数学阅读素养在教学中的培养与实施*——以“圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积”教学设计为例

谢新华

(福建省莆田第二中学,351131)

空间几何体的表面积及体积问题是生产、生活中的实际问题.学生对于从生活实例中抽象概括出数学知识的能力相对欠缺,空间问题平面化的意识相对比较薄弱,学习上可能会有一定的困难.

根据上述情况,并综合考虑本节课的教学目标、教学重点和难点,教学过程设计如下:

一、阅读回顾,触及思考

1.已学过的平面图形的面积公式

矩形面积公式:S=ab;圆面积公式:S=πr2;圆周长公式:C=2πr;扇形面积公式:S=12lr.

2.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

体积:几何体所占空间的大小;棱柱的体积V=Sh；棱锥的体积V=13Sh；棱台的体积V=13h(S+SS′+S′).

表面积:几何体表面面积的大小.一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和,即表面积=侧面积+底面积.

设计意图阅读回顾学生已学过的知识,构建本节知识与已有知识的联系,有助于学生建立知识储备,触及学生思考,自然引入本节课程内容.

二、阅读思考,探究表达

问题1与多面体一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和.不同之处在于,围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面,如何计算这些曲面的面积呢?

表达1把空间曲面展开成平面图形,转化为求平面图形的面积

问题2圆柱的侧面展开图是什么?怎么求它的表面积?

表达2圆柱的侧面展开图是一个矩形(图1),其中圆柱的底面半径为r,母线长为l,因为圆柱的底面面积为πr2,侧面面积S圆柱侧=2πrl,所以圆柱的表面积为S圆柱=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

问题3圆锥的侧面展开图是什么?怎么求它的表面积?

表达3圆锥的侧面展开图是一个扇形(图2),其中圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为扇形的半径R扇=l，扇形的弧长l扇=2πr,所以圆锥的侧面积S圆锥侧=S扇=12l扇R扇=πrl，又圆锥的底面面积为πr2,所以圆锥的表面积S圆锥=πr2+πrl=πr(r+l).

问题4圆台的侧面展开图是什么,它的表面积是什么?

表达4圆台的侧面展开图是一个扇环(图3),其中圆台的上底面半径为r′,下底面半径为r,母线长为l,扇环面积等于大扇形与小扇形面积的差,设小扇形的半径为x,则扇环面积为S扇环=πr(x+l)-πr′x.因为∆PO′A∽∆POB,所以xx+l=r′r,可得x=r′lr-r′,所以圆台的侧面积为S圆台侧=S扇环=πl(r+r′).而圆台的上底面面积为πr′2,下底面面积为πr2,所以圆台的表面积为S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl).

问题5观察圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,它们之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?

表达5对比圆柱、圆锥、圆台的动画图(图4),可以发现圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体?圆柱可以看作是上下底面相同的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台.

观察它们的表面积公式(图5),可以发现圆柱、圆锥的表面积公式都可以看作由圆台表面积公式演变而来.

设计意图引导学生阅读思考上述5个问题,自主探究圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,通过类比棱柱、棱锥、棱台的相关方法与结论,把空间问题转化为平面问题,通过求侧面展开图面积得到侧面积,从而得到表面积,师生共同构建圆柱、圆锥、圆台的表面积思维导图(图6).

问题6以前已经学习过圆柱、圆锥的体积公式V圆柱=πr2h,V圆锥=13πr2h,其中r是底面半径,h是高.其等价表述形式是V圆柱=Sh,V圆锥=13Sh,其中S是底面圆面积,h是高.可以发现,圆柱与棱柱的体积公式均为V柱体=Sh,圆锥与棱锥的体积公式均为V锥体=13Sh,你能类比棱台,写出圆台的体积公式吗?

表达6类比棱台,可以得出圆台的体积公式为V圆台=13h(S+SS′+S′),其中S′,S分别为上、下底面面积,h为圆台的高,所以可得V圆台=13πh(r2+rr′+r′2),其中r′,r分别是上、下底面半径,h是圆台高(图7),圆台的体积等于大圆锥与小圆锥体积的差,设小圆锥的高为PO′=x,因为∆PO′A∽∆POB,所以xx+h=r′r,可得x=r′hr-r′,故小圆锥的体积为V小圆锥=13πr′2x=13·πhr′3r-r′,而大圆锥的高为x+h=rhr-r′,所以大圆锥的体积为V大圆锥=13πr′2(x+h)=13πhr3r-r′,故圆台的体积为V圆台=V大圆锥-V小圆锥=13πh(r2+rr′+r′2).

问题7观察柱体、锥体、台体的体积公式,它们之间有什么关系?你能用柱体、锥体、台体的结构特征来解释这种关系吗?

表达7柱体可以看作是上下底面相同的台体,锥体可看作是上底面退化成一点的台体.观察它们的体积公式(图8),可以发现柱体、椎体的体积公式都可以看作由台体的体积公式演变而来.

设计意图教师引导学生阅读思考问题6与问题7,合作探究圆柱、圆锥、圆台的体积问题,培养学生“观察—猜想—证明”的数学思维,类比棱台的结构特征,利用圆锥体积公式、结合相似关系证明圆台的体积公式,得出求解柱体、锥体、台体体积可以转化为求其底面面积和高,培养学生了解知识的形成过程,师生共同构建体积问题的思维导图(图9),加深学生对公式的理解提高数学运算、直观想象等核心素养.

三、应用阅读,精准表达

问题8设圆柱和圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则圆柱和圆锥的表面积之比是多少?其体积之比是多少?

表达8作出圆柱和圆锥的轴截面(图10),由题意可得圆柱的底面半径r1=12a,母线长l1=a,所以圆柱的表面积S1=2πr21+2πr1l1=32a2π,V圆柱=π×(a2)2×a=π4a3;圆锥的底面半径r2=12a,母线长l2=a,高为h2=a2-(12a)2=32a,所以圆锥的表面积S2=πr22+πr2l2=34a2π,V圆柱=13π×(a2)2×32a=3π24a3,而S1∶S2=2:1,V圆柱∶V圆锥=π4a3:3π24a3=23∶1.

问题9如图11,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.则以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积是多少?体积是多少?

表达9以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4,下底面半径是16,高是5,母线DC=52+(16-4)2=13，所以该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π.该几何体的体积为13π×5×(162+4×16+42)=560π.

设计意图求旋转体表面积的关键是处理好轴截面中边与角的关系,因为轴截面联系着母线、底面半径、高等基本要素;求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高.通过问题8与问题9的应用阅读,帮助学生巩固圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式,提高数学运算、逻辑推理等核心素养.

阅读:课本第121页“祖暅原理”(图12)

应用(多选题) 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.已知两个平行平面间有三个几何体,分别是三棱锥、四棱锥、圆锥(高都是h),其中:三棱锥的体积为V,四棱锥的底面是边长为a的正方形,圆锥的底面半径为r,现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体,如果得到的三个截面面积总相等,那么,下列关系式正确的是( )

(A)a2=3Vh(B)r2=3Vπh

(C)ar=π (D)ar=π

解析由祖暅原理可知:三个几何体的体积相等,则V=13·a2·h,解得a2=3Vh.由V=13·πr2·h,解得r2=3Vπh,所以ar=π.故选ABD.

设计意图教师提出数学问题,引导学生自主阅读背景材料“祖暅原理”,学生通过思考分析背景材料的内涵,体验表达其要点阐明试题的数学史背景,有利于提升学生的文化素养和创新意识.

四、阅读反思,整合通达

问题10你收获了哪些数学知识?你收获了哪些数学思想方法?

表达10:

设计意图教师引导学生反思梳理本节课的数学知识与数学思想方法,让学生进一步体会知识的形成、发展、完善过程,从而整合构建完整的思维导图,优化知识结构,提高逻辑推理素养.

五、阅读探索,拓展豁达(书面作业、研究性作业略)