弗赖登塔尔“再创造”理论对小学数学教学的启示

邓海英，喻平

摘要：引导学生在数学活动中学习，基于数学现实，对学习材料进行数学化加工，从而实现“再创造”，这是弗赖登塔尔“再创造”理论的框架。将这一理论应用于小学数学教学，首先，要用儿童的眼光看待现实情境，发现儿童眼中的数学现实，并且搭建“脚手架”，帮助儿童构建数学现实;其次，要组织现实材料，帮助学生获得操作性经验，并且简化复杂情境，帮助学生抓住问题的本质;再次，要指导学生将现实问题加工为局部的数学问题，将局部的数学问题加工为结构化的数学问题。

关键词：弗赖登塔尔;再创造;数学现实;数学化;小学数学

本文系湖南省社会科学成果评审委员会项目“小学生情境问题解决能力培养研究”（编号：XSP21YBC052）的阶段性研究成果，也系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（小学）系列文章之九。荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔，早期从事拓扑学和李代数（一种重要的非结合代数）方面的研究，取得了卓越成就;后期把精力放到数学教育领域，出版了大量著作，成为国际数学教育委员会（ICMI）第八任主席，倡议召开国际数学教育大会（ICME），极大地推动了数学教育研究。他在代表作《作为教育任务的数学》一书中提出了“再创造”理论，在数学教育界产生了巨大的影响。即使在课程改革持续推进、教育理念不断翻新的当下，“再创造”理论仍具有现代意义，对以发展学生核心素养为目标的数学教学仍具有实在的指导价值。

一、弗赖登塔尔“再创造”理论概述

（一）“再创造”理论的几个核心概念

“数学现实”“数学化”“再创造”是“再创造”理论的核心概念。

“数学现实”是指数学课程内容应该与现实有密切的联系，并且能够在实际中得到应用。数学的整体结构应当存在于现实中，只有密切联系现实的数学才能充满着各种关系，才能与现实结合并且得到应用。②③弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：122，123，109。儿童总是处于某种现实的情境中，有些情境承载着重要的数学信息，这些情境中的数学信息就是儿童面对的“数学现实”之一。

“数学化”是指学生应该学习将非数学内容或不完整的数学内容组织成一个合乎数学的精确性要求的结构。②例如，将空间完形为图形，是空间的数学化;整理平行四边形的性质，使之形成推理联系，以得出平行四边形的定义，是平行四边形概念领域的数学化。数学化有两种形式。一是横向数学化：将实际问题转化为数学问题，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做形式化处理，把生活世界引向符号世界。二是纵向数学化：在数学范畴内对已经形式化了的问题做进一步抽象化处理，是更深层次的数学化，从符号到概念，影响到复杂的数学处理过程。

“再创造”是指由学生本人把要学习的东西发现或创造出来。教师的任务是引导和帮助学生进行“再创造”的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。弗赖登塔尔认为，学生已经具备某些潜在的能力，从发展这种潜能出发，数学教育不能從完美的现成结果开始，不能将各种规则、定理等远离现实生活的抽象内容硬性地灌输给学生，而应创造合适的条件（通常是提供一些情境或现象的材料），逐步让学生在实践的过程中通过自己的发现学习数学，获取知识，使学生头脑中已有的非正规的数学知识与思维上升、发展为科学的理论。生物学上有一条原理：个体发展过程是群体发展过程的重现。这条原理在数学学习上也是成立的：学生具有发现数学知识（“再创造”）的能力，数学发展的历程也可以在学生身上重现。

（二）“再创造”的基本理论体系

弗赖登塔尔对数学教育有一些独特的见解，可以概括为下面几个观点：

其一，不应当教现成的数学，而应当教活动的数学。“将数学作为一种现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题。这不可能包括真正的数学，留作问题的只是一种模仿的数学……面对现成的数学，学生唯一能做的事就是复制。”③这个观点是对传统数学教学形态的一种反叛，意图将先学后做的思维方式颠倒过来，在活动的过程中引入知识，在数学化的过程中建构知识。这个观点与斯托利亚尔的观点是一致的，把数学教学视为活动的教学。这个观点奠定了弗赖登塔尔的教学认识论基础。

其二，教学活动是让学生“做数学”的过程。弗赖登塔尔认为，教学的最好方法是让学生做。这就为“活动的数学”规约了活动的方式。“做”既包括动手，也包括动脑。动手做的本质是借助于身体去认知，动脑做的本质则是思维实验。显然，这一思想与杜威的“做中学”一脉相承。杜威认为，在理想的教学过程中，教师应当鼓励儿童在活动中，开动大脑，运用观察和推测、实验和分析、比较和判断，使他们的手足耳目和头脑等身体器官成为智慧的源泉。约翰·杜威.民主主义与教育[M].王承绪，译.北京：人民教育出版社，2001：25。

其三，教学活动应当让学生经历数学化的过程。数学化是对“活动的数学”在内容方面的圈定。数学产生于现实，每个学生都有不同的数学现实。学生需要对现实进行数学化，将非数学的内容数学化，将不完整的数学内容组织成一个合乎数学的精确性要求的结构。而数学化的核心步骤是用数学方法把实际材料组织起来，组织材料本身就是一项数学活动。这里要强调的是，数学化有两个要点。一是数学化的结果应当是结构化的知识体系。例如，平行四边形的每一个性质都是数学陈述，但是这些陈述的整体本身只是一个大杂烩，只有用逻辑关系建立结构，它才成为数学，而这个过程就是数学化。二是数学化有进阶的特征。数学化首先是对数学现实进行加工形成局部的数学材料，这是低层次的数学化过程;然后是对局部的教学材料进行整体组织形成结构化的数学，这是高层次的数学化过程。

其四，数学活动的一个目标是“再创造”。弗赖登塔尔认为，普通的儿童也有能力“再创造”出他在将来的日常生活中所需要的数学，可以创造内容，也可以创造形式。学习过程必须含有直接创造的层面，即从学生的观点上来看是创造，是主观上觉得的创造，而不是客观意义上的创造。比如，学生可以根据自身的数学现实创造个性化的2+3=5的计算过程，而不能说学生创造了2+3=5这个算式的计算原理。所以，学生可以创造数学化而不是数学，创造抽象化而不是抽象，创造算法化而不是算法，创造语言描述而不是语言。通过“再创造”，可以促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。通过“再创造”来学习，能够获得发现的乐趣，引起学习的兴趣，并激发学习的动力;通过自身活动得到的知识与能力比由旁人“硬塞”来的，要理解得透彻、掌握得充分，同时也更善于被应用，还可以较长久地被记住。

将上面的观点组合起来，可以看到，弗赖登塔尔事实上给出了一个数学教学程式（如图1所示）。首先，从现实中选择与学习内容相关的材料，通过学生的数学活动将这些材料加工成不完整的数学（局部的数学），这是低层次的数学化过程;其次，通过学生的数学活动将局部的数学加工为结构化的数学，这是高层次的数学化过程;最后，将建构的知识用于解决问题。这就是“再创造”的学习过程，它不是将现成的数学直接传递给学生，而是通过揭示知识的发生发展过程，让学生经历数学化，本质是学生自我建构知识。

二、对小学数学教学的启示

“再创造”理论以数学现实作为起点，需要学生对现实情境进行数学化，从中辨认问题、提出问题，进而建立一个数学模型。

（一）如何甄别数学现实

1.用儿童的眼光看待现实情境，发现儿童眼中的数学现实

教学直接指向的是学生思维世界的开启，任何教学都要首先激发个体的思维参与到特定教学情境包容着的知识世界，以此使得个体身心参与到其生活世界的建构中。刘铁芳，位涛.从思维激活到理智兴趣培育：启发的教学意蕴及其实现[J].国家教育行政学院学报，2018 （11）：8795。马克斯·范梅南也提出，要关注儿童的独特性、情境的独特性以及个人生活的独特性，避免过分关注儿童的共同特征。数学家们常常只关注数学本身，关注逻辑（演绎）和结构（体系），并不关注现实材料对儿童学习的作用和影响。大量实践和研究表明，学习材料若不对儿童的胃口，就很难引发他们的学习兴趣。教师要有意识地从儿童的角度看待现实世界，揣摩儿童眼中独特的数学现实。简单地说，要能判断哪些现实情境在儿童眼中是合理的、熟悉的、贴近生活的、新颖有趣的。

例如，教学“数据统计”时，可以让学生统计某一年内自己家里每个月的电费，从而既能和父母共同研学，又能知道节约用电，增强环保意识;还可以让学生统计一个星期内自己家里的饮食情况，包括吃水果、蔬菜、零食等的情况，培养健康饮食的意识和习惯等。

再如，在工程问题、行程问题等应用题的教学中，教师可以试着改造陈旧的问题情境，利用科技发展等元素融入爱国主义教育，发挥情境的教育意义，从而既能教授数学方法，又可赋能课程思政，践行立德树人。

下面再举一个更为详细具体的例子：

教学人教版小学数学三年级上册《吨的认识》一课时，教师先让学生思考：一袋大米重100千克，10袋大米重多少千克？学生列式计算，得到结果为1000千克。教师揭示：1000千克是一个很重的质量，数学上规定用1吨来表示1000千克，即1吨=1000千克。然后提问：1吨里面有几个1千克？吨和千克之间的进率是多少？学生回答后，教师組织活动，让学生体验1吨有多重。

（1）教师让学生以小组为单位，每个人都用力提一提（力气小的学生可以两个人一起提）事先准备好的一袋重10千克的豆子，感受10千克有多重，并汇报自己的感受。然后，让学生推算多少袋这样的豆子重1吨。当推算出来是100袋时，学生会感叹：“哇！1吨这么重呀！”

（2）教师让学生两人一组，互相说一说课前测出的自己的体重是多少千克，再互相背一背，感受1名同学有多重。然后，让学生推算：三年级学生的体重差不多是25千克，如果一名学生的体重是25千克，那么，10名这样重的学生大约重多少千克？40名这样重的学生呢？从而进一步感受1吨有多重。

（3）有了一袋豆子的重量、一名同学的体重作为参考，教师让学生结合生活经验说一说生活中什么东西大约重1吨。然后，用课件出示各种例子：两头牛大约重1吨，一般电梯的载重量是1吨……

（4）教师让学生汇报课前了解的自己家上个月或某几个月的用水量。然后，让学生想象：如果把1吨水装在一个正方体的水箱里，这个正方体该有多大？接着，出示一个棱长是1米的正方体，指出：在这个正方体里装满水，水的质量就是1吨。由此，让学生感受1吨水到底有多少。

以上设计，让学生先感受身边物体的质量，再以此为基础加到大单位的质量，增强体验感，紧紧抓住儿童的生活经验，用儿童的眼光提取现实中的数学。

2.搭建“脚手架”，帮助儿童构建数学现实

每个儿童都有自己的数学现实，但往往又不完善、不严密，甚至还存在错误的认识，影响学习效果。教师站在儿童的角度置身于学习过程，搭建“脚手架”，是帮助学生构造数学现实、发展数学现实的良好途径。

下面通过一组测试数据说明学生在计算错误中反映出来的“现实误差”。测试试题如下：

每年的7月1日—7月30日，富士山对公众开放，在这段时间里，大约有9000 名游客去富士山爬山，平均每天大约有名游客。

有效被试总人数为800人，答对的有640人，占总人数的80%;没有作答和答错的共160人，占总人数的20%。错误解答情况如下页表1所示。邓海英，严卿，魏亚楠.数学情境问题解决错误分析与评价[J].数学教育学报，2021（1）：6167。

从表中可以看到，四年级学生对9000÷30=300的应用竟然会有这么多错误的想法和算法。除了一些纯粹由于计算能力弱、口诀记错、把用除法求平均数看成用乘法求总数等造成的错误之外，其余大部分错误都存在比较共同的原因，那就是：9000÷30=300这个计算题放在了现实情境中，学生的数学现实不够支撑起对这个情境的理解，要么用错了9000人，要么算错了30天，要么完全不知道怎么用数学式子来表达题意，只是将数字毫无根据地加减乘除。

因此，学生犯这些错误可以认为是因为他们不理解算式与情境的关系，不能对9000÷30=300这个算式“讲故事”，不能由“故事”想到算式，也不会质疑不合常情的“故事结尾”——如对280000这样的大数、4.934这样的小数，尤其是4.934表示人数，竟然没有觉得有什么不妥，也没有反思、改正。

学生数学现实的水平又成了教师要面对的“数学现实”。教师要把算式与情境的关系讲好，给学生讲清楚题目中每句话、每个字描述的真实现象，搭好“脚手架”：“富士山是日本有名的旅游胜地。因为山顶常年寒冷，所以，一年中最热的7月份（山顶平均气温也才6度左右）旅游的人比较多。7月1日—7月30日这30天里，共有9000名游客去了富士山，那么，这30天里，平均每天大约有多少名游客呢？是多大的一个数呢？”把总人数9000、总天数30、要计算平均数这些条件陈述清楚，将问题置入真实情境中，就是在搭建“脚手架”。

（二）如何实现“数学化”

1.组织现实材料，帮助儿童获得操作性经验

19世纪英国著名博物学家、生物学家、教育家赫胥黎认为：“数学训練几乎是纯演绎的。数学家从少量简单的命题出发，这些命题的证明如此明显，可以不证自明，其余的工作就是从这些简单的命题来进行巧妙的演绎。”“数学是一种根本不懂得观察、实验、归纳与因果关系的研究。”这是常见的对数学的偏见和误解。同时期，英国数学家西尔维斯特对赫胥黎的观点做了批判。他认为，数学研究要不断观察和比较，它的主要武器之一是归纳，它经常求助于实际的试验与比较，同时它还对想象力与创造力进行最好的训练。弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：121。弗赖登塔尔主张，儿童在数学学习中可以对非数学化的现实材料用数学方法来组织，通过整理、观察、比较、试验、提炼、归纳进行数学化。

例如，学生通过观察学具，将空间表示成图形，这是对空间的数学化;用折一折、拼一拼的方法发现三角形的内角和为180°，这也是经历了数学化的过程;通过操作、讨论、联系、类比、记录，整理平行四边形的性质，使之形成推理关系，再归纳得出平行四边形的一个定义，这是平行四边形概念领域的数学化。几何学习有数学化的优势：有具体可操作的现实材料，学生易于获得操作性经验，在具体操作中体验数学化过程，逐渐发展抽象、归纳的能力，提高数学水平。

2.简化复杂情境，帮助儿童抓住问题的本质

一些数学问题看上去似乎是现实情境里的问题，但是被编题者加工了，让解题者好像掉进了一个复杂的漩涡里。来看下面两个问题：

（1）顾客在书店里买一本书，书价10元，他付了一张20元的钞票。书商无零钱可找，请隔壁的鞋匠帮忙。鞋匠给他一双修好的鞋，可收修鞋费16元。此外，鞋匠原来欠书商2元。结果，书商从鞋匠那儿拿到了6元，加上自己的4元，总共找给顾客10元。下午，鞋匠告诉书商，20元钞票是假的。问：书商欠鞋匠多少钱？自己损失多少钱？

（2）甲乙两人相距700米，相向而行，速度分别是1.5米/秒和2米/秒。一条小狗在甲、乙之间匀速地来回跑动直到甲乙两人相遇，速度是20米/秒。当甲乙两人相遇时，小狗共跑了多少米？

问题1给出的现实情境比较杂乱，学生读下来往往觉得没有头绪，只看到多个人不断地给或收钱物;而问题2，学生读下来则满脑都是来回奔跑的小狗和越走越近把小狗夹在中间的两人，直至最后小狗没空隙奔跑，两人面对面站着，在这一过程中，小狗跑动的轨迹非常复杂，可以分为多段直线，而且无法计算出每一段的长度。

这两个题目的“高明”之处就是把数学条件隐藏在了有多个行为主体参与的动态的现实情境中。要求的问题看上去都很简单、朴实，但是，方法被纷繁复杂的现实情境遮住了。

攻克这种问题的武器就是“简化”。去掉所有枝节，抓住问题本质，解决的方法、需要的条件也就浮出水面了。

问题1的简化思路和方法如下：题中人员关系混杂，那就从“裁员”开始，确定“主角”和“配角”。以书商为标准，“进项”为加，“出项”为减，假钞为0（没有价值）。先看他与鞋匠的交易：出20元假钞，价值为0;进一双修好的鞋，价值为16元;进6元;之前出过2元（鞋匠原来欠他2元）。16+6-2=20，意味着他得鞋匠20元，即他欠鞋匠20元。再看他与顾客的交易：进20元假钞，价值为0;出一本书，价值为10元;出10元（找钱）。-10-10=-20，意味着他给顾客20元，即顾客欠他20元。他欠鞋匠的要还，还完之后不得不失;顾客欠他的不会还了，所以他损失20元。

问题2的简化思路和方法如下：路程=速度×时间，小狗奔跑的时间就是甲乙两人相遇所花的时间。此题只是做了一个巧妙的转嫁：看似复杂的现实情境，其实对应着非常简洁的数学公式。

（三）如何实现“再创造”

弗赖登塔尔指出：“将数学作为一种活动来解释和分析，建立在这一基础上的教学方法，我称之为‘再创造方法。”弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：111。这是要让学生参与活动，在活动中经历对学习材料的数学化处理过程，从而获得知识。数学化的两种形态——将现实材料加工为局部（不完整）的数学、将局部（不完整）的数学改造为结构化的数学，都应当在指导学生“再创造”的教学中有所体现。

下面以“平均数”概念教学为例来说明。

首先，将现实问题加工为局部的数学问题——

教师出示问题：在学校“题王争霸赛”中， A、B两队选手的得分情况如表2所示（答对1题得1分），请问：哪一队水平高？

对这个问题，学生会想到，分别求两队的总分，然后比较。但是又会发现，两队的人数不同，将总分进行比较存在不公平性，因此不能说明哪个队的水平高。于是，用旧知识解决新问题已经无能为力。

这是一个数学化的过程：把一个现实问题抽象成一个数学问题。但是对学生而言，这个数学问题又是一个局部的数学问题。

其次，将局部的数学问题加工为结构化的数学问题——

师在人数一样的情况下，用每个队的总分作比较，便知道哪个队的水平高。但是两队的人数不同，该如何判断哪个队的水平高呢？

（学生思考。）

师我们先不比A、B两队的水平高低，而把A队和B队的分数制成条形统计图。（出示图2）大家发现了什么？

生方块有多有少，每队各个选手水平高低不一。

师确实，各个选手水平高低不一，哪个能代表本队的水平呢？

生可以把多的方块移到少的方块上去，最后变成一样多。

生A队全部移成7，B队全部移成8。

师（出示图3）现在知道A、B两队哪一队水平高了吗？

生B队。

师没错。这个一样多的得分，就是各个选手得分的平均数。平均数可以代表一组数，而且它排除了这组数的总个数因素。（稍停）“移多补少”的方法直观，但是需要作图。一般地，平均数=总数÷份数。这个算法使用起来很方便。同学们可以用它来算一下A队4个人的平均分和B队3个人的平均分吗？

（学生计算。）

师结果一样吗？

生一样。

师利用这个方法，我们班上次期末考试的数学平均成绩怎么算？

生把我们全班同学的数学成绩加起来，然后除以全班总人数。

（教师总结，对平均数概念做进一步说明。）

这个过程就是将局部的数学问题加工为结构化的数学问题：用总数不能解决问题，就引入平均数的概念。而且，结构化的过程是不断进阶的：在今后的学习中，会出现用平均数不能解决的问题，于是又会形成局部的数学，需要引入中位数、众数等概念，再使其结构化。

除了数量关系的学习，在空间形式的学习中，也存在这两种层次的“加工”。比如，由单位正方形的面积推出长方形的面积公式，这是较低层次的“加工”;系统地回忆长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，形成如图4所示的思维导图，这是较高层次的“加工”，由此还可以大胆猜测圆的面积与长方形面积之间的关系（如图5所示），得到圆的面积公式的推导方法。