融入数学文化： 初中数学“实数”的HPM教学研究

游学文

[摘要] 学习数学的课程内容不能局限于公式、规律等表征，更应当深入理解数学知识发展与形成的过程，理解蕴含其中的数学思想方法。以HPM的视角进行初中数学“实数”教学设计，具体过程：构建巧妙关联发展区，导入研究问题;隐性引入数学史，进行学科实践;设问引导后归纳，完成概念辨析;随堂练习再反馈，展示文化理解，从而培育学生数学核心素养。

[关键词] 初中数学;HPM;核心素养;数学文化;实数

HPM是数学史与数学教育的缩写，其给予了数学文化本体的生成过程，且有助于学生数学文化的深度理解。追溯HPM的诞生历史，其标志性事件应当是1972年第二届国际数学教育大会成立数学史与数学教学关系国际研究小组[1]。HPM能够将二者合一，并成为一个专有名词的关键在于数学史中蕴藏着大量的思维方式、研究方法与情境文化。通过把握数学发展的脉络，贯通数学的发展历史，往往可以加深学生对数学概念、方法、思想及应用的理解，从而强化数学文化的传承，提升数学的人文价值。目前，数学教育界对HPM的研究，有很大一部分集中于数学教科书中数学史的融入、呈现与育人价值。如部分学者近期对20世纪初美国数学教科书中的数学史内容进行了分析[2]。就苏科版初中数学教科书来看，其在章节后面都会呈现相应的数学史阅读材料，且主要与我国的数学发展历史有关。为了进一步挖掘数学史育人价值，研究者尝试进行融入数学文化的HPM教学研究。

一、HPM价值：教学融入数学文化的载体

（一）HPM提供数学文化本体的生成过程

文化的形成自始至终伴随着人们的生产与实践过程，借由生产生活的各种实践活动形成便于使用的文化符号与规则，进而让后辈继承并约束他们后来的实践[3]。无独有偶，数学文化的生成过程同样如此，在人们需要解决部分现实问题中产生了数学符号、规则与关系，并在共同体的认可与使用下进行了一系列的共通性表达。而数学史从数学的由来及其流变的角度提供了数学文化生成过程，一方面历史的由来告诉了此类数学知识从哪些现实问题衍生而来，另一方面数学史为文化的生成提供了从问题到符号，再到精神内核的演变过程。实则，任何的数学符号或规则的创生都应当具备简约的特性，以便于人们交流、使用与表达，且这些符号或规则也均为了让人们更好地进行生产生活而存在。可见，HPM不仅给予了数学文化的符号与背后来源的解释，还提供了文化的价值意义与精神追求。因而，在实际教学过程中，透过数学史的条分缕析及协同思考，不难发现其背后文化本体的价值力量，是一种将数学文化表层符号与内容功能集成的育人载体。

（二）HPM有助于学生深度理解数学文化

借助HPM教学将数学文化元素融入数学教育中，可以进一步传承与弘扬数学文化。因而，在逻辑上我们必须要厘清两个基本问题：为什么要研究数学史知识？数学史知识具备何种价值？通过分析上述两个问题，数学文化的味道自然而然就出来了。首先，数学发展史中蕴含着数学学科的发展脉络，彰显了数学发展与社会科技进步的内在关系，具有数学思想方法与逻辑思维等方面的丰富意蕴。其次，数学史知识具备何种价值，回答这个问题就必须要思考数学史知识有什么时代价值、对社会经济发展有什么贡献。将数学史知识融入教学中，必然不可能仅通过古老的历史让学生产生兴趣，更多的是要借由数学史凸显其背后的思想方法。数学思想方法是数学文化的精髓，通过揭示这类思想方法，可以让学生接触到数学家的理性科学精神，从而彰显深奥的数学文化精神。由此可见，HPM有助于学生对数学文化的深度理解，便于其经由表象历史分析到深层历史品悟，逐步达成对数学文化价值的认同与理解。

二、HPM实践：苏科版“实数”HPM教学设计

（一）基于HPM理念的教学设计原则

构建初中HPM教学方案不仅要根据具体的教学内容选择相应的数学史，而且还要结合学生的学情与初中数学考核目标等因素。概言之HPM教学设计需要遵循以下原则：

第一，可靠性原则。这是最基本的原则，强调实事求是、求真务实。在构建HPM教学方案时必须要确保数学史内容的真实可靠，不能为了完成教学任务而虚构修改原始史料。要让学生能够以客观的角度了解数学史，并且在了解数学史的过程中逐渐形成自我分辨与辩证怀疑的能力，养成良好的数学素养。

第二，趣闻性与隐蔽性原则。增强HPM教学趣味性是吸引学生学习注意力的关键，因此，教师在具体的教学设计时要采取多元化手段提升课堂的趣味性[4]。数学史融入数学教学分为显性与隐性，教科书编排使用的是显性融入，例如苏科版初中数学“阅读”模块就是显性融入方式。隐性融入则是从重构角度出发，根据初中数学教学内容而对数学史进行重新設计，以此将数学知识历史形成过程生动地展现给学生，加深学生对相关数学知识的认知能力。相对而言，隐性融入的效果比显性融入要好，因此在具体的教学中教师要遵循隐性融入的原则。

第三，探索性原则。通过分析，初中数学教科书中都会有不同形式的数学发展史阅读素材，然而在实践过程中教师对于已经编排好的数学史料大多数是以“附加”的方式融入教学中，存在机械学习的情况，并未实现育人的功能[5]。因此，在具体的设计中教师要结合学生的学情，适当丰富史料，采取循序渐进的方式有效融入数学课堂教学，通过教师的细致引导、层层设疑，逐步渗透数学文化并发挥其育人价值。

（二）HPM理念下初中数学“实数”教学过程

由于“实数”是八年级上册学习的内容，虽然初二学生相对于初一学生在抽象思维上得到锻炼与提升，但基于传统学习方式的影响，学生在学习上仍然表现出较大的依赖性，不容易接受抽象的知识点。并且，“实数”内容虽然相比“幂的运算”“勾股定理”较为直观，但是无理数和实数的概念比较抽象，学生在学习的时候普遍感到有理解难度，容易产生认知混乱。其实，有理数系的扩充是人类对数的认知的一次飞跃，是生产和生活发展的需要。无理数、有理数的出现和理论体系建立对学生的认知发展起着关键性的作用，教师要让学生明白数学发展并不是随意的，而是以现实需求为基础的。教科书中有关“实数”教学内容的设置，主要是通过学生将一些整数和分数化成小数的过程，说明任何一个有理数都可以转化为无限循环的小数和有限小数形式[6]。在教学中学生存在如下困惑：无理数的产生原因是什么？无理数是如何出现的？无理数与有理数有何区别？其现实作用是什么？基于学生所存在的各种疑惑问题，设计“实数”HPM教学过程。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

1.巧妙关联发展区，导入研究问题

上课前教师要带领学生复习有理数的分类，为学习无理数及实数的分类做好准备。例如，在上课时教师要向学生提问是否记得有理数是如何分类的，并让学生列举一些有理数，重新回顾有理数可以分为整数和分数。当学生列出有理数后，组织学生将其转化为小数的形式，然后让学生探讨，在将有理数转化为小数后出现了什么规律。以此，让学生意识到有理数转化为小数形式后，其划分成无限循环小数和有限小数。通过对学生自己動手操作过程的总结，得出小数除了无限循环小数和有限小数之外，还包括无限不循环小数，从而引导出本节课新知“无理数”。

如上的教学过程勾连了学生的最近发展区，让学生从已学过的知识出发认识到之前有理数的分类无法涵盖现实中全部的数。经由这样的研究过程，让学生明确数学中数系的扩充是因应数学家的实际需要。此教学过程不仅复习了之前的学习内容，还在一定程度上便于在下文教学中引入数学史，让学生带着现实需要去探寻数学发展史的源头，进而深入思考数学文化中概括与表达的基本功能。

2.隐性引入数学史，进行学科实践

“无理数”发展历程比较久远，关于“无理数”的研究探析一直是学术界的热门话题。为了让学生明白无理数的发展历程，教师在正式讲解新知识时要利用微视频播放有关“无理数”的发展历史。基于数学史背景创设问题情境，从而激发学生的学习兴趣进行刨根问底式的研究[7]。最早的无理数起源与研究勾股定理有关，我们知道边长为1的正方形，其对角线为，但人们却不知道如何表达出来。毕达哥拉斯学派希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线与边长是不可公度的，发现它不是有理数[8]。随后，学术界对其研究主要从公式计算和几何图形证明两个方面进行验证。

教师通过播放无理数的发现起源故事，让学生了解无理数的发展历史，以此掌握知识的来龙去脉。但学生在观看数学史源头后，仍会感觉到学习无理数时十分枯燥、难懂。因此，教师要结合学生学情，鼓励学生实践操作，以加强学生对无理数的认知能力。例如，教师可以向学生提出“无理数在现实中是否存在”的问题，然后让学生对两个面积为1的小正方形进行裁剪，目标就是要将其拼成一个面积为2的大正方形，并且计算大正方形的边长。学生通过自己手动操作了解到小正方形的对角线的长度，以此具体感受到无理数就在我们身边;通过动手操作不仅可以让学生更加清晰地了解无理数的来源，而且还能进一步增强数学教学与实践的联系性。例如，在本次教学中让学生以几何图形的方式验证的大小，这样可以让学生明白拼图是研究和解决几何问题的重要方法，增强数学教学的具身实践性。

3.设问引导后归纳，完成概念辨析

无理数分为很多种形式，为了让学生掌握无理数的形式，教师要采取提问的方式。例如“学生已经知道无限不循环小数是无理数，那么π是无理数吗？”组织学生进行讨论。通过合作交流，让学生了解到无理数的形式主要包括圆周率π、开方开不尽的数与有一定规律但是不循环的小数。由于学生对圆周率π还不太理解，因此教师可以将其发展历程进行简单的介绍：人们很早就知道圆的周长为2πr，面积为πr2，其中r是圆的半径，π为圆周率。但是，计算π是非常困难的，人们希望用一个公认的大致数来近似得到π。因为尼罗河的泛滥，为了调整泛滥后的土地，古埃及人掌握了土地面积测量与计算的技术，他们对于计算圆面积的π给出了很好的近似值。这一教学过程让学生从生产实践的角度延展数学发展史，进一步使学生明确了无理数整理与研究的现实意义。

实数主要可以分为有理数和无理数，但是在具体的学习中学生往往会因为固定分类的方式而限制自身思维的发展。可见，在实际教学中教师需要重点讲解实数的分类问题，进而让学生完成对概念的辨析。为了让学生完全掌握实数的分类问题，教师要让学生尝试自己对实数进行分类。在分类的过程中，教师不要过多干预，而是让学生按照自己的认知进行分类。有学生将其分为有理数与无理数，而有学生将其分为正实数、零和负实数[9]。这样独立思考再展示的过程，能够让学生在充分了解实数分类思想的基础上，增强他们的独立学习、独立思考能力，并且全面对所学知识进行概念辨析及系统的汇总与应用。当然，为了增强学生对实数的认知能力，教师应当设置概念图绘制的任务，帮助学生理解概念本身。

4.随堂练习再反馈，展示文化理解

随堂练习的及时评价反馈是让学生明确自身对数学概念理解与掌握程度的重要方式，也是提升初中数学教学质量的重要举措。而在“实数”的HPM课堂教学后，教师可以让学生在课后进一步查阅资料，根据相关无理数研究的数学史资料，完成数学叙事的小故事。小故事的撰写，建议学生从无理数实例、研究需求、现实意义及应用等多个方面进行论述。此外，在整理资料让学生进行数学写作的过程中，可以参考部分学者提出的“证据—推理—主张”的框架，让学生进一步使用学习[10]。透过小故事的写作，一方面检测学生对实数整体内容的学习掌握情况，另一方面，也展示出学生对数学文化的理解深度，便于教师在以后的教学中及时调整。

对HPM教学课堂的评价需要采用内容表征、认知需求、学习过程、学生课堂表现与评价标准等维度构建的“四位一体”评价量规。其中，内容表征是数学史料的准确、连贯与合理性程度，认知需求是数学史应用对学生理解和掌握数学概念的支持程度，学习过程是数学史学习活动对全体学生获得学习机会的支持程度，学生课堂表现是数学史学习活动中学生任务完成、想法提出及促进交流讨论上的贡献程度，评价标准是数学史学习活动中教师揭示学生思维、利用学生想法或处理学生错误的程度[11]。在具体的“实数”HPM教学中，教师可设置如下表所示的学生评价体系。

在构建HPM教学模式时，教师要具有一定的数学史素养，并根据学生学情、教材内容而合理应用数学史。然而，很多时候数学教师在教学中却不知道如何使用数学史，因此要加强数学教师的教学观念转变工作。具体而言，一方面，需要加强专业素养培养，让教师理解初中数学知识较为抽象，融入数学史能够切实融入数学文化，深化数学学科的育人功能。另一方面，要强化HPM教学模式的课例研究等职后教师培训工作，采取切实有效的举措提升数学教师应用数学史的教学能力。在研读文献学习HPM教学方法的同时，还可以开展研学活动，鼓励教师到经验成熟的学校开展交流，学习其先进的教学方法，以此推动HPM教学的实践落地。

[参考文献]

[1]侯代忠，周作雄.立足HPM教学，彰显数学文化：以数系教学为例[J].大学教育，2021（01）：48-52.

[2][5]汪晓勤.20世纪初美国代数教科书中的数学史[J].数学通报，2022，61（01）：1-8.

[3]丁奕然.当今时代，我们为何需要中华优秀传统文化教育[J].中小学班主任，2022（12）：1.

[4]冯振举，王惠扬子.职前数学教师教学设计信念转变的个案研究：以HPM视角下的勾股定理教学为例[J].数学教育学报，2016，25（02）：59-65.

[6][9]陈坤美.渗透数学文化 提升数学素养：人教版“实数”（第1课时）教学设计[J].初中数学教与学，2022（03）：8-11.

[7]张筱玮，刘印哲.基于核心素养养成教育的“复数”教学再设计

[J].天津师范大学学报（基础教育版），2021，22（02）：45-48.

[8]何德海.数的扩充：带血的无理数[J].初中生世界，2019（46）：56-57.

[10]董清，丁奕然.以科学读写践行深度学习的生物学教学研究[J].天津师范大学学报（基础教育版），2021，22（01）：83-87.

[11]汪晓勤.关于HPM课堂教学评价的案例分析[J].数学通报，2021，60（10）：1-6.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8