动态几何定值问题三例

2022-05-30 10:48郭凤
数理天地(初中版) 2022年11期
关键词:延长线垂线过点

郭凤

【摘要】动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理,常可把几个定理归为一类.几何图形按一定条件运动,有的几何量随着运动的变化而有规律变化,这就出现了轨迹和极值问题,而有的量却始终保持不变,这就是定值问题.解答动态几何定值问题的方法一般有两种:第一种是先探求定值.再证明它能成立.探求的方法,常用特殊位置定值法,即把动点放在特殊的位置,找出定值的表达式,然后写出证明.第二种是采用综合法,直接写出证明.

【关键词】动点;定值

例1如图1,等腰直角△ABC中,∠A=90°,D点在BC上,作DF⊥BC交AC和BA的延长线于E、F两点,若DE+DF=12,则边BC的长是.

解法1过点A作AP⊥BC于P.

因为AP∥DF,

所以DEAP=CDCP,

DFAP=BDBP=BP+PDBP,

于是DEAP+DFAP=CDCP+BP+PDCP=2,

所以DE+DF=2AP,

即DE+DF=BC=12.

解法2因为△ABC是等腰直角三角形,

FD⊥BC,

所以△BDF和△DCE也是等腰直角三角形,

于是BD=DF,DE=CD,

所以DE+DF=CD+BD=BC=12.

分析用特位定值法.

(1)把點D放在BC中点上.这时过点D的垂线与AB,AC的交点都是点A,即点E、F两点重合于A点,得出DE+DF=2DA=BC,从而可确定定值是底边上的中线的2倍.因此原题可转化求证

DA+DB=2AD=BC(AD为底边上的中线).

(2)把点D放在点C上.这时DE=0,DF=2AP=BC(三角形中位线性质),结论与(1)相同.

还可以把定值定为BCtanB.即求证

DE+DF=BCtanB.

推广在△ABC中,D、E是BC边上的两点,且AD∥EG,EG交AC于F,交BA的延长线于G.若AD是△ABC的中线.则EF+EG=2AD.

例2如图2,AD是等腰△ABC的高线,P是BD上的动点,过P作BC的垂线,与AB和CA的延长线分别相交于F、E.已知AB=AC=5,BC=6.

(1)设BP=x,PE=y,请写出y与x的函数关系式;

(2)当四边形ADPE的面积与△ABC的面积相等时,求BP的长.

解(1)在△ABC中,

因为AB=AC=5,AD⊥BC,BC=6,

所以BD=CD=3,AD=4,

PC=BC-BP=6-x,且0≤x<3.

又PE⊥BC,

则PE∥AD,

所以△CAD∽△CEP,

所以CDPC=ADPE,

即36-x=4PE,

所以y=PE=43(6-x)=8-43x(0≤x<3).

(2)由(1),得PE=8-43x(0≤x<3),

梯形ADPE的面积为

S=12(AD+PE)·PD

=124+8-43x(3-x)

=23(9-x)(3-x)(0≤x<3),

而△ABC的面积为

12BC·AD=12×6×4=12,

因此,x是方程23(9-x)(3-x)=12的解,

整理得x2-12x+9=0,

配方得(x-6)2=27(注意到0≤x<3),

解得x=6-33,

即BP=6-33.

例3如图3,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线交于点G,连接DE,DF.当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由.

证明△BEF与△CEG的周长之和为定值.

理由1过点C作FG的平行线交直线AB于H,

因为GF⊥AB,

所以四边形FHCG为矩形.

所以FH=CG,FG=CH,

因此,△BEF与△CEG的周长之和等于

BC+CH+BH.

由BC=10,AB=5,AM=4,

可得CH=8,BH=6,

所以BC+CH+BH=24.

理由2由AB=5,AM=4,可知

在Rt△BEF与Rt△GCE中,有

EF=45BE,BF=35BE,

GE=45CE,GC=35CE,

所以△BEF的周长是125BE,

△ECG的周长是125CE.

又BE+CE=10,

因此△BEF与△CEG的周长之和是24.

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