核心素养观下的解析几何复习教学——以设点与设线问题研究为例

浙江金华第一中学(321015)金建军 方家鸿

自2017 届高考数学文理合科以来,努力提升学生数学核心素养已成为我们每位教师应尽的任务,帮助学生能学,会学,乐学数学,以期提高学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析.在数学教学中创设设计问题,加强变式,重视“加强学习方法的引导,体会数学的研究方法,领悟数学的研究思路,使学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界”.在解析几何复习教学有关问题时,我们经常会遇到研究直线与圆锥曲线的位置关系,根据题目的所给条件设出点的坐标或者直线斜率来寻找切入点.研究发现,有些问题可以设点坐标(x,y)解决,有些可以设直线斜率k解决,有的既可以设点又可以设线解决.遇到这样的情况,该如何进行选择? 高考试题凝聚了命题者的智慧,体现了课程标准的灵魂,下面我们从2019年浙江省高考数学试题第21 题为例进行研究分析,以期探寻解决方法,提高运算核心素养.

1 试题呈现

如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p ＞0)焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ΔABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q(点Q在点F点右侧).记ΔAFG,ΔCQG的面积分别为S1,S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程;

(2019年浙江省高考数学第21 题)

2 问题解析

对于第一问,

关键在于第二问(ⅠⅠ),如何进行分析解决?题的本质,内化知识,有利于知识的迁移,提升思维品质[2].因此,在教学中,要精选例题,典型例题可以源于课本,也可以来源于历年真题,通过对例题深层次的剖析,注重一题多解,引导学生变式探究,多题一解,多解归一,找到此类问题的通性通法,从而达到“解一题,会一类,通一片”的效果[3],实现从解题之“术”走向解题之“道”的飞跃,提升学生的核心素养与解题能力.

方法一常规思考,设线解决.

主要步骤为方程联立,韦达定理,判别式或等价判别式(题设可得的不等式),运用弦长公式(或焦半径公式),面积公式(或进行面积割补),利用已知条件几何关系(如对称,两直线平行垂直等)转化翻译为进行复杂的代数式运算.

评析设线解决可一下解决直接关系的两点坐标关系,对于直线和椭圆和双曲线位置关系常选用设线解决.

方法二相关点法,设点解决.

主要步骤为以单个动点(或未知点,也可能双动点为参)的坐标为参量,由已知条件发现点的特殊位置也即相关点(如中点,重心,对称,旋转等)进行坐标转化代入,利用已知条件几何关系转化翻译为进行复杂的参数代数式运算.

评析设点解决可解决相关点的两点坐标关系,对于直线和抛物线位置关系有时选用设点解决,会遇到多个点时表示较繁琐.

方法三点线结合,并驾齐驱.

在解决圆锥曲线相关问题时,不要一味追求设点或设线斜率解决问题,而是要仔细审题,分析题中所给的条件关系点线结合,并驾齐驱.

评析对于圆锥曲线,一般情况给了点的相关关系就设点,给了线的直接关系就设线.线的关系主要是过定点或者斜率,有的是纵截距与斜率的关系.若牵涉到的几何关系比较少,而且只有两个未知点,就设线.若题中有三个未知点,其中两个之间有比较简单的关系,比如有的题目会说两个点中心对称,这个时候就设线,当然设点也可以做,但是如果关系比较复杂,还是设点比较好.

回顾历年各省市考题,不难用设点或设线解决解析几何问题,关键在于如何合理设点、设线,这将直接决定后续的思路与运算量.

4 教学启示

4.1 注重本质,落实课标

《普通高中数学课程标准》指出“平面解析几何的学习,可以帮助学生在平面直角坐标系中,认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征,建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系,运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想.”这里“用代数方法来研究几何问题”通过坐标与方程将形化为数.教师在教学中要树立坐标思想,强化形数结合,合理设点或设线,几何问题代数化,从而优化解题过程.

4.2 注重算理,培育素养

《普通高中数学课程标准》指出数学运算“通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.”教师在解析几何教学中,既要对问题“解”与“析”,更要注重“算理”,理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果,使数学课堂成为运算素养培育的主阵地.

4.3 一题多解,深度学习

深度学习是一种回归学生本性的整合式学习方式,是在人的大脑中形成新的网络知识结构的学习.教师在解析几何习题教学中应该帮助学生掌握真实情境下解决复杂问题的能力: 主动理解与批判接受、激活经验与建构新知、知识整合与深层加工、把握本质与渗透思想、有效迁移与问题解决,最终体现数学深度学习本源性、整体性、联系性和建构性的特点.让一题多解、一题多变等变式、发散、拓展成为学生学习的一种思维习惯,有效地运用几何直观解决问题.教师要引在重点上、导在关键处、扶在需要时,并适当地进行拓展和延伸,优化学生的思维品质,提高课堂教学的实效.