有限维Hilbert空间中一类框架与紧框架的构造

江岸, 朱玉灿

(福州大学数学与统计学院，福建 福州 350108)

0 引言

框架是Hilbert空间中标准正交基的推广. 其与标准正交基的区别在于, 对于一个具体向量, 用框架表示出该向量的方式可能有无穷多种. 在信号传输中, 经常会有传输信号遭到丢失, 而重新传输会带来过大延迟而不可接受. 为此, 需要设计一个专业编码方式, 以使得接收端能从不完整的传输结果部分或完全恢复原始信号. 因此, 研究者寻求将信号建模成向量, 并通过框架编码、传输、解码这种做法, 以令信号具备相对于丢失的恢复能力[1]. 近年来研究者从编码学的角度研究框架性质[2-4], 以求找到编码、传输以及解码领域上的最佳框架. 与一般框架相比, 紧框架由于在框架重构时容易计算框架算子的逆算子, 在许多实际问题, 诸如信号处理中有非常重要的应用, 因此越来越多的人重视对紧框架的研究.

Parseval框架是一种特殊的紧框架, 其框架算子为恒等算子.N维Hilbert空间HN的各种Parseval框架中, 有一类被称为几何等模框架的框架可以通过将构成循环交换群的算子迭代作用到单个向量生成[5], 这些框架可按酉等价性分类, 每类可选一个调和框架作为代表元. 调和框架由于其特殊性质被广泛研究[4]. 有限维空间中的框架或者紧框架的具体构造是框架理论在实际问题中应用的一个关键环节, 因此有限维空间中的框架或者紧框架的具体构造是一个研究的热点. 文献[4] 中提出了四种紧框架构造方法, 其中有些相当复杂. 文献[6]从一个序列延拓成紧框架, 文献[6-9]利用 Tetris 谱块来构造框架或者紧框架. 文献[10]提出了用Hadamard矩阵构造紧框架的方法, 而文献[11]提出了用奇异值分解构造酉矩阵的方法等.

1 预备知识

下面将介绍有限维的框架、调和框架与一般调和框架的相关基本概念, 并引入准调和序列及准调和框架.由于一般的N维复Hilbert空间HN等距同构于CN[13], 讨论集中于空间CN.

定义4[14]称算子U∈B(CN)为酉算子, 若U*=U-1在CN中可以定义调和框架, 及其推广一般调和框架.

可以看到, 调和框架、 一般调和框架和一般准调和序列在通过生成的方式上具有十分类似的形式, 这使得继续推广得到以下的正规迭代式序列的概念.

则其分析算子T在自然标准正交基下的矩阵表示为

合成算子T*在自然标准正交基下的矩阵表示

框架算子S在自然标准正交基下的矩阵表示为

2 主要结论及其证明

2.1 正规迭代式框架的构造方式

按照前述引言中的内容, 已得每个一般准调和序列都是正规迭代式序列.下面将利用Vandermonde行列式, 得到正规迭代式框架的生成矩阵刻画.

为了得到主要结果, 先给出几个引理：

引理3[15]设A为CN中的N阶矩阵, 以下条件等价:

Ⅰ)A是正规的, 即A*A=AA*;

Ⅱ)A可酉对角化, 即存在N阶酉矩阵U使得:A=Udiag(λ1,λ2, …,λN)U-1.这里，λ1,λ2, …,λN为A的特征值;

Ⅲ)A有N个彼此正交的特征向量.

引理4给定C中的N阶矩阵V是正规的, 设其特征值为λ1,λ2, …,λN, 则存在一组分别与这些特征值对应的单位的特征向量v1,v2, …,vN, 彼此正交.称这些向量为V的一组特征标准正交基.令矩阵U=(v1,v2, …,vN), 则U为酉矩阵, 且V=Udiag(λ1,λ2, …,λN)U-1.

证明 由于V是正规的, 由引理3得V存在N个彼此正交的特征向量, 从而存在彼此正交的单位特征向量v1,v2, …,vN分别与特征值λ1,λ2,…,λN对应.

由于v1,v2, …,vN彼此正交, 且均为单位向量, 有p=q时 〈vq,vp〉=1, 而p≠q时〈vq,vp〉=0.故而U*U=I, 所以U为酉矩阵.由于v1,v2, …,vN为V的特征值λ1,λ2, …,λN所分别对应的特征向量, 可得：

所以V=Udiag(λ1,λ2, …,λN)U-1.

(1)

令矩阵

2.2 正规迭代式的紧框架的构造方式

由于一般调和框架均为等模Parseval框架, 而作为其推广的一般准调和框架, 以及更一般的正规迭代式框架均为等模序列, 所以本研究考虑符合哪些条件的正规迭代式框架能成为紧框架乃至Parseval框架. 下面的结论说明除了在空间维数N为 2的特殊情况, 正规迭代式框架为Parseval框架当且仅当其为一般调和框架.

(3)

其中:

(4)

从而可以得到正规迭代式的紧框架的等价刻画.

定理2设α∈CN为非零向量,V为C上的N阶非零矩阵, 且V是正规的.当M≥N≥3或V为N阶酉矩阵时, 以下条件等价:

注2在定理2中取A=1时, 用另一种方式得到了文献[2]中的定理4.1, 从而可以说明本研究的定理2对文献[2]的结论进行了推广.

推论2CN的一般准调和序列为紧框架当且仅当其为一般调和框架, 此时亦为Parseval框架.

经过计算可得其框架算子S=I, 则该序列为CN的Parseval框架.但该框架不是等模框架, 从而不是一般调和框架.