文/康海芯
综观2021年全国各地的中考数学试卷,背景鲜活、形式新颖的平行四边形试题成了一道亮丽的风景线。为帮助同学们了解平行四边形的考查方式和基本解题思路,现从2021年中考卷中选取几例加以分析,供大家学习时参考。
例1(2021·湖北荆门)如图1,将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放,设∠1=30°,那么∠2=( )。
图1
A.55° B.65°
C.75° D.85°
【分析】依据平行四边形的性质可知CD∥AB。要求∠2的度数,可以考虑延长等腰直角三角形的斜边EH交AB于点N,如图2,然后求出∠ENB的度数即可。根据等腰直角三角形的性质得∠FHE=45°,又因为∠NHB=∠FHE=45°,再根据三角形内角和定理求出∠HNB,问题得以解决。
解:如图2,延长EH交AB于N,
图2
∵△EFH是等腰直角三角形,
∴∠FHE=45°,
∴∠NHB=∠FHE=45°。
∵∠1=30°,
∴∠HNB=180°-∠1-∠NHB=105°。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠2+∠HNB=180°,
∴∠2=75°。
故选C。
【点评】本题是一道平行四边形与三角形学具拼接的问题,设计新颖,巧妙地将特殊三角形与平行四边形进行结合,考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质。解决本题的关键是能根据平行四边形的性质得出CD∥AB,再利用平行线的性质求解。
例2(2021·河北)如图3,▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角。要在对角线BD上找点N、M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图4中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案( )。
图3
图4
A.甲、乙、丙都是
B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是
D.只有乙、丙才是
【分析】方案甲,连接AC,可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明;方案乙,先用“AAS”证明△ABN与△CDM全等,然后可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明;方案丙,先用“ASA”证明△ABN与△CDM全等,然后可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明。
解:方案甲,连接AC,如图5所示。
图5
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,
∴OB=OD,OA=OC。
∵BN=NO,OM=MD,
∴NO=OM,
∴四边形ANCM为平行四边形。
方案甲正确。
方案乙,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABN=∠CDM。
∵AN⊥BD,CM⊥BD,
∴∠ANB=∠CMD。
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(AAS),
∴AN=CM。
又∵AN∥CM,
∴四边形ANCM为平行四边形。
方案乙正确。
方案丙,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABN=∠CDM。
∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∴∠BAN=∠DCM。
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(ASA),
∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,
∴∠ANM=∠CMN,
∴AN∥CM,
∴四边形ANCM为平行四边形。
方案丙正确。故应选A。
【点评】本题是一道平行四边形方案设计问题,图文并茂,直观形象,利于理解,通过辨别三个方案是否正确,较好地考查了综合运用全等三角形、平行四边形的性质和判定来解决问题的能力。
例3(2021·江苏宿迁)在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并完成证明过程。
已知,如图6,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,_______(填写序号)。
图6
求证:BE=DF。
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形,可知AC与BD互相平分。要证明BE=DF,可以考虑利用平行四边形BEDF的性质来证明。而要证明四边形BEDF是平行四边形,方法不唯一,可以考虑加上条件OE=OF,问题即可得解。
解:选②。如图7,连接BF、DE。
图7
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO。
∵OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形,
∴BE=DF。
【点评】本题是一道平行四边形条件开放性问题,答案不唯一,解题门槛低,较好地考查了灵活选择判定方法的能力。解决本题的关键是依据题中已知条件正确选择最恰当的证明方法。