出发，构造出新函数，然后对函数求导，通过研究导数的性质判断出函数的单调性，再利用函数的单調性去掉函数符号 “ f ”，得到新不等式，通过解不等式来证明不等式成立.或将问题转化为最值问题，若证明 f（x）>g（x）（x ∈D），则令 F（x）=f（x）-g（x）， x ∈D，只需证明 F（x）min >0（x ∈D）;若证明 f（x）<g（x）（x ∈D），则令 F（x）=f（x）-g（x）， x ∈D ，只需证明 F（x）min <0（x ∈D）.

例2.设函数 f（x）=ax2-a -lnx，其中 a ∈ R .（1）讨

论 f（x）的单调性;（2）证明当 a∈ ë（é），+∞ø（ö）时，f（x）> -e1-x 在（1，+∞）上恒成立.

证明：

我们将不等式变形，构造出函数 g（x）、 h（x），将问题转化为求 h（x）=f（x）-g（x）的最值问题.利用导函数与函数单调性之间的关系判断出函数 h（x）、f（x）、 g（x）的单调性，求得 h（x）在区间（1，+∞）上的最小值，进而证明不等式成立.

总之，在解答函数问题受阻时，同学们要学会将问题与导数知识关联起来，如将函数的单调性与导函数与函数的单调性之间的关系关联、将最值与极值关联，这样便能借助导数知识轻松地破解难题.

（作者单位：安徽省阜阳市红旗中学）