非局部非线性耦合薛定谔方程逆空间精确解

刘苡妍,李 丽

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院，辽宁 沈阳110034)

0 引言

孤立子是非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚、等离子体物理和流体力学等领域一个重要的理论和实验研究课题.最近Ablowitz和Musslimani提出了一种新非局部NLSE方程[1-2],包括聚焦(+)和离焦(-).文献[3-4]分别为包括一个自诱导的PT[5-6]对称的NLSE方程.文献[1-2]给出了一些非局部可积非线性AL方程、MKdV方程和Hiora方程.非局域非线性介质中的空间孤子引起了人们极大的兴趣[7-8].文献[9]综述了非局域空间孤子的研究现状.

求解孤子方程的方法有很多,如齐次平衡法[10]、双线性法[11]、行波法[11]、Darboux变换(DT)法[11]、反散射变换法[11-15].Zhang和Yan利用广义Darboux变换(gDT)得到了多有理和半有理孤子以及非局部非线性耦合薛定谔方程的相互作用[16].他们利用Darboux变换方法研究了聚焦PT对称非局部非线性耦合薛定谔方程,找到了一系列精确解,除了孤立波外,还包括亮-亮、暗-暗和亮-暗孤子对[17].Wu和He生成了导数非线性薛定谔(NLS)方程,其非局部扩展来自文献[18]中的李代数分裂和自同构.Li和Xu[19]用第N次达布变换,导出了具有自诱导奇偶时间(PT)对称势的非局部NLS方程的一系列非奇异局域波解，利用文献[20]中的广义Darboux变换,导出了具有散焦型非线性的奇偶时间对称非局域NLS模型的有理孤子解,包括一阶解、暗反暗孤子和反暗孤子.Zhang、Qiu、Cheng和He导出了一类满足文献[21]中奇偶时间(PT)对称条件的非局部NLS方程，并且得到具有两个自由相参数的有理解.Yan[6]提出了一些新的统一的双参数波动模型,模型连接了可积的局部和非局部向量NLS方程.Ma和Zhu[22]介绍了一个非局部NLS方程的几何及其离散形式.

文献[23]通过非标准程序导出了任意含时线性势的广义非局域Gross-Pitaevskii(NGP)方程,并在准一维Bose-Einstein凝聚中给出了更一般的亮孤子解.文献[24]提出了一个广义的非局部非线性GP方程,将其化为具有自诱导PT对称势的非局部GP方程,并通过逆散射和相似变换得到了非局部GP方程的一些新的非自治孤子解.文献[25]发展了一种非标准双线性化方法,得出了PT对称耦合非局部非线性薛定谔方程更一般的亮孤子、呼吸孤子和畸形波解.文献[26]考虑了一类具有外势的非线性GP方程的反散射变换和孤子稳定性,得到了周期外势与谐波外势相结合的GP方程,并得到了其物质波解的稳定性.

对于可积孤子方程,构造显式解一直是一个重要的课题.然而,目前对RS-NCNLS方程的研究较少.笔者构造了RS-NCNLS方程的N次DT,提出了一些新的单孤子和双孤子,通过复杂的计算,得到了零和非零种子解,包括亮孤子、反扭孤子和呼吸波孤子,给出了它们的分布情况.

1 Darboux变换求解非局部RS非线性耦合方程

最近,提出了一个可积的非局部非线性耦合薛定谔方程(也称为逆空间RS-NCNLS方程).在本节中,将考虑散焦非局部非线性耦合薛定谔系统(RS-NCNLS),方程式如下：

(1)

RS-NCNLS方程的一般形式出现在非线性光学中[27]，具有以下形式的Lax对:

(2)

(3)

这里,q(x,t)和q(-x,t)是x,t的势函数,λ是一个谱参数,φ=(φ1,φ2,φ3)T是方程(2)和(3)的列向量解,与特征值λ有关.

构造RS-NCNLS方程的规范变换M：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

基于N次DT,可以导出RS-NCNLS方程(1)的新旧解之间的关系:

(12)

式(12)是方程(5)通过达布变换得到的.

(13)

2 非零背景下RS-NCNLS方程的N-孤子解公式

为了得出方程(1)的N-孤子解表达式,考虑如下矩阵M：

(14)

(15)

根据方程(15)和克莱姆法则,得到:

(16)

其中,

(17)

基于方程(4)、(12)和(17),可以推导出RS-NCNLS方程N-孤子解的新公式:

(18)

为了利用DT求出方程精确解,将首先给出种子解q1(x,t)=α1eiβt,q2(x,t)=α2eiβt,将其代入方程(2)和(3),可得到上述方程的3个基本解：

(19)

其中：

利用式(8)和(19),得到如下Sj：

(20)

为了获得方程(1)的解,分别考虑N=1,2的情形.

(I)考虑N=1,且λ=λj(j=1,2,3),求解方程(7),可得

(21)

其中,

(22)

根据DT,得到了平面波背景下RS-NCNLS方程(1)的非局部单孤子解：

(23)

图1 非零背景下RS-NCNLS方程的1-孤子解

(Ⅱ)考虑N=2,且λ=λj(j=1,2,3,4,5,6),求解方程(7)，可得

(24)

其中：

(25)

通过DT公式得到平面波背景下非局域RS-NCNLS方程的2-孤子解：

(26)

图2 非零背景下RS-NCNLS方程的2-孤子解

3 结论

笔者构造了RS-NCNLS方程的DT,选择合适的参数,给出了平面波背景下N孤子解公式的表达式,并通过变换得到了RS-NCNLS方程的一些新解.此外,还研究了这些孤子的动力学行为.本文的结果进一步揭示了非局域非线性耦合Schrödinger方程新颖的动态分布.该方法也适用于物理和数学中的非线性非局部问题的孤子方程.