郭凤
【摘要】动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理,常可把几个定理归为一类.几何图形按一定条件运动,有的几何量随着运动的变化而有规律变化,这就出现了轨迹和极值问题,而有的量却始终保持不变,这就是定值问题.解答动态几何定值问题的方法一般有两种:第一种是先探求定值.再证明它能成立.探求的方法,常用特殊位置定值法,即把动点放在特殊的位置,找出定值的表达式,然后写出证明.第二种是采用综合法,直接写出证明.
【关键词】动点;定值
例1如图1,等腰直角△ABC中,∠A=90°,D点在BC上,作DF⊥BC交AC和BA的延长线于E、F两点,若DE+DF=12,则边BC的长是.
解法1过点A作AP⊥BC于P.
因为AP∥DF,
所以DEAP=CDCP,
DFAP=BDBP=BP+PDBP,
于是DEAP+DFAP=CDCP+BP+PDCP=2,
所以DE+DF=2AP,
即DE+DF=BC=12.
解法2因为△ABC是等腰直角三角形,
FD⊥BC,
所以△BDF和△DCE也是等腰直角三角形,
于是BD=DF,DE=CD,
所以DE+DF=CD+BD=BC=12.
分析用特位定值法.
(1)把點D放在BC中点上.这时过点D的垂线与AB,AC的交点都是点A,即点E、F两点重合于A点,得出DE+DF=2DA=BC,从而可确定定值是底边上的中线的2倍.因此原题可转化求证
DA+DB=2AD=BC(AD为底边上的中线).
(2)把点D放在点C上.这时DE=0,DF=2AP=BC(三角形中位线性质),结论与(1)相同.
还可以把定值定为BCtanB.即求证
DE+DF=BCtanB.
推广在△ABC中,D、E是BC边上的两点,且AD∥EG,EG交AC于F,交BA的延长线于G.若AD是△ABC的中线.则EF+EG=2AD.
例2如图2,AD是等腰△ABC的高线,P是BD上的动点,过P作BC的垂线,与AB和CA的延长线分别相交于F、E.已知AB=AC=5,BC=6.
(1)设BP=x,PE=y,请写出y与x的函数关系式;
(2)当四边形ADPE的面积与△ABC的面积相等时,求BP的长.
解(1)在△ABC中,
因为AB=AC=5,AD⊥BC,BC=6,
所以BD=CD=3,AD=4,
PC=BC-BP=6-x,且0≤x<3.
又PE⊥BC,
则PE∥AD,
所以△CAD∽△CEP,
所以CDPC=ADPE,
即36-x=4PE,
所以y=PE=43(6-x)=8-43x(0≤x<3).
(2)由(1),得PE=8-43x(0≤x<3),
梯形ADPE的面积为
S=12(AD+PE)·PD
=124+8-43x(3-x)
=23(9-x)(3-x)(0≤x<3),
而△ABC的面积为
12BC·AD=12×6×4=12,
因此,x是方程23(9-x)(3-x)=12的解,
整理得x2-12x+9=0,
配方得(x-6)2=27(注意到0≤x<3),
解得x=6-33,
即BP=6-33.
例3如图3,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线交于点G,连接DE,DF.当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由.
证明△BEF与△CEG的周长之和为定值.
理由1过点C作FG的平行线交直线AB于H,
因为GF⊥AB,
所以四边形FHCG为矩形.
所以FH=CG,FG=CH,
因此,△BEF与△CEG的周长之和等于
BC+CH+BH.
由BC=10,AB=5,AM=4,
可得CH=8,BH=6,
所以BC+CH+BH=24.
理由2由AB=5,AM=4,可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中,有
EF=45BE,BF=35BE,
GE=45CE,GC=35CE,
所以△BEF的周长是125BE,
△ECG的周长是125CE.
又BE+CE=10,
因此△BEF与△CEG的周长之和是24.