基于翻转课堂模式的数学建模案例教学实践

摘  要：在信息技术发展速度日益加快的同时，数学建模在应用数学领域中的重要性不断凸显。众多学校为培养出更多高质量的人才都开设了数学建模课程，这对数学建模相关研究工作的开展极具意义。文章主要对数学建模课程的特征及研究现状进行探讨，并对翻转课堂模式在数学建模中的应用可行性及原则进行阐述，在此基础上探讨翻转课程模式下的数学建模案例教学的出路和方向，以期为数学建模教学的发展起到有效借鉴，使学生可更好地利用数学知识来解决实际面临的问题，进而使高校培养出更多高质量的人才。

关键词：翻转课堂;数学建模;教学实践

中图分类号：G642    文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2022）11-0075-04

步入新时代后，数学建模在数学教学中的重要性愈发凸显，成为极佳的解决现实问题的工具。对数学教育来说，如何提升数学建模案例教育成效，是非常关键的课题内容，但从目前的数学建模教学来看，还存在学生知识结构不完善、能力参差不齐、学时有限等问题，若是继续沿用传统教学手段，势必无法解决这些问题，自然也难以培养出高质量的人才[1]。所以，科学应用翻转课堂等新型教学手段，可使存在的问题得到有效解决，数学教师应对此有正确认知，积极将新的技术手段引入课堂中。

一、数学建模课程的特征及研究现状

（一）数学建模课程的特征

数学建模课程已是公认的能促进学生综合素养提升、强化创新能力与实践能力，可用于解决现实问题的重要工具[2]。近年来，数模竞赛的推广力度不断加大，促使社会对数学建模课程的重视度持续提升。数学建模具备很强的实用性，但教师对该课程的理解存在差异，所以教学理念与手段也具有极大差异。在以往的教学中，教师基本上都是在课堂中讲述数学建模的理论、常用模型、典型案例。但是，数学建模课程面对的学生专业多样，这些学生有着不同的基础，高校若是都采用相同的教学模式，要想培养出专业的数学建模人才就显得尤为困难，对学生综合能力的提升也会造成阻碍。与此同时，以往的教学模式也无法将学生的主动性充分发挥出来，教师为课堂的主体，参与教学活动的学生仅是个别人员，无法实现大众化，学生的参与积极性不高，自学能力也难以得到提升。此外，传统的考核方式也缺乏科学性，往往是将学生划分成多个组别，由各小组分别完成一份数模论文，对于论文中每位学生的贡献度，教师难以判断，所以对学生的成绩也难以公平衡量。由此可见，数学建模课程的改革势在必行。

（二）数学建模课程的研究现状

随着教改工作的日益深入，诸多研究者都愈发关注数学建模教育，并针对数学建模教学质量如何提升的问题开展了一系列研究。学者欧剑探讨了数学建模的开放式教学，提出应当全面开放相关教学内容、方式、竞赛方式等。学者李启建认为必须注重数学建模教师的培养，组建优秀的教师队伍，为教学效果的提升奠定扎实基础。此外，还有很多学者认为应注重实际案例的应用，在数学建模课程中，通过案例的制作与分析，使学生懂得如何有效应用数学知识、掌握好应用方法。此种案例式教改已取得极为不错的效果，极大提升了学生的学习积极性，使学生在学习过程中的思维更为活跃，想象能力也有所强化。在网络技术日益更新、网络资源不断丰富的大背景下，学生的学习方式愈发灵活，如何引入新的教学手段、选取科学有效的案例，已成为教师需要重点考虑的问题[3]。

二、翻转课堂模式在数学建模案例教学中的应用可行性及原则

（一）应用的可行性

其一，由培养目标入手分析，翻转课堂有利于培养学生的综合素养。数学建模和其他理工科专业课有一定的差别，并非以累积数学知识为主要目标，关键是要培养学生的自学、探究、实践能力，促进学生能够借助数学知识更好地解决现实中遇到的问题。翻转课堂不再是以教师为课堂主体，而是强调让学生进行自主探究，教师在课堂当中扮演多重角色，师生地位上的转化，使得学生各方面能力的培养获得更大的提升空间。

其二，由教学内容入手分析，翻转课堂对开放式教学来说极具作用。数学建模的诸多模型都有多个求解思路，可以选择多种数学方法，且题目答案也不是固定的。参与数学建模学习与竞赛的学生，基本都来自多个专业，学生的能力、知识结构都具有一定差异。老旧的模式无法顾及学生间的差异性，极易使学生最终的学习效果有很大差异。翻转课堂的模式旨在让学生进行自主学习，结合自身的知识结构与能力水平，选择适宜的方式来建构数学模型。

其三，由教育与竞赛形式入手分析，翻转课堂和数学建模教育非常契合。翻转课堂经常采取的学习形式为小组协作，教师结合学生特征对学生进行合理分组，小组成员协作完成目标。数学建模作业往往也是以小组形式完成，每一个成员都有对应的工作，大家通过相互配合来完成目标，竞赛也是小组协作形式，因而和翻转课堂的形式几乎是相同的[4]。

其四，由考评方式入手分析，翻转课堂的教学模式和教学评价相适应。以往的考试基本都是笔试，这和数学建模想要达到的考核效果是存在差异的，因为数学建模涉及较多的内容，题目相对较难，要凭借个人能力在几个小时内完成考试内容有较大难度。在人才培养上，数学建模更强调建模、编程、自学、团队协作等能力的培养，在翻转课堂中这些能力都能夠进行有效考核，只要对考核环节进行科学设置，就可达到良好的考核成效。

（二）需遵循的原则

微课制作时，教师必须明晰课程开展的目的以及具体的分类。数学建模包含众多步骤，任何一个环节都非常重要，仅依靠短短10分钟微课将全部环节尽数体现有较大难度。教师应明确该节课具体以哪个建模环节为主，不可想着面面俱到，要凸显重心。在数学建模案例教学中，翻转课堂模式的应用应具体遵循以下原则：

其一，教师应结合数学建模完整流程，对学习任务单进行科学设计。翻转课堂模式中，设计学习任务单是结合教学目标进行学习路线、任务的设计，其有利于引导学生确定学习内容与方法，进而达到更好的学习效果。具体教学中，教学应结合数学建模流程来设计任务单，对教学内容进行科学划分。例如学前任务单，可以纳入问题背景、软件用法等内容;课堂任务单中，可纳入模型建立基本步骤等内容;课后任务单中，可纳入模型改进、评价等内容。68177E82-F437-4F90-B56D-0C8C8DB7BFE9

其二，教师在进行翻转课堂教学设计时，应将学生建模、创新、软件应用等能力的培养纳入其中。数学建模具有开放性，可培养学生的多方面能力，和其他数学课程存在差异，若是在微课制作、设计学习任务单等环节，注重学生多方面能力培养和考核，那翻转课堂的效用就无法最大限度地发挥出来。特别是在评价学生的学习效果时，教师不仅要考虑论文完成的整体状况，也应强调在分工合作过程中小组成员间的水平差异;对于任务完成过程中学生暴露的不足，应有针对性地进行后续课程内容的设计。

三、翻转课堂下的数学建模案例教学的模式探讨

在计算机技术日益发展的同时，网络中的教学资源也愈发丰富，为翻转课堂的开展提供了有力保障[5]。翻转课堂模式旨在培养学生的自主学习能力，与数学建模课程的特点相符，将其引入数学建模课程中是具有可行性的。基于翻转课堂，教师可将数学建模的教学步骤划分成课前自学、课中探讨、课后提升等环节。课前自主学习，是学生通过学习平台自主学习理论知识，了解模型建构基础内容;课中探讨和应用，主要是学生分组进行案例探讨，共同建模，教师对学生进行适当指导;课后提升，主要是在网络平台中，教师为学生提供答疑解惑服务，和学生交流增进感情，具体步骤如下：

（一）构建数学建模教学平台

计算机技术的发展速度越来越快，使得教学方法面临更多的可能性。对于数学建模教学平台的构建，教师应基于教学大纲，搜集网络上优秀的教学资源，进行资源整合，继而建立可供师生交流、互动的平台，为学生的学习提供便利。教学资料一般包括建模课件、自制教学视频、教学安排、课后练习等，网络中的教学包、微课视频、慕课视频等都有值得借鉴的优秀资源。学生只要登录平台，就可自主学习平台中的课件、视频，也可进行课后练习，这些步骤都可在网络上完成。通过教学平台，师生之间能够进行便捷互动，无须受到时空限制，只要有电脑、智能手机即可随时交流，这种模式可使得教学效率大大提升。在平台中也可进行多样化的评价，不仅可由教师对学生的学习状况进行评价，学生之间、学生自身也可进行评价。此外，在建立的平台中，教师可结合数学建模课程的特性以及学生的实际情况，制定科学的教学规划。

（二）课前学生自主学习

数学建模课程涉及概率统计、微分方程、模糊数学、回归分析等诸多内容，这门课程的知识面极广。所以，教师要在课堂中讲授全部的知识点，必然会由于课时问题而影响课堂效率，翻转课堂模式的应用，能促使这些问题得到更好的解决。教师在课前，会结合教学大纲来布置学习任务，而学生的任务主要是观看教学平台中的教学视频、PPT等内容，接着通过练习题来对自学状况进行检验，平台也会将学生自学时存在的疑问以及容易出错的题目记录下来。与此同时，在学习平台中，学生们也可交流互动。例如在数学规划模型讲解过程中，课前教师先让学生从平台中寻找相关资料，接着阅读这些资料内容，了解数学规划中各种决策变量存在的差别，自行思考如何结合实际问题罗列目标函数。而在进行自学时，学生可记录遇到的难题，并发布到平台和其他人员探讨交流。

（三）课中学生将知识内化

在课前自主学习之后，学生已对教师即将教学的内容有相应的了解，但学生如何将所学的内容进行内化，才是教学中尤为关键的环节，也是教学实施能否成功的重要检验手段。教师在课堂教学中，应针对学生普遍存在的问题进行讲解，对学生的课前学习进行回顾与整合，也可集中讲解薄弱的知识点，使得教学更具针对性，大幅提升教学效率。教师可让学生自行分组，每一组成员数量为三人最为适宜，接着再提出一个现实问题，让学生结合所学知识，相互配合、共同解决问题。学生先梳理自身学习到的新知识，并简单进行建模，接着对模型进行分析以及仿真测试，对模型的优缺点进行明确，并有针对性地改进模型，使得所建的模型能够更为精准地反映现实问题，进而确保求出的结果更加科学。对模型进行分析时，小组三名成员都应说出自己的详细思路，将认为有建设性的思路记录下来，以文字或数学符号的模式将这些思路体现出来。对于每一个小组提交的方案，教师可将其放在课堂中让所有学生进行探讨，指出方案的优缺点，教师也可适当进行评价，帮助每组的方案变得更科学完善。需要注意的是，翻转课堂注重的是師生与生生间的互动，不再是教师单一地灌输知识，这种互动课堂中，教师扮演的角色是多重的，不再仅负责答疑解惑，也是组织者和引导者，需要设计好课堂的教学步骤与内容，还应对学生进行有效引导，给予学生更多自主学习的机会。在这种模式下，课堂整体的互动氛围极佳，学生之间的想法可更好地碰撞和融合，进而形成强大的学习合力，学生也可获得适合自己的知识与技能。数学建模除了要学习到数学知识，更为重要的是要做到学以致用，将这些知识在生活中进行灵活应用，只有学生意识到数学知识的实用性，才可提升学习数学知识的使命感，进而积极主动地学习。

（四）课后提高与考核

教师在课前的备课以及课中的教学组织与引导，都是尤为重要的内容，而课后对学生的评价也是不可或缺的步骤。对于学生提交的建模成果，教师应给予简单评价，并反馈给每一个小组成员，为后续的知识内化与提升做好铺垫。在对课中知识进行内化之后，学生对知识已有了一定的掌握，但因数学建模具有一定的独特性，不同于传统的数学课程，模型建立是否有效，在很大程度上取决于数值仿真结果，所以上机操作是非常重要的步骤，只有多次调试建模的参数，得出的模型才更有价值、实用性更强。仅靠课堂的时间必然是不够的，学生在课后还应对课中学习到的知识进行观察与测试，才可更好地巩固知识，真正吃透这些知识，课中构建的模型也可在不断优化中更具可行性。课后的提高不单单只针对学生，教师对课堂的总结与反思也是必须进行的，教师应结合建立的平台了解学生的学习状况，对学生的知识掌握与应用状况进行详细了解，并结合学生的反馈，对翻转课堂设计的可取之处与不足之处进行总结，反思出现不足的原因，由此规避出现相同的错误。教师根据学生的知识掌握状况，也可对教学内容进行更好的调整，进而设计出更具实用性的课程。因数学建模是一门较为特殊的课程，主要依据学生书面成绩来判断学习成效，传统模式已无法适应该门课程，考核得到的结果也不是学生水平的真正体现。所以，结合课程的特性来调整考核方式，实施教师评分、学生互评、自评相结合的多元化考评模式，将更为符合数学建模课程。教师评分主要是对学生的课前自学、课中表现及课后总结进行评分，自学评价主要是依据学生在平台中观看视频的时长以及问题探讨状况，课中的表现主要是依据学生所在小组的建模以及问题回答、动手能力的状况进行判断。课后的评价主要是对建模小论文的质量进行评价。课前、课中与课后三个环节，分别占据的权重是30%、30%、40%，学生的最终成绩通过加权平均得出。对于学生间的互评，主要是根据每一个小组的建模以及问题回答状况进行相互评价，自评则是依据自身学习状况来评价。

四、结语

由于翻转课堂的教学模式与数学建模课程的特点具有很好的契合度，近年来翻转课堂在数学建模教学中的作用已愈发凸显，越来越受到教师的喜爱，也为学校的教学改革注入了新活力与动力。翻转课堂不单单注重课堂的教学，其也十分强调学生课前的自学与课后的提升在课前让学生自主学习并搜索相关资料，从而提高学生的自学能力;在课中的分组交流与讨论环节，不但提高了学生发现问题与解决问题的能力，也提高了学生的团队合作能力。这些都与新时代教育教学改革的目的相一致，因此翻转课堂教学模式在数学建模教学中的实施与推广也必将推动教育教学改革。

参考文献：

[1] 邵晓锋. 翻转课堂教学模式在数学建模教学中应用的可行性分析[J]. 电子制作，2014（10）：269-270.

[2] 张鸿艳，冯玉铁. 基于微课的翻转课堂模式在数学建模教学中的实践[J]. 高师理科学刊，2016，36（06）：16.

[3] 刘清华. 高职数学建模翻转课堂教学模式的优势特征及其教学操作[J]. 科技视界，2017（19）：19-21.

[4] 朱莉. 基于翻转课堂的高职数学建模“课程思政”教学设计研究——以线性规划模型为例[J]. 江西电力职业技术学院学报，2021，34（06）：56-57+59.

[5] 欧阳章东. “数学建模”课程实施翻转课堂教学模式探究[J]. 湖南第一师范学院学报，2018，18（05）：77-79.

基金项目：商洛学院教改项目“基于新工科背景下的‘大班上课，小班研讨的数学教学模式的探索”（项目编号：19jyjx120）。

作者简介：卢晶（1983—），女，硕士，商洛学院数学与计算机应用学院副教授，研究方向为计算机图形学。68177E82-F437-4F90-B56D-0C8C8DB7BFE9