数学建模素养落位课堂

李春雷

摘  要：数学建模是一个循环过程，它由厘定要解决的具体问题、做出假设并定义基本变量、数学求解、分析并评估模型和解决方案、按需要进行迭代以完善和扩展模型、实施模型并报告结果等六个周期要素组成. 以这一个循环的六个周期要素为依据，以分数转换的需求为情境，以函数大单元知识为抓手，进行数据调整模型建构的探究，再将研究拓展到工资调整、水库群联合调度等领域，可以使数学建模素养有效落位课堂，激发学生数学建模的兴趣.

关键词：数学建模;周期要素;落位课堂

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模作为数学学科六大核心素养之一，将发展学生的数学建模素养作为课程目标，将数学建模活动作为必修课程和选择性必修课程内容的主线、主题，且要求学生各完成一個课题研究. 同时，给出了数学建模活动的建议课时数和相应的内容要求，并提出将数学建模活动融入选修课程内容，又将数学建模素养划分为三个水平. 数学建模进入各级各类学校课堂已经成为教育的潮流，数学建模能力的培养也成为数学教育的重要目标. 而如何将数学建模的实践真正纳入数学课堂教学中，并贯穿学生的整个教育过程？如何在数学建模活动中使学生获得切身体验？这是广大数学教育工作者一直探索的一个挑战性问题.

一、数学建模的六个周期要素

2017年6月，由美国数学及其应用联合会（COMAP）、美国工业与应用数学学会（SIAM）联合推出，由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍编译的《数学建模教学与评估指南》一书指出：数学建模是一个过程，它由厘定要解决的具体问题、做出假设并定义基本变量、数学求解、分析并评估模型和解决方案、按需要进行迭代以完善和扩展模型、实施模型并报告结果等六个周期要素组成. 数学建模经常被描述成一个循环，因为常常需要返回到最初并重新做出假设，以便更加接近可用的结果. 数学建模过程如图1所示，这个过程包含了周期要素. 同时，并非所有的箭头都是单向的，一些要素可能会同时发生，也可能会根据需要而反复发生.

对高中数学教师实施数学建模教学给出五条原则：从小问题入手;用引导性问题和课堂讨论支持初步经验的形成;使用日常经验来激发数学方法的使用;使用小型的建模情境、使得只需一两个要素就能组成一个完整的建模周期;分享你的目标和教学实践.

二、数学建模素养落位课堂的教学实践

随着时间的推移、社会的不断进步和发展，多年前教材编写时的情境发生了巨大变化，教材上的有些数学问题已经远离生活. 教师在上课时所选用的案例，如果照搬教材未做适当调整或及时调整，就会滞后于社会发展，导致学生研究数学问题时没有兴趣，缺乏创新激情.

教师要做创新性研究，让数学问题更接近学生的生活，通过数学建模拉近数学与学生生活之间的距离，要基于需要研究数学问题. 教师要努力开发教学资源，关心社会的可持续发展，关注学生的发展和学业成绩，以这些真实情境为数学问题让学生来解决，充分调动学生研究的积极性，要让学生有自己的问题领域，以主人翁的精神投入数学的学习创新中. 数学建模是沟通数学世界与物质世界的桥梁，数学建模能力是学生数学创新能力的重要表现之一，能够体现数学的应用价值. 基于真实的物质、情感、发展的需要，教师往往需要引导学生用数学知识构建数学模型解决实际问题，从而激发学生用大脑思考问题、用数学的思想与方法探索真实问题. 教师的一项重要责任，就是让数学从自然世界快活地走向学生的心灵世界，让学生在数学创新活动中得到心灵上的满足.

教学中的数学建模问题要与学生和社会密切相关，这样的问题能够引起学生的研究兴趣. 例如，人教B版《普通高中教科书·数学》必修第二册中提到的数学建模问题为“生长规律的描述”，用幂函数、指数函数、对数函数型函数构建了7岁以下女童身高的增长模型、玉米植株高度的增长模型. 这样的数学问题具有跨学科性，能够将数学与生物学科的知识进行有机结合，但距离学生的生活比较遥远，与真实情境有较大的迁移距离. 能否根据校园中的具体事例设计数学建模的资源来研究与学生生活密切相关的问题，从而点燃学生的创新之火呢？对此，教师要创造性地使用教材，用教材教，而不是教教材. 基于以上分析，确定教学改进路径如图2所示.

教师要创设情境，让学生经历选题、开题、做题和结题这四个环节，让学生自己选择模型、建立模型、求解模型、解释模型、利用模型解决问题，对模型变式迁移，进而解决更多实际问题，让学生的创新成果得到进一步升华，体现出数学蕴藏着巨大的推动社会发展的力量.

案例：数据调整模型的构建.

问题情境：2020年某日，B市某师范大学数学科学院数学建模中心举办了全市高中数学建模（应用）能力展示活动，参加的对象为在校的高一、高二学生，满分为100分，按照参加活动总人数的比例设置一、二、三等奖. 阅卷结束后，发现预设的三等奖及许多二等奖的成绩不能达到60分. 那么，对原始分进行怎样的转换，才能使获奖的学生的成绩至少达到及格，也就是使获奖的学生的成绩达到百分制的60分？为此，需要让大部分学生的分数有所提高，可以采用何种方法？

很多学生刚刚参加完这次数学建模展示活动，追求问题解决的合理性是数学建模的一个重要特征. 该情境任务蕴含着问题与活动，具有真实性、不确定性和挑战性. 教师要引导学生会用数学眼光观察这个数据调整问题，会用数学思维思考应该用哪些数学知识解决该问题，会用数学的图形语言和符号语言（进一步说是函数模型）表达这个问题.

1. 厘定要解决的具体问题

厘清并确定现实世界中我们想要知道、做或理解的某种事物或事情，其结果就是得到一个源于现实世界的问题. 教师要给学生足够的时间，使学生能够更好地解释他们的想法.

在真实的课堂教学中，学生思维非常踊跃，但是学生起初的思考并不如教师所愿. 关于如何调整分数，学生提出以下若干种方法.

方法1：重新考试，把题出得简单一些. 经过评议，此方法工作量繁重，不适宜.

方法2：重新翻阅试卷，看哪些题可以多给一些分. 此方法工作量也繁重，不适宜.

方法3：把二、三等奖中实得分60分以下的分数直接向上调整为60分. 经过评议，此方法不合理. 如果将一名实得分为50分的学生成绩调整为60分，与实得分为60分的学生分数相同，不公平.

方法4：给每名学生都加上相同的分数. 这样有可能使最高分超过100分，不适宜.

方法5：按照等级给分，先按照实得分划分出几个等级，然后将每个等级的分数依次往上提分. 但是确定等级标准的难度比较大，工作量也比较大.

方法6：先将学生成绩降次排序，第一名给100分，第二名给99分，第三名给98分，依此类推. 学生评价此方法比较公平，不会破坏名次的顺序. 但是也存在问题，假如第一名的实得分为100分，而第二名的实得分只有83分，第三名的实得分为82分，显然前两名学生成绩差异明显. 而给第一名学生100分，给第二名学生99分，并没有显示出第一名学生的实力，因此对于第一名学生来说不公平.

事实上，方法1、方法2未用数学知识解决问题;方法2 ～ 方法6中学生的思维只停留在简单地给每名学生加分或给部分不及格的学生加分的层次上，进一步说，学生是用分段函数及简单的线性函数（含常函数）给出问题的解决方案，很难奏效. 学生已经习惯于解决一些别人给出的封闭性的应用问题，而对这种探索性的、答案不唯一的实际问题往往感到不适. 该题需要学生在真实情境中提炼出数学问题，建立起与学生已有认知经验的连接，在茫茫“函数海洋”中找到一个适恰的数学模型解决该问题. 最后，师生确定出一个调分原则：100分的、0分的调整前后分数不变;学生的名次调整前后不发生变化. 抓住问题的主要矛盾，建立起反映调分问题本质的数量关系，从发散思维到收敛思维，经过抽象、简化，最后厘定要解决的具体数学问题：从函数大单元中，寻找满足上述调分原则的函数模型，该模型要能起到能够调高大多数学生分数的作用.

2. 做出假设并定义基本变量

在现实世界的问题中选择一些看上去比较重要的“对象”，识别它们之间的关系，并决定是保留还是忽视那些对象或者它们之间的关系，最后得到一个初始问题的理想化版本.

设[x]为学生的实际分数，[y]为调整后学生的分数. 假设存在函数[y=fx]，满足[f0=0，f100=100]，且当[0<x<100]时，都有[fx>x.] 接下来的任务就是寻找这样的函数[y=fx].

3. 数学求解

将这个理想化版本转换成数学术语并得出理想化问题的数学公式，这个数学公式就是模型. 再进行数学运算和求解，看看得到什么结果.

可以让学生先想象这个函数是什么，然后思考如何借助计算机软件得出这一结果.

先找到一条参照函数模型的线段[y=x 0≤x≤100]，而要寻找的函数[y=fx 0≤x≤100]的图象的两个端点与该线段的两个端点重合，其他部分应该在该线段之上. 经过分析，该函数可以为上凸的增函数，于是学生联想到教材中的函数[y=x 0≤x≤100]，将它乘以系数[k]，得到函数[y=kx 0≤x≤100]，该函数过点[0，0]，最后确定出参数[k]的值即可得到所求函数模型. 令[100=k100 0≤x≤100]，则[k=10]，由此得到函数模型[y=10x 0≤x≤100]. 学生从已有的认知基础出发，自我监控，循序渐进，在“愤”“悱”状态下，逐渐放弃原有的方案，创设新方案，经过一段波折的历程，学生逐渐进入教师预设的函数建模探究轨道，体验了数学建模的过程.

通过以上分析，获得分数调整数学模型Ⅰ，如图3所示.

由函数模型[fx=10x 0≤x≤100]，得[f36=][36×10=60]，可以预测出原来36分及以上的分数均可以调整为及格分数，且不改变原有顺序.

还可以探究谁的分数调整前后未变. 这实际上是在研究函数的不动点问题. 令[fx=10x=x]，可得[x2-100x=0]，解得[x1=0，x2=100]. 说明得0分和100分的学生调整前后分数没有改变.

再探究谁提分最多. 这实际上是要将实际问题数学化，研究增分最多的原始分，即探究函数[gx=][fx-x=10x-x 0≤x≤100]的最大值. 注意到函数[gx=-x2+10x=-x-52+25 0≤x≤100]. 则当[x=5]，即[x=25]时，[gx]取最大值，最大值为[25]. [f25=1025=50]. 此时，该成绩由原始分25分调整到新分数[50]分.

4. 分析并评估模型和解决方案

进行如下考虑：它解决问题了吗？哪些要素被呈现了？当把它转变回现实世界时，是否合乎实际和情理，也就是是否与预期相符？其答案是否合理？后果是否可接受？该模型可以怎样改进？何时可用？受何限制？

数学模型[y=fx=10x 0≤x≤100]解决了至少36分能調整为及格分的问题，当它转回现实问题后还符合0分、100分、所有分数次序这些指标均不改变的标准. 该数学模型的单调递增性、上凸性等要素在问题解决中得到了灵活运用.

数学模型也许是不完美的，需要不断完善. 若还需要进一步增加及格人数，该数学模型还可以怎样调整？反之，若题目出得太容易了，分数“虚胖”，怎样使分数降下来？该策略能够适宜更大范围的问题吗？要解决这些问题，势必要对所得的数学模型进一步改进，以及对问题模型进一步扩展.

5. 按需要进行迭代以完善和扩展模型

做必要的过程迭代，从而完善并扩展得到的模型. 数学建模在立德树人方面具有其他数学知识不可替代的作用. 对数学建模的回应可能比纠正一个具有清晰目标和明确答案的试题更具有挑战性. 教师要迎接这一挑战，给学生提供更有意义的反馈.

（1）函数模型的扩展.

通过以上数学建模思维活动，激活了学生的相关认知图式，能引导他们以类似的方式搜索更多已知数学模型. 学生脑洞大开，能较快地从长时记忆系统中提取已经储存的函数信息进行选择、加工和求解.

以满分100分为例，欲保持0分、100分不动，其余分数都上调，只需要找到一个函数[y=fx]，其图象单调递增，且图象上在[0，100]上的曲线段在线段[y=x][0<x<100]的图象的上方，曲线段[y=fx 0<x<100]为上凸的函数图象. 学生联想学过的幂函数、指数函数、对数函数，既然幂函数型函数是可以奏效的，那么对数函数型函数也应该可以吧？

考察函数[fx=logax+1]，其图象过点[0，0]. 设[f100=loga101=100]，则[a100=101]，解得[a=1010.01]. 故所求函数模型为[fx=log1010.01x+1=100log101x+1].

通过作图还可以发现，此方法比用函数[fx=10x]上调幅度更大. 令[fx=100log101x+1=60]，可得[x=][1010.6-1≈14.94]. 看来这种方法可以使获得15分及以上的学生获得及格分及以上的成绩.

反之，若题目出得太容易了，寻求降分的模型，就可以选择下凸的函数. 事实上，利用反函数的性质，只要求出上凸函数模型[y=10x 0≤x≤100]和[y=][100log101x+1 0≤x≤100]的反函数，即得到函数模型[y=0.01x2 0≤x≤100]，[y=1010.01x-1 0≤x≤100]，利用这两个函数模型可以普遍下调分数.

通过以上分析，获得分数调整数学模型Ⅱ，如图4所示.

有些对三角函数特别感兴趣的学生提出用函数[y=100sinkx 0≤x≤100]来调整分数，该模型已经满足当[x=0]时，[y=0]. 根据实际需要，满分是100分的学生，调整后其成绩还应该是100分，函数在区间[0，100]为增函数. 为此，函数模型还应该满足以下条件. 当[x=100]时，[y=100]，则有[100=100sin100k]，解得[sin100k=1]. 函数[y=100sinkx]的周期[T]还应该满足[T4=100]，则有[T=400=2πk]，解得[k=π200]. 由此可以确定参数[k]的值. 显然，参数[k]的值满足[sin100k=1]. 则函数模型可以确定为[y=][100sinπ200x 0≤x≤100]. 若令[y=60]，则有[60=100sinπ200x 0≤x≤100]，解得[x=200arcsin0.6π≈41]. 这说明41 ～ 59分的原始分均可以调整为及格分.

通过以上分析，获得分数调整数学模型Ⅲ，如图5所示.

（2）问题模型的扩展.

若将满分由100分扩展到150分，相应的数学模型如何调整？引导学生类比满分为100分的情况进行探究，可以得到[fx=150x=56x 0≤x≤150]，[fx=][150log151x+1 0≤x≤150，fx=1150x2 0≤x≤150，][fx=151x150-1 0≤x≤150，fx=150sinπ300x 0≤x≤150]等数学模型.

（3）模型适用范围的扩展.

① 工资收入结构性调整.

引导学生在复杂的、陌生的情境下识别并建立数学模型. 例如，探索普调工资问题. 如果想将低收入人群的工资收入调高一些，而高收入人群的工资收入上调幅度较小，并且不破坏人群的收入高低顺序，就可以参照上述建模过程，把分数调整模型创新、迁移到工资收入结构性调整中. 这就把建模问题从学生个人情境迁移到了职业情境、社会情境，扩大了学生的视野，增大了学生的格局，使学生胸怀天下，关心的不只是分数的转化问题，而是国家大事，立德树人的育人理念也就自然融入其中了. 在数学建模过程中，学生的情感也发生了巨大的变化，对数学充满了兴趣和进一步探索的欲望. 在优劳优酬、激励创新的情境下，工資调整模型怎样设置更合理？答案不唯一，给学生无限的探索空间. 所用的数学知识也可以由函数领域拓展到统计领域（如用标准分来调整学生的成绩）.

② 长江水库群联合调度.

以三峡水库为核心的长江流域水库群是目前世界上规模最大的巨型水库群，在长江流域防洪、生态、供水、发电、航运等方面发挥着重要作用. 长江干流“梯级水库群联合调蓄、蓄丰补枯”，以汛期、蓄水期和枯水期为时间周期. 每年汛期末，进行蓄水期的蓄水调度，上游水库均需蓄水以满足来年枯水期用水需求. 若水库群在蓄水时间上不能协调，上游水库争相无序蓄水，可能出现集中蓄水的“抢水”局面，造成蓄水过程中下游过度缺水和下游水库蓄水困难，需统筹协调，解决汛末集中蓄水和竞争蓄水可能带来的供水、生态、航运等用水矛盾，提高水库群整体蓄满率. 因此，需要制定水库群联合调度数学调整模型，避免“分散管理”“各自为战”等不利因素.

通过统计数据发现问题、提炼概念是确定适切数学模型的突破口. 学生认为应该先找到水库水量调整前后的数学变量.

变量的确定. 通过探究发现，每个水库若以水位升降的数值作为变量是不科学的;进一步探究，逐步发现可以定义数学概念水库蓄满率，即水库蓄满率=[水库实际蓄水量水库总蓄水量]，将水库蓄满率作为研究变量是比较科学的;若与前述数学建模展示活动100分制的数学模型建立起联系，可以定义数学概念水库蓄满指数，即水库蓄满指数=水库蓄满率×100=[水库实际蓄水量水库总蓄水量]×100，将水库蓄满指数作为研究变量就会更易于操作. 因而可以记[x]为调度前某水库的蓄满指数，[y]为调度后该水库的蓄满指数，联合调度要求调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100];蓄水期联合调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;调度前后，各水库的蓄满指数排名不变.

蓄水期的蓄水调度数学模型. 水库群按计划分梯次有序蓄水，各水库每年基本都能蓄至正常蓄水位附近. 制定基于分区控制的水库群汛末联合蓄水方案. 前面数学建模展示活动的增分模型可以迁移到蓄水模型，并根据情况适当调整.

枯水期的消落调度数学模型. 长江上游水库群在枯水季节为中下游补水. 前面数学建模展示活动的降分模型可以迁移到消落模型，并根据情况适当调整.

当然，在实际调度中，会面临更加复杂的情况，不仅要考虑库容分配方案，还要考虑电网调峰方案，可能会在更多的约束条件下探究水库群联合调度的最佳综合效益. 找到联合调度优化数学模型和算法，必须依赖专业数学模型的模拟计算分析，才能做到科学、合理.

6. 实施模型并报告结果

面向现实世界和实际应用，向他人报告得到的结论，并实施解决方案，说明这些结果如何在直觉上、逻辑上被衔接起来.

课堂上，小组代表展示了各自的研究成果，特别是分享了自己研究的心路历程，凭直觉认为哪类函数满足条件，考虑问题时函数的哪些性质有助于进行逻辑分析. 学生的沟通和合作能力都得到了提升.

三、数学建模教学的反思

1. 数学建模的过程是一个学生思维不断进阶的过程

该数学建模过程从数学建模展示活动出现的真实问题入手;用分数怎样调整作为引导性问题进行课堂讨论;支持[y=kx 0≤x≤100]初步经验的形成，经历了求取参数的过程;使用函数的单调性等学生日常数学经验来激发更多数学模型的创建，为根据实际需要调整分数做了多套预案;学生分享建模成果和建模的心路历程，锻炼了表达和交流的能力.

学生经历了问题解决的全过程，在最优模型的评价中不断进行选择和改进，对所学幂函数、指数函数、对数函数、三角函数进行了全面的大单元复习，这种方式远胜于单个知识点的孤立复习. 学生经历了以下过程：水平0，无法从实际情境中识别出任何数量关系;水平1，尝试将实际情境结构化、提出问题，但无法找到数学模型;水平2，提出合理的假设，并找到数学模型，但数学模型不合理;水平3，找到现实模型，转化为合理的数学模型，但未能得到准确的数学解答或数学解答过程错误;水平4，提出合理的数学模型，得到准确的解答，但没有根据实际情境解释结果;水平5，找到现实模型，转化为数学模型，得到准确解答，结合实际情境解释并检验解答、评价数学模型的合理性.

本研究使学生数学建模素养的培养能够在课堂上扎根，不只是数据调整模型的不断扩展，研究的领域也在不断迁移，达到水平6（即由校内到社会、由熟悉的情境到陌生的情境），数学建模的成果在更大领域得到推广，循序渐进地培养了学生的高阶思维能力，学生在数学建模的过程中实现了深度学习. 教师还可以进一步引导学生，未来可以通过适当的函数模型用Z分数、T分数等对原始分数进行调整.

2. 数学建模的过程是一个学生研究领域不断扩展的过程

对于教材中的“生长规律的描述”的内容不是弃而不用，而是让学生课后阅读理解，从而培养学生的自学能力. 经历了“分数调整”的个人情境、“工资调整”的社会情境、“长江水库联合调整”的职业情境、“生长规律探究”的科学情境，学生由关心个人发展逐漸向关心社会的整体发展乃至关心国家建设过渡，最后达到学生身心整体的科学发展.

3. 数学建模的过程是学生从机械模仿走向不断创新的过程

从真实情境中提出数学建模的真实问题，使数学建模与日常数学教学内容有机结合成为可能，实现课程内容的优化融合，从而改变只靠教师翻来覆去讲、学生机械模仿并迷茫于题海之中、数学和实际生活结合少的教学现状，消除学生对复杂数学运算、难题、偏题的厌烦情绪，使学生在数学应用中深度学习，也培养了学生的高阶思维能力，特别是创新能力. 数学建模理念贯穿于整个数学教育的始终，学生所学数学知识有了用武之地，学生的思维从封闭性的数学问题解答的困境中解放出来了.

参考文献：

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