正方体截面的作图方法探究

范谢艳

（韶关市第一中学，广东 韶关 512000）

三维空间是人类赖以生存和发展的现实空间，无论是日常生活还是科学研究，空间能力都应成为一种必备素养.数学教育历来就承担着培养和发展学生空间能力的任务.如1963年中小学数学教学的能力培养任务改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力”；2003年的《普通高中数学课程标准（实验）》中指出“三维空间是人类生存的空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”.

1 研究背景

《普通高中数学课程标准（2017年版）》附录2“教学与评价案例”（第11个案例）中对“正方体截面问题”作了重点介绍，即主要通过一系列逐层递进的问题串，引导学生观察、发现、提出并解决问题，在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等能力，积累数学探究活动经验.对于培养学生的自主学习能力、实践能力和创新能力具有重要意义［1］.

目前，正方体截面的问题在当前几种常见版本的高中数学教材中并没有直接呈现，也没有可以借鉴的校本教材，国内外文献对正方体截面问题的研究也较为缺乏.而历年数学高考试题涉及“正方体截面问题”的考题出现的频率较高且难度偏大，导致很多学生因其偏难而被迫放弃.

针对上述现实问题进行数学抽象，在实际情境中发现问题、提出问题、分析问题，建立数学模型解决问题，着力培养学生运用“线线、线面和面面”的数学知识解决正方体截面问题，在实践中培养和发展创新能力、感悟模型思想的数学魅力.

2 构建模型

截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.

理论基础：主要依据立体几何的三个基本事实及线面平行两个性质定理［2］.

模型分析：作正方体截面图形的关键是找出截面与正方体表面的交线，而找交线的关键是确定截面与正方体棱的交点.

（1）平行法模型.平面EFG与平面ABCD有公共点E，且直线FG//平面ABCD，则根据基本事实三和定理1可知两平面的交线l过公共点E且与直线FG平行，如图1所示.

图1

（2）相交法模型.平面EFG与平面ABCD有公共点E，但是两个平面内均不易找出现成的直线与另一个平面平行，此时，可以延长FG与平面ABCD交于点H，连接EH，由基本事实三知其为两平面的交线，如图2所示.

图2

（3）平行四边形法模型.在A1A的延长线上任取点E，在BB1、DD1上任取点F、H，连接EF交AB于点G，连接EH交AD于点I，以EF、EH为邻边构造平行四边形，可以得出截面与正方体其它棱的交点，如这里的点J，依次连接各交点，五边形GFJHI即为正方体截面图形，如图3所示.

图3

此方法比较适用于截面图形是五边形、六边形这种复杂一点的截面图形.因为五边形截面、六边形截面中，两不相邻边的延长线的交点一定在正方体棱的延长线上［3］.

3 应用模型

为了更好地诠释过正方体棱、面、体上不共线三点的截面图形作法，下面展示以下几种常规作图题型.

3.1 截面经过的三个已知点分别在正方体的棱上

（1）已知的三点E、F、G中任意两点的连线都在正方体的表面上，直接两两连接即得截面图形，如图4所示.

图4

（2）已知的三点E、F、G中任意两点的连线恰有两条在正方体的表面上，由平行法或相交法可得截面图形（如图5所示）.

图5

平行法思路：连接GF，在平面ABB1A1内过点E作EH∥GF，并交AA1于点H，则四边形EFGH为所求的截面图形.

相交法思路：连接FE并延长交DA的延长线于点H，连接GH交AA1于点I，则四边形EFGI为所求的截面图形.

（3）已知的三点E、F、G中任意两点的连线恰有一条在正方体的表面上，由相交法（作图思路略）或平行四边形法可得截面图形（如图6所示）.

图6

平行四边形法思路：连接FG并延长，交DD1的延长线于点P，连接PE交A1D1于点H，则点H为截面上一点，以PE、PF为邻边做平行四边形PEQF，则QF与BC的交点I也为截面上的点，则五边形EIFGH即为所求的截面图形.

（4）已知的三点E、F、G中任意两点的连线都不在正方体的表面上，可以通过做辅助平面的方法转到相交法来处理（如图7）.

图7

在平面A1B1C1D1内过点G作GH∥A1B1，交B1C1于点H，连接HB并延长交GE的延长线于点I，连接IF交BC于点J，连接EJ并延长交DC的延长线于点L、交DA的延长线于点K，连接KG交AA1于点M，连接LF并延长交D1C1于点N，则六边形EJFNGM为所求的截面图形.

有了前面的平行法、相交法、平行四边形法3种作截面图形的模型介绍，对经过正方体棱上不共线三点的截面图形作法，学生不难领悟.

3.2 截面经过的三个已知点中至少有一点在正方体的面上，其余点在正方体的棱上

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为其上底面一点，点F、G分别为棱AA1、BC上的点，如图8所示，试作正方体ABCD-A1B1C1D1过点E、F、G的截面.

图8

作法提示：作EE1∥AA1并交平面ABCD于点E1，连接EF、E1A并使其延长线交于点S；连接SG交AB于点L，易知点L为截面上一点；连接LF并延长交B1A1的延长线于点P，连接PE并延长，交A1D1于点M、交C1D1于点N，则点M、N为截面上的点，以PN、PL为邻边做平行四边形PLQN，则QN与CC1的交点R也为截面上的一点；依次连接各交点，则六边形MFLGRN即为所求的截面图形.

当点不在棱上，而在面内时，可以借助构造新的平面，将点转到棱上来，继而用平行法、相交法、平行四边形法作截面图形［4］.

3.3 截面经过的三个已知点中至少有一点在正方体的体内，其余点在正方体的棱上

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为其体内一点，点F、G分别为棱AA1、BC上的点，如图9所示，试作正方体ABCD-A1B1C1D1过点E、F、G的截面.

图9

作法提示：过点E作平面ABCD的垂线，垂足为H，连接HA并延长，交EF的延长线于点I，连接IG交AB于点J，连接JF并延长交B1A1的延长线于点K，过点K作JG的平行线，交A1D1于点L，交D1C1于点M，过点M作FJ的平行线，交CC1于点N，则六边形FJGNML为所求的截面图形.

当有点在体内时，可以类似题型二，借助做辅助面将体内的点转到面上，继而转到棱上.

4 完善模型

正方体截面的作图方法，是以立体几何的三个基本事实和线面平行的两个性质定理为理论基础的.因为不在同一直线上的三点确定一个平面，所以在正方体空间内，过空间任意不共线三点的平面一定与正方体相交，从而有截面图形.

正方体六个面将空间分成27个子空间，同时它自身有8个顶点、12条棱、6个面，任意三点的位置可能有种.虽然对于两个或者三个点在面内或者体内的情形本文没有过多涉及，但可以通过降维的思想，借助作平行面、平行线等手段，将点在体内的问题转成面内的问题，再转成棱上的问题，通过“平行法”“相交法”“平行四边形法”等方法得到截面图形.

鉴于正方体截面的探究问题在当前几种常见版本的高中数学教材中没有直接呈现，也没有可以借鉴的校本教材.本文着重探究正方体的截面图形的作法，一方面可以为一线教师在这方面的教学工作提供方法借鉴；另一方面可以为学生在这方面的自主学习提供方法指导；更重要的是对当前的高中数学教材在截面内容做到一个补充和延伸，有利于培养学生的四基和四能，提升学生的数学素养［5］.