GeoGebra环境下的“5E”数学建模教学模式研究

董奕鑫 李孝诚

摘  要：国际数学界对培养学生数学素养和应用能力的重视程度日益增强，数学建模作为数学学科的六大核心素养之一，其重要性不言而喻. 如何有效开展相关教学是广大教师面临的新挑战. 针对数学建模教学的两大难题，本研究将信息技术融入“5E”数学建模教学模式，以“探究茶水的最佳饮用时间”为例，分析教师应该如何实施教学，以期为未来数学建模教学模式的研究与发展提供参考.

关键词：GeoGebra软件;数学建模;“5E”教学模式

一、问题提出

数学以直接或者基本的方式为社会各行各业的发展做出了贡献，“高新技术”“现代化”已经成为当今社会的热点，而从某种意义上说，“高新技术”本质上是一种“数学技术”，“现代化”就是“数学化”.“数学技术”和“数学化”实际上就是善于运用数学表达式描述和模拟各种各样的自然或社会现象的本质特征，运用数学模型及灵活、适当地建立数学模型的代名词. 数学模型的大量建立与运用使得人类社会的生活、生产、科研发生了翻天覆地的变化.

国际数学界对培养学生数学素养和应用能力的重视程度日益增强，明确“问题解决”是核心. 在这样的大背景下，对于铺垫与启蒙性的中小学数学基础教育来说，也必须在数学学科核心素养、数学实践能力、数学应用意识和创新意识培养方面开展相应的课程与评价. 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中，明确将“数学建模”列为数学学科六大核心素养之一，将“数学建模和数学探究活动”作为必修内容，并设置了相应的学时与学分. 中国科学院李大潜院士认为，数学建模对人才培养的重要作用和深远影响值得引起广泛重视. 但数学建模的教学与传统的知识教学有所不同，它对学生的科学精神、创新能力、计算机操作能力和合作能力等都提出了更高的要求，普通的教学模式难以满足学生数学建模素养的培养诉求. 因此，如何有效开展数学建模的教学成为广大一线教师面临的新挑战.

二、数学建模教学活动研究

传统的教学方式无法应对数学建模教学带来的挑战，且当前缺乏切实可行的数学建模教学模式，而仅靠纸笔也很难承载建模活动中现实问题所包含的庞大运算量. 显然，数学建模的教学模式及教学辅助工具成为阻碍数学建模教学的两大难题. 因此，本文将从以上两个方面，对数学建模的教学展开研究.

1. 数学建模教学模式选择——“5E”教学模式

“5E”教学模式是一种基于建构主义的探究式教学模式. 该模式是一种通过研究性学习驱动的教学模式，包含参与（Engagement）、探索（Exploration）、解释（Explanation）、细化（Elaboration）、评估（Evaluation）五个环节. 数学建模本质上就是一种探究性学习. 因此，基于“5E”教学模式的基本环节，设计了借助GeoGebra软件实施的数学建模教学流程，如图1所示.

（1）参与. 又称“引入”，教师引导学生获得先验知识和参与这一活动的兴趣. 课前，教师分析学情，了解学生对该建模活动中涉及的知识与技能的掌握程度;课中，教师创设合理的实际情境，以问题为导向，激发学生的学习兴趣和探究意识，引导学生在情境中发现并提出数学问题.

（2）探究. 是“5E”数学建模教学模式的核心环节. 主要是教师提供“支架式”指导，学生采取自主、合作等方式参与内在原理、规律的探究活动，初步完成模型的选择和建立.

（3）解释. 教师引导学生对探究结果进行多样性解释，并判断优度. 学生完成探究后展示方案——由于数学建模问题具有开放性，故所得方案也将具有多样性. 教师借助信息技术软件以提示、讨论等方式对方案进行解释或补充.

（4）细化. 教师引导学生通过新的挑战对现象和规律进行深化理解. 学生利用建立的模型解决实际问题，并检验模型的适用性. 教师引导学生通过小组讨论、协作交流进行总结归纳——这是一个对建立的模型不断优化的过程.

（5）评价. 在整个数学建模过程中贯穿多样化评价模式. 主要通过学生撰写数学建模研究报告实现. 中共中央、国务院于2020年印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》明确提出，要创新多元化评价. 因此，在研究报告中不仅要包括学生的学习反馈、探究积极性等课堂评价，还要包括教师评价、学生自评与互评.

2. 数学建模教学软件选择

2018年，教育部颁布了《教育信息化2.0行动计划》，其中明确提出深化信息技术与学科课程深度融合，以新型智能技术推动“互联网 + 教育”的发展.《中国教育现代化2035》中指出，充分利用现代信息技术，丰富并创新课程形式.《标准》中明确提出，将信息技术融入数学建模的教学中. 信息技术与数学教学的融合早已成为时代的潮流和不可抗拒的趋势，更是培育学生数学学科核心素养的内在要求. 显然，传统的教育方式已经无法应对信息化时代所带来的挑战. 对此，各版本教材均要求在数学建模的教学中充分利用信息技术，在计算器、计算机的辅助下进行探索和验证.

GeoGebra是一款专为教与学服务的动态数学软件，目前已经成为多个版本教材的信息技术使用的主要软件.“形”与“数”的完美融合能够辅助分析模型建立，代數运算系统（CAS）的完美嵌入为数学建模的计算提供了保障，指令输入和工具构造让动态模型的演示过程更加生动，多模块区域间的关联互动有利于数学建模活动的深度开展. 因此，充分利用GeoGebra软件强大的代数、图形和统计等优势，激发学生对数学建模的兴趣和探索欲，有利于教学质量和教学效率的提高.

三、基于GeoGebra软件的“5E”数学建模教学模式示例

本文选取人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）第一节的数学建模活动——“探究茶水的最佳饮用时间”，探究如何借助GeoGebra软件实施“5E”数学建模教学活动.

1. 观察实际情境，发现并提出问题

中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱. 在饮茶过程中，最重要的就是茶水的口感. 研究在室温下刚泡制好的茶水要等多久饮用可以达到最佳饮用口感具有现实意义.

思考与交流：变量分析.

问题：现实中能够影响茶水口感的因素有哪些？

学生讨论并回答：泡茶用水温度（初始温度）、室温、茶水量、茶具、冲泡方法、茶叶类型等.

教师引导：控制变量与假设.

突出主要因素，弱化次要因素（引导学生结合探究分析相关因素的重要程度.）

主要因素：实时变化的温差.（重点研究茶水在常温环境下的自然冷却规律.）

次要因素：茶水量、茶具、冲泡方法、茶叶类型等.（弱化处理，假设以上次要因素在探究过程中固定不变.）

提出问题：经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

条件确定了常量：初始温度85℃和室温25℃. 显然，如果我们能建立茶水温度随时间变化的函数模型，就可以解决这个问题.

【设计意图】引导学生从实际生活出发，寻找影响茶水最佳饮用口感问题的因素，获得先验知识及参与解决这一问题的兴趣. 该环节主要是引导学生參与建模活动. 与大学数学建模相比，过去中学数学建模缺少理想化（模型假设）环节，本设计刚好解决了这一问题.

2. 收集数据

学生活动：数学实验.

所用工具：秒表、温度传感器等.

收集茶水温度随时间的变化数据：每隔1 min测量一次茶水温度，得到如表1所示的一组数据.

【设计意图】将数学实验与数学探究相结合，引导学生自主参与现象的分析，以及内在原理和规律的探究活动，探索茶水温度随时间的变化.

3. 分析数据

学生活动：数据分析.

茶水温度是关于时间的函数，但没有现成的函数模型. 为此，可以借助GeoGebra软件画出散点图（如图2），利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型.

观察散点的分布状况，分析其变化规律，回顾函数的相关知识，猜想哪一种函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律.

【设计意图】利用信息技术进行数据处理，感受信息技术在数学中的应用与优势，实现学生个性化自主学习.

4. 建立模型

（1）借助GeoGebra软件选择函数模型.

学生活动：开放性尝试拟合.

学生借助GeoGebra软件对数据进行拟合，在开放性的尝试中，学生可能选择一次函数、二次函数、对数函数、指数型函数等进行拟合操作.

思考与交流.

问题1：在利用GeoGebra软件拟合的过程中，通过目测和误差平方和来判断，可以发现一次函数、二次函数、指数型函数在数据拟合方面表现优异，对应图象分别如图3 ～ 图5所示. 能否把这些函数确定为我们要建立的模型？

小组讨论：观察图象，考虑实际问题中室温条件（茶水的温度不会随着时间的变化一直下降）的限制，对比方案，小组讨论确定最优模型为指数型函数.

问题2：根据对温度变化趋势的了解，发现用指数型函数应该更加合理，但直接选用前面拟合出来的指数函数[y=kax]是否合理？模型是否需要根据现实情况进行改进？

小组讨论：因为茶水温度降至室温后不能再降，所以指数函数图象表达的y（温度）应该随x（时间）趋近于室温数值，而不是降到室温值以下趋近于0，所以单纯依靠数据拟合出的指数函数模型需要根据实际情况改进，可设指数型函数的解析式为[y=kax+b.]

【设计意图】通过自主探究和小组讨论方式进行的探索活动，使学生能充分理解数学建模是个综合且复杂的过程. GeoGebra软件在拟合的同时给出了拟合优度，此阶段对应“解释”，教师对学生探究出的多个方案进行评价，判断其优度（对于拟合优度的推导与计算，学生不用掌握，能够应用即可）. 教师要引导学生选择合适的函数模型，理解模型的确定不能仅依靠对原始数据的简单函数拟合效果，还要遵循客观规律和科学规律，考虑现实情况与条件等.

（2）求函数解析式.

考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可以选择指数型函数[y=kax+25 k∈R，0<a<1，x≥0]来近似刻画茶水温度随时间变化的规律.

由实际情况可知，当[x=0]时，[y=85，] 解得[k=60，]

即[y=60ax+25.]

问题：如何求出温度的衰减比例a呢？

小组讨论与结果汇报.

小组1：用表1中的一组数据代入[y=60ax+25]求a.（特殊值代入法是研究函数的一般方法，但是其不能反映其他组数据的变化情况.）

小组2：将[y=60ax+25]转化为[y-25=60ax，] 发现每份[y-25]的值与上一份[y-25]的值的比值为a. 例如，当[x=1]时，[y1-25y0-25=54.1960=0.903 2.] 由此列出表2.

计算各比值的平均值，得

[a=15×0.903 2+0.918 1+0.928 4+0.935 1+0.928 5≈]

0.922 7.

我们把这个平均值作为衰减比例，就得到了一个函数模型[y=60×0.922 7x+25 x≥0.]

小组3：可以借助GeoGebra软件的运算功能，将所有数据代入解析式[y=60ax+25]求[a]的平均值，如表3所示.

则[a=15×0.903 2+0.910 6+0.916 5+0.921 1+0.922 5≈]

0.914 8.

进一步确定函数模型[y=60×0.914 8x+25 x≥0.]

【设计意图】考虑指数型函数的特点，教师再次引导学生对已选择的函数模型进行求解，主要是细化阶段. 引导学生基于自己对选择模型的理解，对函数模型进行求解，旨在深化学生对函数模型的理解.

5. 检验模型

学生活动：如图6，用GeoGebra软件绘图，检验函数模型与实际数据的拟合程度.

各小组画出函数的图象，观察函数模型与实际数据的吻合程度. 也可以借助GeoGebra软件研究其误差平方和，发现小组2的模型能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.

【设计意图】“细化”阶段，使用现代信息技术检验求解出的函数模型，以及检验模型的正确性、有效性和可信性，培養学生严谨的逻辑思维.

6. 求解问题

如图7，在GeoGebra软件中绘制[y=60，] 其与[y=][60×0.922 7x+25]交点G的横坐标的值即为所求.

利用信息技术，求得[x≈6.699 7.]

所以泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.

【设计意图】求解实际问题，并利用信息技术解决复杂的计算，进一步将信息技术融入数学教学中，让学生体会利用信息技术的优势. 运用数形结合的方法，培养学生的直观想象素养.

7. 小结与作业

（1）小结.

① 建立函数模型解决问题;② 借助信息技术解决数学问题;③ 数学建模的过程（如图8）.

【设计意图】培养学生及时总结的习惯，采用思维导图的形式进行小结，符合学生的认知规律，同时概括出数学建模的基本过程，实现由具体到抽象的升华.

（2）作业：撰写研究报告.

报告单具体内容如图9所示.

【设计意图】“评估”阶段，建立个人评价、小组评价及教师评价的多元评价模式，并撰写研究报告.

8. 课堂寄语

数学的魅力在于其能以稳定的模式驾驭流动的世界，而数学建模就是用数学语言表达世界的最美方式！

【设计意图】再次总结数学与数学建模的作用，让学生深刻感受用数学语言表达世界的快乐.

四、结束语

由于数学建模在认知方式和思维难度上对学生有较高的要求，教师应该创新教学模式. 通过具体实例发现，借助GeoGebra软件进行数学建模，实现了数学探究、数学实验和数学建模三者的结合，有利于培养学生的问题解决能力. 在GeoGebra环境下，采用研究性学习驱动的“5E”数学建模教学模式，指导学生用数学眼光从实际情境中发现并提出问题，通过分析问题、构建模型、求解结论、验证结果和改进模型等活动，应用数学建模探索和解决现实世界中的重要问题，能够在数学建模的全过程中增强中学生的数学学科核心素养和科技创新能力.

参考文献：

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