例谈三类函数零点问题的解法

王庚申

函数零点问题的难度一般不大，常以填空题、选择题的形式出现，此类问题侧重于考查同学们对零点概念的理解以及运用函数性质的熟练程度．本文主要探讨下列三类函数零点问题及其解法．

一、判断零点个数

函数f（x）的零点是函数与x轴交点的横坐标，即f（x）=0时x的值，判断函数零点的个数，往往有三种思路：一是数形结合，通过分析函数的图象，确定函数与x轴交点的个数；二是运用方程思想，令函数f（x）=0，通过解方程求得方程的实数根的个数；三是运用零点存在性定理，若在定义域[a，b]内f（a）f（b）<0，则函数在该区间内存在零点，再结合函相等，但本题中k≠k+1，故不能取等号．

解答本题，需先根据函数有零点，建立方程；然后对函数求导，判断出函数在定义域上的单调性；再结合函数零点的存在性定理判断出函数零点的个数．

二、已知零点所在区间求参数的取值范围

若已知函数零点的所区间，求参数的取值范圍，往往需首先根据函数的解析式画出函数的图象，然后根据图象中交点的位置，建立关于参数的方程，或根据零点存在性定理建立关于参数的不等式．有时题目中会给出更多的约束条件，此时需结合函数的图象来逐步缩小或确定函数零点的取值范围，建立关于参数的不等式，通过解不等式来求得参数的取值范围．

三、求零点的和

求零点的和问题是一类常见题目，但是较为复杂．通常需根据函数的奇偶性、周期性、对称轴等明确并画出函数的图象，然后根据图象确定零点的个数及位置，据此建立各个零点之间的关系式，从而求得零点之和，

求几个零点的和，往往要灵活运用函数的基本性质，以明确函数的周期、对称轴等．同时，要运用方程的思想、数形结合思想、转化思想来辅助解题．

总之，解答函数零点问题，需根据函数零点的定义，将函数的零点与方程、图象上的交点关联起来，灵活运用函数的图象和性质，方程的性质，零点存在性定理来解题．