科氏力下带有内表面张力的黏弹性流体的瑞利—泰勒问题的稳定性

吴兴奇，刘蒙蒙，宋方应

(福州大学数学与统计学院, 福建 福州 350108)

0 引言

考虑重力场下的两层完全平行的互不混溶流体，其中较重的流体层在较轻的流体层上方，对这种平衡状态进行较小的扰动时，会导致较重的流体在重力作用下向下移动，而较轻的流体向上移动，并且这种不稳定会进一步增长，且伴随势能释放. 这种不稳定现象是由英国的两位物理学家Rayleigh[1]和Taylor[2]最早独立研究，故称之为RT不稳定性. 过去的几十年里，人们已从物理和数值方面对该现象进行广泛的研究[3]，并且还进一步研究了其他物理因素，比如弹性[4-5]、旋转[3]、内表面张力[6-7]、磁场[8-10]等，如何影响RT不稳定性的演化. 最近，文献[4]研究了平板内无内表面张力的分层不可压缩黏弹性流体的瑞利—泰勒问题的稳定性. 本文在文献[4]结果基础上进一步考虑有内表面张力和旋转情形, 其数学模型如下：

(1)

这里，带有下标“+”“-” 的符号f+,f-分别表示有关上下层流体的未知函数或物理参数f.符号Ω+(t)，Ω-(t)分别指上部流体区域和下部流体区域，由于考虑水平周期运动，故其分别定义如下：

Ω+(t)∶={(xh,x2)T∈R3|xh∶=(x1,x2)T∈T,d(xh,t)

(2)

Ω-(t)∶={(xh,x3)T∈R3|xh∶=(x1,x2)T∈T, -l

(3)

ρ∶=ρ+χΩ+(t)+ρ-χΩ-(t)

(4)

(5)

主要在数学上建立一个稳定性准则，在该稳定性准则下，上述VRT问题存在关于时间指数稳定的解，并且当κ适当大时，即可满足该稳定性准则. 此外稳定性准则与旋转角速度大小无关，见定理1及注1. 结果表明： 旋转不具有使流体失稳的效果. 由于直接证明VRT问题的稳定性结果是有困难的，为此，下面需要在拉格朗日坐标下重写VRT问题，并给出拉格朗日坐标下的稳定性结果和证明. 当然通过拉格朗日坐标逆变换即可得到对应的VRT问题(5)的稳定性结果.

1 拉格朗日坐标下的运动方程组

定义固定的拉格朗日域Ω+∶=T×(0,τ)，Ω-∶=T×(-l, 0)，并定义流映射ζ±为以下初始值问题的解：

(6)

2 主要结果

在介绍变换(分层)VRT问题(6)稳定性数学结果之前，还要介绍一些简化的数学符号.

现在开始介绍VRT问题(6)的稳定性结果.

(7)

上述H0和A0都通过η0来定义，分别表示H和A的初始值； 正常数δ依赖于区域Ω和其它已知的物理参数ρ,μ,g,θ和κ.

3 定理1的证明

利用标准的迭代方法，很容易建立起变换VRT问题(6)存在关于时间的局部解，因此为了得到定理1的结论，只需建立起先验的稳定性估计式(7)即可. 为此假设(η,u,q)为变换的VRT问题的光滑解，并满足定理1中关于初始值的假设条件，以及下式成立：

M(t)≤δ∈(0, 1)

(8)

其中：δ充分小，依赖于区域Ω和其他已知的物理参数ρ,μ,g,θ和κ.则利用标准能量方法，可建立起如下能量不等式.

(9)

(10)

证明 上述证明可直接参考文献[10]，故从略.

其中

则存在下列关于(η1,u1,q1)和(η2,u2,q2)的先验估计：

(11)

其中:

(12)

(13)

此外

(14)

证明 可直接参考文献[10]得出，故从略.

首先从式(9)和式(11)得出，存在常数c和足够大的常数c1满足：

(15)

注意K1和K2是正定泛函，则由式(10)的第一个估计和式(13)，得出对充分小的δ，有：

(16)

此外，可以参考文献[10]中的式(8.45)～(8.51)推出下式：

(17)

(18)

注意T1和T2是正定泛函，利用式(8)和式(10)的第二个论断，可以从式(15)和式(17)推出，对于充分大的常数c1和充分小的δ，满足：

(19)

对上式关于t积分，并利用式(10)的第一个论断，即有：

(20)

由式(12)的表达式，以及(η1,u1)和(η2,u2)所满足的初始条件，再利用上式估计，使用式(14)的第一个估计和迹定理，可知：

(21)

对式(14)的第二个估计式关于β在Υ4, 4上积分，并利用迹定理，即得：

(22)

最后将式(21)～(22)代入式(20)中，再利用式(18)，即得先验稳定性估计式(7). 利用先验稳定性估计及局部解的存在性结果，即可得到定理1.