基于卡式光学天线的出射端优化研究

赵 康

（中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西 西安 710043）

光学天线又称望远系统，一般由主副两部分光学镜片构成，通过扩大光束腰半径来实现高斯光准直整形，在空间光通信准直上具有广阔的应用前景。学者们基于光学天线理论进行了一定程度的研究。王红亚等[1]设计的收发分离伽式光学天线实现1 mrad的发散角压缩。江萍等[2]将光学天线在收发合一的基础上设计成五倍扩束，发散角达50μrad。针对径向辐射光源，穆志豪[3]用卡式天线准直，并探究弧矢面发散角和光源半径的函数关系。

目前的研究多是针对于光参数积较小即波长较短的准平行光束进行mrad量级压缩，往往为追求小发散角而无限扩大出射端面光腰尺寸，忽视出射端面过大造成的接收端面积大幅增加的缺陷[4]。本文基于光参数积不变理论和几何光学知识构建出射端和接收端之间的函数模型，求得放大倍数的最优解，从而解决了2μm波段在限定光程内接收端面积过大的问题。

1 光发散角概念及光束整形原理

1.1 高斯光束发散角

自由空间中高斯光束沿着z轴传播，其电场振幅表达式：

其中：exp[-r2/ω2（z）]表示光束遵照高斯函数形式，光场幅度向外降低。ω（z）为光束横截面模型，即光腰半径。当z=0时，ω（z）降至ω0，此称作衍射极限下高斯光的束腰半径。光腰半径随着z向两侧延展而扩大，在z轴共面方向上，ω（z）呈双曲线形状[5]，如图1所示。分布ω（z）形式满足：

图1 高斯光束束腰与半发散角示意图

双曲线渐近线与光束外延传播方向的夹角为高斯光半发散角θ/2，其正切值：

任一点处光腰半径ω（z）满足：

当z=∞时，此时观测点远大于瑞利距离，属于远场，发散角θ=λ/πω0。

可以看到，在远场基模高斯光发散角θ与束腰半径ω0近似满足反比关系。常见的光束整形大多基于卡塞格伦光学天线扩束系统对束腰大幅增大，继而转化为对发散角的压缩。

1.2 光参数积

光学中将远场发散角和束腰尺寸乘积称作光参数积（Beam Parameter Product，简称BPP）。由基模高斯光学的性质可知，BPP为定值[6]，即：

其中：ω0、θ0分别表示经光学整形前的束腰半径和光半发散角；ωf、θf分别表示通过光学整形后的束腰半径和光半发散角。2μm高斯光因其独特的波长，致使光参数积较常见波段更大，所以整形难度更大，要求更高。

2 卡式光学天线小型化设计

2.1 卡式光学天线存在问题分析

过往的卡式天线通常为获得极小发散角压缩，从而大幅增加扩束倍数，使得发射端主反射镜上的出射光的光腰半径大幅增大。这类整形方式较适用于超长距离空间光通信，当光传输路径限定在数公里内，缺陷主要体现在：

（1）发射端主镜孔径过于臃肿，实验调节不便且研制成本高昂。较大的孔径间接增大了主镜的氧化、磨损接触面，致使系统性能因外力细微变化而敏感度受影响。

（2）中短距离光程内，由于收发两端光腰孔径为厘米级，因此忽略光束孔径将其视作点光源的建模思路已不再适用。经数公里光程后的接收端孔径，主要基于发射端的直接垂直投影，此外存在由发散角引起的扩张量。因此发射端主镜出射的光腰尺寸越大，则直接导致接收端光腰尺寸更大。基于第二点开展探究。

情境一：按比例增大卡式天线主镜侧的出射光束腰半径，继而其在接收端的垂直投影光腰半径也呈比例增大，此时发散角呈相应比例缩小。远场传播的高斯光模型简化如图2所示。根据几何光学分析可知接收端垂直投影两侧的边际张量与发散角正弦值正相关，即发散角正弦值减小其相应减小。此时发射端光腰尺寸成为影响接收端光腰孔径的主要因素。

情境二：当主镜侧出射端光腰半径减小时，其在接收端的垂直投影尺寸会同时变小。由于光参数积不变，此时发散角会迅速呈反比扩大，在远场由发散角带来的光腰孔径额外扩张量会随之大幅增加。此时，接收端光斑孔径主要决定于发散角的增大所带来的光斑边际扩张量。

大孔径发射端的卡式天线显然属于第一类情况，其主要基于利用极小发散角产生的相应小的光腰边际扩展量，来制约接收端光腰孔径，其牺牲了对初始的出射光腰孔径的控制[7]。这种思路适用于长距离传输，但对于限定光程如2 km内的空间光通信，盲目扩张发射端孔径显然在很大程度上会造成接收端光斑过大。因此，对于限定光程的光传输来说，如何在出射光腰孔径和发散角之间寻找平衡，使得2 km处接收光斑孔径最小，是本论文着力解决的问题。

2.2 卡式光学天线小型化建模

光学天线出射端的孔径主要由光腰放大倍数决定，本论文基于发射端放大倍数N和接收端光腰孔径D构建函数模型。发射端主镜的光腰孔径由入射到次镜光腰尺寸和放大倍数直接决定，而入射到次镜上的腰斑直径由初步准直效果直接决定[8]。2 048 nm波长的光束经非球面透镜（折射率n=1.516 8，后表面曲率半径r=-13.2，焦距f=25.545）一次准直后，半发散角为0.014°，光腰截面直径为3.2 mm。光束照射至次镜会反射至主镜产生光束发散，光腰直径扩N倍，此时发射端主镜处的光腰孔径即为3.2N mm。高斯光沿z轴方向延伸，由于发散角的存在其孔径逐渐扩张。根据束腰定义，其位于镜片焦点处，故束腰处光腰直径为3.2N+δ。而光学天线焦距f较之于传输光程2 km来说极小，故δ可忽略不计，近似认为经过扩束的高斯光束腰位于主镜端面。此时半发散角被压缩N倍至0.014°/N。

由瑞利判据，高斯光在远场传输时，其边际光线转变为直线。根据几何光学投影定理和正弦定理构建方程，在2 km处的接收端，除光束垂直投影外，由0.014°/N半发散角引发的光斑边际扩展量满足关系：

其中：d为接收端额外扩张产生的光腰孔径。则两侧光腰尺寸扩张量：

则接收端光腰的总直径：

借助MATLAB绘制N与D的超越函数关系曲线，如图3所示。

图3 主镜放大倍数与接收端光腰直径的关系

图3横坐标出射端主镜放大倍数N，纵坐标为接收端光腰直径ω。可以看出，二者函数关系曲线近似为中部凹陷的倒U形曲线。当N取17时，接收端光腰直径取得极小值。当N小于15，特别是小于10时，接收光腰孔径D会随着放大倍数N的降低而迅速增大。此时为讨论的第二种情况，即发射端光腰尺寸较小，其接收投影也减小。发散角的迅速增大，成为制约接收端光腰孔径的直接因素。当N大于17时，尤其是大于40时，其接收光腰孔径D随着放大倍数N的增大而迅速增大，此时代表第一种情况，即放大倍数过大，发散角影响的边际扩张量极小，但出射光腰孔径过大，其垂直投影成为制约光腰孔径的直接因素。综上，当放大倍数N=17时，接收端光斑直径取最小值，约为108 mm。放大倍数取15～25时，光斑半径误差在10 mm之内，属于合理接收范围。

为方便计算，坐标原点处放置次镜的顶点，其YOZ平面上投影的曲线方程：

该抛物线焦点坐标为（p2/2，0），p2/2表焦距。次镜顶点处曲率半径R=p2。将次镜焦距设为10 mm，则曲率半径为20 mm。根据建模得出的最佳接收为主镜较之于次镜17倍放大，则主镜曲率半径为340 mm，焦距为170 mm。根据卡塞格伦天线原则，主次镜共焦点放置可实现光扩束，此时二者间距为150 mm。初始光源经非球面透镜初步准直后的光腰直径为3.2 mm，设置主镜中开圆孔直径为4 mm，以确保微小误差下光束仍可完全通过。

3 仿真验证

光学软件ZEMAX中写入优化得到的参数，生成初步准直和二次卡式天线准直模拟图，如图4所示。根据抛物面型的几何光学原理，将主镜和次镜的非球面系数conic设为-1。调节操作数TRAC对模型优化。

图4 卡塞格伦光学天线仿真图

在2 km处，接收端光斑图像和光腰截面半径如图5和图6所示。

图5 17倍扩束下2 km处光斑图样

图6 17倍扩束下2 km处光腰半径

图5的接收光斑图像可以看出其能量分布中心密度高，四周密度低，仍满足高斯型分布。说明高斯光经过光学天线准直后其场强分布特性保持不变。图6横坐标表示光腰半径，纵坐标表示位置空间辐射照度。即光腰半径1.6 mm的高斯光束经过17倍扩束，在限定光程传输后，接收端光腰半径为52 mm，与仿真基本一致。

如图7所示，横坐标表示半发散角为0.000 82°，合14.35μrad。纵坐标表示角度空间辐射照度。可知，当放大倍数取17时，根据光参数积不变原理，准平行光经过天线二次准直，其发散角相应变为原来的1/17。实现了由mrad向μrad级的转化。

图7 17倍扩束下2 km处光发散角

4 结束语

过往卡式光学天线为了单纯追求发散角极小从而无限扩张发射端面积，这会间接造成接收端垂直投影过大，从而影响接收端光斑的利用率。本文基于光参数积不变原理，结合输入输出光斑几何关系，构建函数模型，并通过仿真验证，从根本上寻找出了限定距离处光斑接收的最佳放大倍数，从而对发射端面进行了优化，节省了材料和减少了能量损耗。