让“研究性学习”为“数学建模”插上飞翔的翅膀

秦红

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模作为六大核心素养之一，同时“数学建模活动与数学探究活动”更是作为单独的主题贯穿高中数学课程，必修6个课时，选择性必修4个课时，这是前所未有的。如何在高中开展数学建模活动课，推进数学教学改革，提升学生的数学建模素养以及应用数学的能力，是广大一线教师普遍关心的问题。

一、问题提出

综合实践活动课程中包含研究性学习，要求学生在3年内每学年完成1个课题研究或项目设计，以开展跨学科研究为主。笔者所在学校一直组织学生认真开展研究性学习，学生通过自由组合小组，经历选题、开题、做题、结题四个阶段，最终提交一份研究性学习报告。而数学建模活动的课程定位是“作为基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动”，教学要“以课题研究的形式开展，课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节”，故数学建模活动课是否可以依托学生的研究性学习更好的开展？

《課标（2017版）》明确要求数学建模活动以课题研究的形式展开，而在《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》（国办发[2019]29号）中强调：“在全面实施新课程、使用新教材的过程中，要积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学，认真开展验证性实验和探究性实验教学。”由此以研究性学习的教学方法进行数学建模活动既符合《课标（2017年版）》对数学建模活动教学的要求，更符合新时代育人方式改革的要求，以学生发展为主，改变学生的学习方式与教师教的方式，让学生主动的探索、实践、发现和解决问题。本文以本校情况为例，谈谈利用研究性学习开展数学建模活动的过程。

二、前期调研与动员准备阶段

通过调研学生以往研究性学习完成情况发现，学生主要选择文科类进行研究，较少有数学、物理、化学等理科的研究。结合对学生的问卷调研研究发现，由于数学建模活动课程实施不够，学生的体验感不强，从而学生并不明确研究性学习可以研究数学里的哪些内容，同时学生对数学建模活动没有足够的认识，普遍具有畏难心理;另一方面数理化生的成绩对研究性学习的开展也有较大的影响。针对上述情况，在新一届高一教学中我们作了如下努力：

第一阶段：了解数学建模的发展史及其现实意义

学生在学习数学的过程中总有一个问题困扰着：学习数学有什么用？日常生活中好像除了购物算账之外很难看到数学的踪迹，但数学来源于人们生产和生活的需要，生活中好似看不到，只是由于日常生活的数学规律一般隐藏在生活的深层。而数学建模正是联系数学与外部世界的桥梁，是数学通向实际应用的必经之途。数学建模可以拉近人们在心灵上与数学的距离，促使人们在应用的过程中更好的品味数学、理解数学和热爱生活。我们要让学生明确生活中其实处处都是数学的身影，而自己只是缺乏一双发现的眼睛。而数学建模将会让我们擦亮双眼，用数学的眼光观察世界。在这一阶段教师可布置学生自主查阅数学建模的发展情况，明确数学建模在国内外的现状，同时推荐学生阅读相关数学建模的书籍，让学生对数学建模有一定的了解，同时也点燃学生进行数学建模研究性学习的激情。

第二阶段：技能培训——查阅资料、论文书写、信息技术辅助

数学建模是一项系统的研究活动，研究性学习也需要学生以科学研究为主进行课题研究，对学生的综合能力要求较高，故教师应培养学生相应的研究的能力，所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，高一学生在进行研究性学习之前，我们会相应地培训学生利用网络数字资源查阅资料，介绍数字资源库，如中国知网CNKI中小学数字图书馆、广州数字图书馆等中文数据库的使用方法。同时也利用信息技术课以及数学课培训学生数据处理的能力，让学生学会常用的软件如Excel工作表格、GeoGebra、Matlab等的使用。而论文书写则主要是给学生欣赏往期《中学生数学建模及数学综合实践征文》中获奖的文章，学习论文书写格式等等。

三、高中数学教学中渗透数学建模知识

在高一阶段每周的正常数学教学课时中嵌入与学习内容相关的数学建模内容，在数学知识讲解的过程中不断加强学生将现实问题转化为数学问题的能力，并能经历从现实背景的分析中归纳、提炼数量关系并得到模型的过程，通过新教材的建模例题、习题的内容表述来渗透“建立数学模型、解决实际问题”的要求。

例如：在2019版高中数学教材必修一中有这样一道习题：某商场经营一批进价为30元∕件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系。

1.根据表中提供的数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想与之间的函数关系，并写出一个函数解析式;

2.设经营此商品的日销售利润为（单位：元），根据上述关系，写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？

为提升学生的解题兴趣，授课时可将题目情境改编一下。2020年国家允许摆地摊政策后，快过年你想挣钱换新手机，于是在家人的帮助下批发一批进价为30元∕件的中国结，假设在试销中发现，中国结的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系。

中国结每件卖多少元时？你能获得最大日销售利润？

改编情境让学生更有代入感，能真正的感受到解决一个实际问题的乐趣。在解决这个问题的过程中，可以和学生一起探讨数据的处理方法，如画散点图、数据的拟合，给学生展示用信息技术来处理数据的机会。通过解题学生也能经历构建函数模型解决具体问题的过程。虽然课本中数学应用题是源于生活但总与生活有一些出入，教学时鼓励学生可以自己从生活中去发掘具体的例子真正的解决实际问题，让学生充满研究的兴趣，最终在研究性学习中找到施展拳脚的机会。

四、数学建模的研究性学习的正式开展

随着高一课程的深入，教材在“指数函数与对数函数”之后，紧接着安排了“建立函数模型解决实际问题”的数学建模活动，课题名为“特定室温条件下刚泡好的茶水多长时间可以达到最佳口感”，利用这一教材内容在班级内开展数学建模示范教学，在教师的带领下让学生体验完整的建模的环节，为学生自主进行研究性学习打好基础。

一个完整的数学建模活动主要包含四个环节：选题、开题、做题、结题。首先由学生自主组合成若干个小组，分工完成教师布置的任务清单：1. 了解广东的茶文化，找到影响茶水口感的因素，并确定哪些是主要因素;2.以小组为单位，收集茶水的温度随时间变化的数据;3.回顾已学的函数数学知识，为建立适当的模型奠定基础。这些工作在课前完成，既能让学生充分的建立小组、分工合作，又可以给学生充足时间了解影响茶水最佳口感这个现实情境背后的信息，能自发提出有数学价值的问题研究，并能亲自经历数学建模中数据采集这一环节重要环节。同时利用课堂进行选题开题展示;建立模型，分析误差;优化模型，检验模型;联系实际，解决问题;归纳小结，拓展提升。在建立模型阶段，鼓励学生提出不同的模型，通过数据分析，辨析模型的优劣，最终选用合适的指数模型，应用模型代入数据得到刚泡好的茶水最佳饮用时间大约是7分钟。

在《数学建模教学与评估指南》一书中对于教师如何将标准教科书中的问题过渡到完整的建模周期给了几个指导原则：1.从小问题着手;2.用引导性的问题和课堂讨论，以此支持初步经验的形成 ;3.使用普遍地日常经验来激发数学方法的使用;4.使用小型的建模情境，使得只需一两个要素便能组成一个完整的建模周期;5.与家长和管理者分享你的目标和教学实践。研究茶水最佳饮用时间问题恰好符合这些原则，利用这个小的课题研究让学生能体验一次完整的建模过程，学生自己开展研究学习做好准备，同时具有生活气息的数学问题也能让学生学会用数学的眼光分析现实生活中的问题，也能与家长分享研究的过程和結论。

万事具备，只欠东风！最后就是学生们自己选择感兴趣的课题进行研究性学习，通过学生的活动，教师感慨：学生永远是值得我们信任的。有的学生研究《数学》第一册三角函数章节有一个拓广探索：帮助电力部门制定一项“消峰平谷”的电价方案;有的学生选择去北京天安门看升旗仪式的时间等;有的学生还从天猫双11优惠活动研究怎样购买商品才能省最多的钱……虽然有些结果还是稍有不足，但已经完全达到了我们作数学建模的目的，我们的学生学数学终于不是只“解题”，我们学会了“解决问题”，且是生活中的问题，我们学会用数学的眼光看世界，以及用数学的思维去解决日常生活中的问题。

培根说“数学是打开科学大门的钥匙”，而数学建模活动能为学生们打开一扇了解数学应用的窗口，而研究性学习则为数学建模提供研究的机会，借着这个东风，望数学建模活动能开展得红红火火。

【本文系广州教育学会2019年教育科研课题“高中数学建模活动课程的实践研究”（课题编号：KTLX1201930168）阶段性成果】

参考文献：

[1]梁贯成，赖明治等.《数学建模教学与评估指南》[M].上海：上海大学出版社，2017.6

[2]邵丽云，张子玉.基于高中数学建模素养的课堂教学的探索与实践[J].中学数学教学参考，2020（11）：22—26.

[3]刘鸿英.核心素养视角下的中学数学建模课堂教学初探——以研究性学习为例[J].福建中学数学，2020（10）：45—49.

[4]何承生.指向高中数学建模的教学实践——“以茶水最佳饮用问题”课堂实录与思考[J].中学教研（数学），2020（9）：20—23.