如何练就“见微知著”的火眼金睛？

孙风建 管慧慧

摘  要：从确定题眼入手，在“将面积之比为定值化归为直线过定点”这一核心思想的引领下，让学生更多关注简化运算的算理，依靠逻辑推理能力的支撑，逐步看清问题本质、突破难点，能“见”椭圆而“思”圆锥曲线，实现深度探究，完成从特殊到一般的数学抽象，“知”数学思想的精妙，达到分析、评价、创造的高阶思维水平.

关键词：高阶思维;解析几何;核心素养

核心素养着力培养的是提高学生在复杂情境下解决问题的能力. 在实际教学中，我们经常发现有的学生疲于做题却难做到对问题的深入理解，遇到复杂的情境容易陷入困境. 布鲁姆基于认知目标分类学的视角，将认知发展水平分为知道、领会、应用、分析、评价、创造六个层次，其中的分析、评价、创造三个层次定义为高阶思维. 仅就题论题，很难达到高阶思维水平.

如果能跳出问题表象的束缚，从一道题延伸至一类题，直至挖掘出问题的本质和内在的关联，从知识的整体高度推进对问题的深入思考，则容易借助“见树木更见森林，见森林才见树木”的整体思维理念，逐步达成创造性应用的高阶思维.

那么，要怎样练就这样一双“见微知著”的火眼金睛呢？解析几何在高中数学知识体系中占有举足轻重的地位，往往难度较大，下面结合一道解析几何题目的探究过程阐释如何逐步促进学生的高阶思维发展.

题目  如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的离心率为[22，] 焦距为2，其上、下顶点分别为[A，B，] 直线[l：y=-2]与[y]轴交于点[E.] 点[P]是椭圆上的动点（异于点[A，B]），直线[PA，][PB]分别与直线[l：y=-2]交于点[M，N.] 连接[AN，] 与椭圆交于点[Q，] 连接QM，QE.

（1）求椭圆[C]的方程;

（2）设[△AQM]的面积为[S1，△EQM]的面积为[S2，]试判断[S1S2]是否为定值？并说明理由.

一、“见”题眼，“知”思路多元化

此题第（1）小题，易求得椭圆[C]的方程为[x22+y2=1.] 以下针对第（2）小题展开探究.

从已知条件出发，可以知道[S1S2=12QMhA12QMhE=hAhE.] 其中，[hA，hE]分别为点[A，E]到直线[QM]的距离，而[hA，][hE]计算量的大小取决于直线方程的复杂程度. 然而，进一步研究发现，假设直线[QM]与[y]轴的交点为[T，] 利用平面几何知识，可得[hAhE=ATTE.] 从而将问题转化为直线[QM]是否过[y]轴上的一定点.

思考抓手：直线[QM]由谁决定，即如何选择变量？变量选择，是解答解析几何问题的难点. 变量的选择一般分为三类. 一是选择主动点，即变化的主要原因（动因）. 此题中点[P]是动因，刻画点[P]的方式又有两种——点[P]的坐标或直线[AP]的斜率. 二是选择从动点，如点[Q，] 刻画动点[Q]的方式同样有两种——点[Q]的坐标或直线[AQ]的斜率. 三是选择多个变量，再寻找这些变量之间的关系.

下面我们按照上述寻找变量的方法，在实践中进行比较，看看哪种方法更具优越性.

解法1：设点[Ps，t s≠0，]

则直线[AP]的方程为[y=t-1sx+1，] 直线[BP]的方程为[y=t+1sx-1，] 且[s2+2t2=2.]

在方程[y=t-1sx+1]中，令[y=-2，] 得[x=-3st-1，]

即[M-3st-1，-2.]

在方程[y=t+1sx-1]中，令[y=-2，] 得[x=-st+1，]

即[N-st+1，-2.]

所以直线[AN]的方程为[y=3t+1sx+1.]

联立直线[AN]和椭圆[C]的方程，消去[y，]

整理，得[s2+18t+12x2+12st+1x=0.]

解得[xQ=-12st+1s2+18t+12.]

由[s2+2t2=2]，消去[s2，] 得

[xQ=-3s4t+5，yQ=-5t+44t+5.]

所以直线[QM]的方程为[y+2=-5t+44t+5+2-3s4t+5+3st-1x+3st-1=][t-13sx+3st-1，]

即[y=t-13sx-1.]

所以直线[QM]过定点[T0，-1，] 即过点B.

所以[S1S2=hAhE=ABBE=2.]

解法2：由题意，可设直线[AP]的方程为[y=kx+1，]

则点[M-3k，-2.]

将[y=kx+1]代入椭圆[C]的方程，消去[y，] 得

[1+2k2x2+4kx=0.]

解得[xp=-4k1+2k2，得yp=1-2k21+2k2.]

所以点[P-4k1+2k2， 1-2k21+2k2.]

所以直线[BP]的方程为[y=-12kx-1.]

令[y=-2，] 得[x=2k.]

所以点[N2k，-2.]

所以直線[AN]的方程为[y=-32kx+1.]

代入椭圆[C]的方程，消去[y，]

整理，得[2k2+9x2-12kx=0.]

解得[xQ=12k2k2+9，得yQ=2k2-92k2+9.]

所以直线[QM]的方程为[y+2=2k2-92k2+9+212k2k2+9+3kx+3k=][k3x+3k，]

即[y=k3x-1.]

下同解法1.

【评析】在解法1中，解得[xQ=-12st+1s2+18t+12.] 因为[xQ]的坐标比较复杂，所以[yQ]的坐标也会很复杂，从而使得后面的运算都会产生连锁反应，这就需要学生有预判能力，通过椭圆方程[s2+2t2=2]消去[s2，] 从而简化[xQ，] 为后面的运算做好铺垫，这是解析几何中重要的算理.

在解法2中，不难发现：[kAPkBP=k-12k=-12，kQAkQB=][-32k ∙ k3=-12.] 由此得到结论：若点[P]是椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]上异于点[A，B]（点[A，B]关于原点呈中心对称）的动点，则[kAPkBP=-b2a2.]

解法3：设点[Qu，v，] 得[u2+2v2=2，]

则直线AN的方程为[y=v-1ux+1.]

令[y=-2，] 得[x=-3uv-1.]

所以[N-3uv-1，-2.]

所以[kNB=-1+23uv-1=v-13u.]

利用[kAPkBP=-12，] 得[kAP=-3u2v-1.]

所以直线AP的方程为[y=-3u2v-1x+1.]

所以点[M2v-1u，-2.]

所以直线QM的方程为[y-v=v+2u-2v-1ux-u=][v+2uu2-2v-1x-v+2u2u2-2v-1.]

所以[y=v+2uu2-2v-1x-1.]

下同解法1.

解法4：设[Mm，-2 m≠0，Nn，-2 n≠0，]

则[kAP=-3m，kBN=-1n.]

所以直线[AP]和直线[BN]的方程分别为[y=-3mx+1，][y=-1nx-1.]

联立直线方程，得点[P2mn3n-m， -3n-m3n-m.]

代入椭圆[C]的方程，得

[2mn3n-m2+2-3n-m3n-m2=2.]

化简 ，得[4nmmn+6=0.]

解得[mn=-6.]

由点A，N的坐标，可得直线AN的方程为[y=-3nx+1.]

将其与椭圆[C]的方程联立，消去[y，] 得

[n2+18x2-12nx=0.]

解得[xQ=12nn2+18，得yQ=n2-18n2+18.]

所以直线[QM]的方程为[y+2=n2-18n2+18+212nn2+18-mx-m.]

因为[mn=-6，]

所以[y+2=n2-18n2+18+212nn2+18+6nx+6n=n6x+1.]

所以直线[QM]的方程为[y=n6x-1.]

下同解法1.

二、“见”方法，“知”问题本质

解法1和解法2选择主动点[P]作为变化的原因，刻画的方式分别为将点[P]的坐标[s，t]作为变量及将直线[AP]的斜率[k]作为变量. 选择坐标作为变量，优点是减少了直线方程与椭圆方程联立求点[P]坐标的过程;缺点是计算点[Q]坐标的过程非常烦琐，让很多学生望而生畏，同时需要引进两个变量且满足[s2+2t2=2]的约束条件，在得到[Q]的横坐标后，需要利用[s2+2t2=2]的约束关系，化简点[Q]的坐标，否则在求直线[QM]的方程时会很烦琐. 这是解析几何中简化运算、提高运算效率的重要举措，即算理. 选择斜率作为变量，优点是将单一量作为变量，目标比较明确，程序好操作;缺点是要两次将直线方程与椭圆方程联立.

解法1和解法2在计算直线[QM]方程时运算量较大，可以大胆猜测直线[QM]过点[B，] 再证明. 但这有难度，需要学生具有非常好的数感.

解法3利用了[kAPkBP=-b2a2，] 避免了求点[P]的坐标，减少了计算，但椭圆的性质需要单独给出证明.

解法4引入了两个变量，即点[M，N]的横坐标，先根据点[P]在椭圆上，寻找[m，n]的关系式[mn=-6，] 再求出点[Q]的坐标，最后得到直线[QM]的方程，运算量相对小些. 解法4还有一个意外收获，即[NE ∙ EM=6，] 为定值.

通过上面的解法，我们发现了面积之比为定值的本质：点[Q，B，M]三点共线，即直线[QM]过定点[B.]

三、“见”背景，“知”问题源头——压缩变换的不变性

思考抓手：椭圆可以看成由圆经过压缩变换得到的，压缩变换具有很多不变性. 例如，长度之比的不变性，共线的不变性，等等.

遵循上述思路，利用类比思想，猜想得出如下结论.

如图2，已知直线[AB]过圆[C]的圆心，直线[l]与直线[AB]垂直，且交于点[E.] 点[P]是圆[C]上的一动点（异于点[A，B]），直线[PA，PB]分别与直线[l]交于点[M，N.] 连接[AN，] 与圆[C]交于点[Q.]

（1）求证：[Q，B，M]三点共线;

（2）求证：[EM ∙ EN]为定值，并求出此定值.

证明：（1）因为[AB]为圆[C]的直径，

所以[AP⊥PN.]

因为[AB⊥l，]

所以[A，N，E，P]四點共圆.

如图3，连接[EP，]

则[∠QAB=∠NPE.]

同理，[B，E，M，P]四点共圆.

所以[∠BPE=∠BME.]

所以[∠QAB=∠BME.]

因为[△QAB]和[△BME]均为直角三角形，

所以[∠QBA=∠MBE.]

所以[Q，B，M]三点共线.

（2）由（1）知，[A，N，E，P]四点共圆，

所以[∠BNE=∠EAP.]

所以[Rt△BNE]∽[Rt△MAE.]

所以[BEEM=NEAE.]

所以[NE ∙ EM=BE ∙ AE].

因为[BE ∙ AE]为定值，

所以[NE ∙ EM]为定值.

四、“见”椭圆，“知”圆锥曲线的一般结论

根据上述对圆的研究可知，将“AB为直径，直线[MN]与直径[AB]垂直”的圆中相互垂直的问题，迁移或类比到椭圆中就变成了“AB为过椭圆中心的直线，直线[MN]所在直线的斜率与[AB]所在直线的斜率之积为[-b2a2”.] 这样就得到了更为一般的结论.

结论1：如图4，已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0，]过原点的直线[l]与椭圆交于[A，B]两点. 直线[l1]与直线[l]交于点[E，] 且[l]与[l1]的斜率之积为[-b2a2.] 點[P]是椭圆上的动点（异于点[A，B]），直线[PA，PB]分别与直线[l1]交于点[M，N.] 连接[AN，] 与椭圆交于点[Q.] 则有[Q，B，][M]三点共线;[NE ∙ EM]为定值，且定值为[BE ∙ AE ∙ a2b2.]

再类比双曲线，我们同样可以得到下面的结论.

结论2：如图5，已知双曲线[C： x2a2-y2b2=1 a>0，][b>0，] 过原点的直线[l]与双曲线[C]交于点[A，B，] 直线[l1]与直线[l]交于点E，且[l]与[l1]的斜率之积为[b2a2.] 点[P]是双曲线C上的动点（异于点[A，B]），直线[PA，PB]分别与直线[l1]交于点[M，N.] 连接[AN，] 与双曲线交于点[Q.] 则有[Q，B，M]三点共线;[NE ∙ EM]为定值，且定值为[BE ∙ AE ∙ a2b2.]

五、“见”解题，“知”思维发展

发展学生的数学学科素养不能依靠烦琐、割裂和杂乱堆砌的知识，更不能依靠追求细枝末节、训练解题技巧的题库，而是要引导学生理解核心思想. 由以上探究过程不难发现，从确定题眼入手，在“将面积之比为定值化归为直线过定点”这一核心思想的引领下，让学生更多地关注简化运算的算理，依靠逻辑推理能力的支撑，逐步看清问题的本质，突破难点，完成从特殊到一般的数学抽象，能“见”椭圆而“思”圆锥曲线，实现深度探究，“知”数学思想的精妙. 学生不必囿于题海，反倒会在不经意间自觉“玩味”起自己或同伴“创造”出来的“新”问题，经历深度学习的过程，使思维品质从简单模仿应用上升到分析、评价、创造的高阶层面，数学学科核心素养的发展也更容易从初级的“双基层”上升到“问题解决层”“学科思维层”.

参考文献：

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