活用长方体，构建立体几何解题思维金钥匙

杨亮 刘春换 丁玉军 萧兰茁

【摘要】本文基于数学教学中如何解决“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦，有的学生课前想自学，但基础和自学能力差学不了.有的学生课上没听懂，课后没人辅导想做题做不了.”这一难题展开讨论，在设计数学学案时融入了深度学习的单元设计理念及教师微课讲解、动态演示课件完善学生自主学习这一环节，旨在给学生创建一个自主学习的平台.

【关键词】深度学习;单元设计;微课讲解;自主学案

【基金项目】本文是海南省教育科学“十三五”规划课题“深度学习理念下现代教育技术与学生自主学案整合探索”（项目编号：QJH202010127）的阶段性成果.

传统的数学教案或学案设计只是文字、图形、符号语言的整合，有两个弊端：一是不能照顾学生们基础参差不齐的水平，有的学生想自学但看不懂学案无从下手.久而久之学生会失去信心，不利于学生在课前自主学习新知.二是数学是一个长期积累的、不断巩固提升的过程.学生当时没听懂或在教师引导下听会了，但没真正理解，过后还是不会应用解题，这样不利于学生系统复习、形成知识体系，缺少一个引导学生自主复习的永久平台.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：数学教学要使学生获得四基“基础知识、基本技能、基本数学思想、基本数学活动经验”的同时，提高四能“能够发现、提出问题，分析、解決问题能力”，逐步学会三会“学会用数学的眼光观察世界，学会用数学的思维思考世界，学会用数学的语言表达世界”.发展学生数学学科素养的重要载体是数学教学活动，在数学教学过程中，教师利用信息技术可以创设丰富的教学情境，可以帮助学生自主探究和解决问题，将一些抽象的数学内容通过直观演示变得直观可视化，通过网络进一步拓展教学空间，引导学生进行自主探索活动.

基于以上两点，我们数学名师工作室展开了数学与网络技术融合自主学习学案设计的研究.设计学案时融入了教师微课讲解与动态演示课件的学生自主学习环节.学生复习相关知识、学习新知、课后复习或单元回顾时可随时回放教师讲解与演示动画.这样就有效地解决了“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦，有的学生课前想自学，但基础和自学能力差学不了.有的学生课上没听懂，课后没人辅导想做题做不了.”这一难题.下面以高中新课程数学选择性必修一教材中空间向量与立体几何中长方体模型在解题与复习中应用的基础，并以其中一节的单元设计为例系统说明我们学案的每一个设计环节与意图.

一、教材与学情分析

高中数学新教材选择性必修一第一章空间向量与立体几何，是数学必修“平面向量”在空间的推广，又是必修“立体几何初步”的延续、本章要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力.学生虽已学习了向量的基本运算和立体几何初步知识，但学生空间观念的形成和类比转化能力、逻辑推理的严谨性仍有待提高，不能用具体的立体几何模型来展示及运用来解题.“空间向量”这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便.合理建立空间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，这是解题的关键，也是完成从几何问题向代数问题转化的基础.

二、教学目标与方法

知识与技能（三类问题）：

1.让学生借助长方体，理解“平行与垂直”相关核心定理.

2.让学生借助长方体，内化空间向量应用立体几何的核心解题方法.

3.让学生会借助长方体模型灵活建立空间直角坐标系.

过程与方法：让学生学会利用长方体模型构建高中数学立体几何知识体系，直观形象地解决学生空间观念差的问题.

核心素养及情感态度与价值观：让学生学会利用深度学习理念经历知识再发生、再创造的整合过程，构建知识体系，学会把前人留下的知识内化为自己的经验，从而培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模与数学运算等核心素养.

教学方法与手段：本节课尝试使用目标教学法和学生网络线上（手机）自主学习法进行教学.通过“微课视频讲解—动态课件演示—自主学案辅学”三者有机整合，利用信息技术和移动互联网络照顾学生学习基础的差异.学生在家利用手机或电脑结合学案能学会自主学习，从而获得举一反三的学习效果.

三、重难点

重点：活用长方体解决高中数学立体几何问题.

难点：学生如何灵活利用长方体建系理念把具体问题转化为向量坐标运算.

四、教学过程

（一）在新教材必修二的立体几何初步中我们重点学习了平行与垂直两种转化，这也是高中数学立体几何的核心思维.即

你能结合长方体中的线与面关系来说明一下这10个判定定理、性质定理的内容吗？

设计意图：学生先自己用文字语言、图形语言、符号语言分别写出这10个定理.然后试着用长方体中现有的线面关系写出这10个定理，体会长方体模型的巨大作用.最后学生可以自主上网，观看教师发布的微课查漏补缺，加深对平行与垂直这两个核心难点的理解.

（二）新教材选修一的第一章空间向量与立体几何核心内容是利用空间向量解决立体几何问题.实质上就是建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与面的法向量把立体几何问题转化为向量的代数运算来解决.那么你能否用空间直角坐标系下长方体模型中线面来说明一下如何用空间向量来求解下面几个基本问题：

1.直线方向向量、平面法向量的求法？

2.如何用空间向量来证明线线平行、线面平行、面面平行？

3.如何用空间向量来证明三种垂直问题？

4.如何用空间向量来求线与线、线与面、面与面的成角问题？

5.如何用空间向量来求空间两点、点与线、点与面的距离问题？

设计意图：空间向量解决立体几何问题的前提是让学生掌握基本问题的转化方法，借助长方体模型，让学生熟记这些方法，这是这一章的关键.学生先自行研讨，然后教师播放或学生上网听教师的微课讲解，从而获得事半功倍的效果.

（三）空间向量解决立体几何问题难点是如何建立适当的空间直角坐标系求相应点的坐标，长方体是最简单实用的建系模型.教材上36～49页有些题不是长方体模型，我们如何转化构造放在长方体内进行建系解题呢？分下面三类分别讨论一下：

1.有3条垂直棱的锥或柱（墙角锥、柱）型：

[]高中数学人教版选择性必修一教材41页3题：

如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，求直线OB与平面ABC所成角的正弦值

[]高中数学人教版选择性必修一教材47页3题：

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，CB=1，CA=2，AA1=6，M是CC1的中点.求证：AM⊥BA1

[]高中数学人教版选择性必修一教材38页4题：

如图，△ABC和△DBC所在的平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求：

（1）直线AD与直线BC所成角的大小.

（2）直线AD与平面BCD所成角的大小.

（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值

[]高中数学人教版选择性必修一教材48页4题：

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a.

（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标.

（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角

[]高中数学人教版选择性必修一教材38页3题：

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值

高中数学人教版选择性必修一教材48页7题：

正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底边长为1，M是BC的中点.在直线CC1上求一点N，使MN⊥AB1

[]高中数学人教版选择性必修一教材44页18题：

在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，（0<a<2）.

（1）求MN的长.

（2）a为何值时，MN的长最小.

（3）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值

[]

高中数学人教版选择性必修一教材49页13题：

如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小

有2个面垂直的几何体：

https：//url.cn/6sJ54I0R？sf=uri

2.正四面体或对棱相等的四面体：

高中数学人教版选择性必修一教材38页2题：

PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值为多少

[]

高中数学人教版选择性必修一教材41页2题：

如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M，N分别是AD，BC的中点.求异面直线AN，CM所成角的余弦值

[]

高中数学人教版选择性必修一教材36页例7：

如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值

[]

高中数学人教版选择性必修一教材42页7题：

如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，E为BC的中点，连接DE.

（1）计算DE的长.

（2）求点O到平面ABC的距离

[]

高中数学人教版选择性必修一教材43页8题：

如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点.求证：MN⊥AB，MN⊥CD

正四面体及对棱相等的四面体如何长方體建系

https：//v.youku.com/v_show/id_XNDg2ODkzMTY4OA==.html

设计意图：学生先听微课视频，然后从教材中找出类似的习题.这一过程明确了让学生如何利用长方体模型的建系理念来灵活解决问题，对培养学生建模思想、类比与转化思想、数形结合一与抽象概括能力有重要意义.

（四）变式提升：如何利用长方体建系理念来解决下面问题.（说说你的建系方案）

[]

1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.

（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C.

（2）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tan θ的最小值

[]

2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）证明：PA⊥BD;

（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值

（五）归纳总结：

1.本节你有哪些学习收获？

2.本节你认为我们应用了哪些数学核心素养与数学思想方法？

（六）课后延伸：

[]

1.（重庆）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π[]3，F为PC的中点，AF⊥PB.

（1）求PA的长.

（2）求二面角B-AF-D的正弦值

课后每位学生在课外辅导书中选一道用本节思想方法解题的题目，小组成员合作共同完成.

五、学案设计优点反思

学案设计得真正做到面向所有学生，不使每一个学生掉队，这对后进生的转化和整体教学水平的提高具有重要意义.精心设计的课前预习扫码微课会让所有学生特别是基础较差学生乐于在课前及时复习和预习新知，激发他们的学习兴趣.课堂讲解的微课，能够让对课堂知识没消化好的学生课后可以随时重温课堂重难点，给他们提供了随时解惑的平台，为培养优生的数学思维和能力提供了空间和时间.微课的设计使基础较差的学生课前、课后缩小了与优生的差距.同时课堂也有了充分时间给优生展示自己思维和研讨的机会，加大了课堂的容量和效率.

【参考文献】

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