基于发展学生直观想象素养的教学实践与反思

摘  要：以“直线与直线平行”的教学为例，阐述基于发展学生直观想象素养的数学教学，需要重视对几何模型的深度开发，以及对几何定理证明的深入思考.

关键词：直观想象;教学实践;几何模型;几何定理

学生直观想象素养的培育，需要教师在数学教学中重视对几何模型的深度开发和几何定理证明的深层次思考. 对此，笔者结合“直线与直线平行”一课的教学实践谈两点反思，与大家分享.

一、备课思考

1. 教学内容

本节课位于人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册第八章第5节，是基本事实1、基本事实2和基本事实3的延续，内容包括平行的传递性（基本事实4）和等角定理. 平行的传递性是平行直线本质属性（方向相同）的反映，是平面内平行的传递性在空间中的推广. 平行的传递性连同基本事实1、基本事实2、基本事实3和三个推论，构成了立体几何逻辑推理的基础，是空间中判断直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的依据. 空间等角定理是由平行的传递性推导出来的，是平面等角定理在空间中的推广，是确定异面直线所成角、二面角的平面角的理论基础. 本节课的内容中蕴含类比和转化的数学思想方法，是发展学生直观想象和逻辑推理素养的重要载体.

2. 教学目标

（1）能类比平面内平行的传递性猜想空间中平行的传递性，能借助长方体模型或教室等实物加以验证，会用平行的传递性解决简单的空间几何问题.

（2）能通过类比平面等角定理猜想出空间等角定理，并能利用平行的传递性加以证明.

（3）在平行的传递性与等角定理的形成与应用过程中，感悟类比和转化的数学思想方法，发展直观想象和逻辑推理素养.

3. 教学重点和教学难点

教学重点：平行的传递性的形成与应用，等角定理.

教学难点：如何想到构造三角形，利用平行的传递性证明等角定理.

二、教学过程设计

1. 复习回顾，引入课题

平面内，两条直线有相交与平行两种位置关系. 平行是一种特殊的位置关系，也是我们重点研究的对象. 空间中，平行是一种重要的位置关系，在实际生产与生活中有着广泛的应用. 而通过上节课的学习，我们知道直线与平面平行包括直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行三种位置关系. 本节课，我们学习第一种位置关系——直线与直线平行.

【设计意图】回顾平面内与空间中的平行关系，这两者共同构成了学生学习本节课的认知基础，也是本节课的教学起点. 同时，构建两者之间的联系，为把平面内平行的传递性和等角定理类比推广到空间中做好了铺垫. 通过介绍空间中平行关系的重要性和应用的广泛性，强调学习空间平行关系的必要性，不仅能够激发学生的好奇心，而且有利于明确本单元的研究对象，引入课题.

2. 类比猜想，形成“事实”

问题1：平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行. 空间中是否也具有这样的结论呢？

【设计意图】通过初中的学习，学生已经知道平面内平行的传递性. 到了高中，通过立体几何的学习，学生能够感知空间与平面的一些联系，如球与圆、正方体与正方形等. 学生能够通过类比形成猜想：空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行. 但是这种猜想是模糊的，学生不能判定真假，需要进一步验证.

问题2：能否借助长方体教室（如图1）验证你的猜想？

【设计意图】空间中平行的传递性作为基本事实，不需要严格的证明，只需要借助空间几何体或生活中的事物举出丰富的例子验证猜想，进而归纳、概括出基本事实4，然后用三种语言（图形语言、文字语言和符号语言）表征，为应用做铺垫.

练习1：如图2，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？

【设计意图】学生通过猜想、验证、归纳、概括及表征，对空间平行的传递性有了一定的认识. 通过折纸，让学生体会：要判定“折痕”平行，需要借助“折痕”与相对的矩形纸片的一边平行，感悟平行的传递性所蕴含的转化思想.

3. 学以致用，深化理解

例  如图3，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.

追问：什么是空间四边形？它与平面四边形有何不同？

思考：在该例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？

【设计意图】例题是平行的传递性在解决较复杂问题中的应用. 虽然学生对平面四边形的认识深刻，但是对空间四边形的认识不足，因此借助追问，引发学生对空间四边形的思考，然后借助把矩形纸片沿对角线折叠，形成空间四边形的表象，为解决例题搭设台阶. 接着引导学生从平行四边形的判定出发，构造第三个几何量（连接[BD]），再利用三角形的中位线性质和平行的传递性解决问题. 思考是对例题的深化.

4. 借助“事实”，证明定理

问题3：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的关系如何？

【设计意图】学生在初中已经学习过平面等角定理，回答這个问题不难. 接着要引导学生画出满足条件的两个角的所有情况，并回顾证明方法，为类比猜想空间等角定理和寻找证明方法做铺垫.

问题4：在空间中，这一结论是否仍然成立？如果成立，试给出证明.

【设计意图】通过类比，猜想空间等角定理. 再让学生类比平面等角定理，画出符合条件的两个角的所有情况，并对这几种情况进行分析，形成只需证明其中一种情况（两个角的两边分别平行且方向相同）即可的结论. 然后引导学生联想：要证明两个角相等，只需要证明对应的两个三角形全等，进而想到构造以这两个三角形为上、下底面的三棱柱. 而平行的传递性在证明的过程中扮演着关键角色（三棱柱的三条侧棱之间的平行的传递性）.

5. 课堂练习，巩固定理

练习2：如图4，AA，BB，CC不共面，且有AA∥BB，AA=BB，BB∥CC，BB=CC. 求证：△ABC≌△ABC.

【设计意图】学习新知后应用新知是必不可少的教学环节. 练习是理解新知、巩固新知的一种重要的手段和形式. 练习2是对平行的传递性和等角定理的应用，既可以利用三边对应相等证明，也可以利用两边及夹角对应相等证明.

6. 课堂小结，总结提升

（1）这节课学习了哪些知识？运用了哪些思想方法？

（2）学习“基本事实4”的一般思路是什么？等角定理呢？

（3）根据“直线与直线平行”的学习经验，你能说说下节课我们应该学习哪些内容吗？你能设计学习这些内容的一般思路吗？它们与本节课有何联系？

【设计意图】从基础知识、思想方法及研究问题的思路三个方面加以提炼、总结，并从前后联系的角度设计第三个问题，为下节课预热.

三、教后反思

直观想象是《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学学科六大核心素养之一. 它不是几何直观与空间想象的简单组合，而是空间想象、空间观念与几何直观的有机整合. 就本节课而言，基于学生直观想象素养的发展，还有需要提升的地方.

1. 对几何模型的开发有待进一步深化

表象是人脑对当前没有直接作用于感觉器官的、以前感知过的事物形象的反映. 学生头脑中的几何图形、数学符号、数学公式等都是数学表象. 数学表象是几何直观的结果，也是空间想象的开始. 直观想象形成的一个重要阶段就是把学生已有的数学表象经过加工、改造形成新的数学表象. 在这个过程中，需要经过平行、旋转、分拆、重组等一系列的操作，并且表象操作的丰富程度直接影响新表象的存储与提取.

在本节课之前，学生头脑中呈现的平行的传递性是二维状态下的，现在要把它推广到三维空间，中间需要经过举证丰富的例子. 所举例子的质量与丰富程度对学生认识空间中平行的传递性的形成与应用影响很大. 在本节课上，笔者利用GeoGebra软件展示长方体（图1），在学生给出“因为AA∥BB，CC∥BB，所以AA∥CC”之后，笔者就把学生的视线引到教室中. 显然，这样做没有充分发挥长方体模型的作用. 事实上，长方体有12条棱，把相对的4条棱作为一组. 在该组内，它们两两平行，因此可以把任意三条棱作为空间中平行的传递性的例子. 也可以把相对（或相邻）的2条棱的中点连接起来，把对应的面对角线也连接起来，构成所需要的例子. 当然，借助教室举例，不只是举相邻的两面墙的交线平行的例子，也可以以桌子、电棒等进行举例. 更进一步，还可以把学生的眼光从教室内移到校园内，甚至校园外，充分发挥学生的想象力，引导学生举出丰富而又合适的例子. 例证的载体从图形到实物再到几何表象，真正放飞学生的直观与想象，把直观想象素养的培养落到实处.

2. 对几何命题的证明有待进一步考量

在“借助‘事实，证明定理”环节，为了启迪学生证明空间等角定理的思路，笔者让学生先回答平面等角定理，再画出符合条件的图形（图5），并把四种情况归为第一种情况（图5（a））.

然后，笔者引导学生给出了如下证明.

已知：如图5（a），AB∥AB，AC∥AC，求证：∠BAC=∠BAC.

证明：如图6，分别在∠BAC和∠BAC的两条边上截取线段AB，AC，AB，AC，使得AB=AB，AC=AC.连接BC，BC，只需证明△ABC≌△ABC.

再连接AA，BB，CC.

因为AB∥AB，AB=AB，AC∥AC，AC=AC，

所以四边形[AABB]和四边形AACC都是平行四边形.

所以AA∥BB且AA=BB，AA∥CC且AA=CC.

所以BB∥CC且BB=CC.

所以四边形BBCC是平行四边形.

所以BC=BC.

所以△ABC≌△ABC.

所以∠BAC=∠BAC.

最后，类比上述证明过程，让学生自主探究空间等角定理的证明方法.

然而，从课堂反馈来看，教学效果并不理想. 一方面，虽然笔者不断引导学生构建证明问题的思路，但是基本上都是自问自答，学生很少响应;另一方面，由于這个证明的过程花费时间较多，导致能够用于空间等角定理生成的时间较少，没有充分的时间展开后面的教学环节.

在评课环节，专家也指出了这个问题：该证明方法并非初中学生所学的平面等角定理的证明方法，尽管能够证明平面等角定理，但是并非最优选择. 这也暴露出笔者在没有深入研究初、高中相关内容的区别与联系的情况下，强行植入“创造”的证明方法，没有真正领会类比的精髓. 为了类比而类比，无疑加重了学生的学习负担. 这个问题值得深刻反思.

事实上，空间等角定理是平面等角定理的推广，两者既有联系也有差异. 在内容上，虽然两者都是“如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补”，但是平面等角定理强调的是二维平面，空间等角定理强调的是三维空间. 在证明方法上，虽然两者都是把四种情况（图5）化归为一种情况（图5（a）），但是平面等角定理是连接两个角的顶点构造同位角来解决，空间等角定理是连接两个角的顶点及对应边的点构造三棱柱进行处理.

总之，基于学生直观想象素养的发展，教师要认真研究教材、研究学生、研究技术、研究教学，合理设计教学过程，引导学生积极参与到教学活动中去，让学生在收获知识的同时，发展数学核心素养.

参考文献：

[1]柳军，安振亚. 从一道几何题谈直观想象素养的落实[J]. 中国数学教育（初中版），2021（5）：56-59.

[2]戴丽云，谢惠良. 表象[?]直感[?]想象：形象思维能力培养的教学研究[J]. 小学数学教育，2014（12）：9-12.

[3]冯静，许亚桃，吴立宝. 高中生直观想象素养的形成机制研究[J]. 内江师范学院学报，2020，35（8）：27-31，35.