一种桥梁非线性动力参数识别方法的探讨

李宏杰

（天津市政工程设计研究总院有限公司，天津 300392）

大跨度桥梁通常为钢结构，系统刚度和阻尼比较小，对风荷载更加敏感，尤其是风荷载的动力作用尤为不可忽略。桥梁的风致振动主要形态一般有四类：涡振、抖振、驰振、颤振。颤振作为一种发散性振动是绝对不允许在桥梁上发生的。

对桥梁风致振动的研究方法主要有理论分析、现场观测、数值模拟和风洞试验。风洞试验方法是桥梁风工程研究中十分常用且重要的研究方法，利用满足一定的相似律的试验模型重现桥梁结构在风场中的力学响应，试验结果贴近实际结果，可测量信息丰富，可信度高。节段模型的弹簧悬挂风洞试验系统结构简单、对风洞要求小、系统刚度和阻尼比方便调节且对大跨度桥梁来说三维效应相对较小，故常用于研究大跨度桥梁的颤振行为。

研究[1～3]证明扁平箱梁断面的颤振具有明显的非线性振动特征，故线性的分析方法已经不再合适。节段模型弹簧悬挂系统的自振频率与阻尼比是重要的动力参数，准确识别系统的自振频率与阻尼比是开展非线性颤振研究工作的基础，故需要引入非线性方法对系统的自振频率和阻尼比进行识别。

1 动力参数的非线性效应

传统研究通常将系统的自振频率与阻尼比认定为常数[1，4～6]，通过在静止空气中的自由衰减振动试验以及线性分析手段来计算求解。但是由于材料与制作工艺的影响，弹簧在拉伸过程中会存在一定的非线性效应；同时由于连接件自身刚度的影响、连接件间微小的相对位移以及弹簧与其周围空气的相互作用等因素的影响，导致系统的机械阻尼与自振频率均会存在非线性特性；此外节段模型在静止空气中的振动不可避免会对模型周围空气形成扰动，被扰动的空气又进一步作用到节段模型上，使得动力系统具有气动非线性效应（附加质量、惯性矩与附加阻尼）[7]。由此可见，系统的动力参数实际上由2个来源构成：系统的机械结构和气动部分。

2 非线性动力参数的识别方法

传统方法是将动力参数（自振频率与阻尼比）认为是一个常数，其单自由度的自由衰减振动运动方程可以表达为

式中：f(t)为位移时程；A0为初始时刻的瞬时振幅；ξ0为系统阻尼比；ω0为振动圆频率；t为时间。

对自由衰减振动位移时程进行傅里叶变换获取频谱，就可得到自振频率。

阻尼比常采用对数衰减法进行识别。将式（1）两边同时取自然对数得到

随着振动的衰减，取2N 周期内的振动达到振幅的时刻与位移带入式（2）得到

式中：ai为振动达到振幅的位移；ti为振动达到振幅的时刻，ti= t1+( )i - 1 T；T为振动周期，T = 2π/ω0；N为自然数表示第几个周期。

由式（3）可以得到

针对弹簧悬挂节段模型试验，系统的动力参数存在非线性效应，而且产生非线性的因素十分复杂，在此引入等效线性化的方法。这种方法可以近似地用振动幅值去描述系统的动力参数，将系统的非线性动力参数刻画为关于振幅的函数。进行等效线性化的方法有很多，如谐波平衡法、平均法等[8]，本文采用平均法对非线性的自由衰减振动进行等效线性化[8～10]，通过时域方法对系统的自由衰减振动位移时程进行非线性动力参数的识别，找到振幅与系统非线性动力参数之间的关系。

采用平均法的等效线性化后的单自由度自由振动系统瞬时振动幅值和相位可表示为

式中：a(t) 为系统瞬时振动幅值；φ(t) 为振动相位；x 为瞬时振动位移；ω0为系统振动圆频率，

系统等效圆频率表示为

式中：ωe(t)为瞬时等效圆频率；φe( )t 为瞬时等效相位。等效阻尼比表示为

式中：ξe( )t 为瞬时等效阻尼比。将等效线性化后的运动方程和式（8）联立，得到等效阻尼比ξe与振动幅值a 之间的函数关系ξe(a)[8～10]。

3 自由衰减振动试验

为了提取系统机械部分的非线性动力参数，设计了一种横截面积很小的刚杆模型，通过施加配重的方式保证刚杆模型与平板节段模型具有相同的质量与转动惯量。对平板节段模型与刚杆模型分别进行竖向自由度与扭转自由度的自由衰减振动，获得系统总的非线性动力参数与机械非线性动力参数，二者相减可求得平板节段模型在静止空气中的非线性附加阻尼与附加刚度。见图1。

图1 自由衰减振动装置试验

刚杆模型编号md_fv_12；平板节段模型宽高比12∶1，编号fv_12。采用激光位移计对模型振动状态进行实时采集，获取振动时程数据。

4 非线性动力参数的识别结果

4.1 机械非线性动力参数

通过刚杆模型的自由衰减振动试验，根据位移时程数据，采用式（5）和式（6）进行计算，得到瞬时振动幅值与瞬时相位后，通过式（7）和式（8）可计算得到非线性自振频率与阻尼比。见图2-图4。

图2 md_fv_12自由振动瞬时幅值时程曲线

图3 md_fv_12非线性自振频率随振幅变化曲线

图4 md_fv_12非线性阻尼比随振幅变化曲线

由图3和图4可以看出，随着振幅变化，系统的自振频率与阻尼比都发生了相应变化，表现出了非线性的特征。针对自振频率，随着振动的衰减，竖向自振频率从2.769 Hz 提升到了2.783 Hz，变化幅度为0.51%，扭转自由度上，随着振动的衰减，频率由4.11 Hz 提升到了4.16 Hz，变化幅度为1.21%，振幅对系统的机械部分自振频率没有显著影响。与振幅对系统机械部分的自振频率影响不同，系统的机械阻尼比随着振幅变化发生了十分明显的变化，在扭转自由度上系统的机械阻尼比变化幅度为27.9%，在竖向自由度上系统的机械阻尼比变化幅度更是达到154.5%，系统的机械阻尼体现出了明显地非线性特征。

由于系统的机械部分在刚度上没有表现出明显地非线性特征，为方便计算所以可以将其视为常数，通过线性的方法获得，即通过对两个自由度上自由衰减振幅位移时程进行快速傅里叶变换，得到两个自由度上的自振频率。见图5。

图5 md_fv_12自由衰减振动位移频谱

线性方法识别的系统机械部分的自振频率与通过非线性动力学的方法进行识别的自振频率十分接近，所以采用线性方法得到的自振频率是合适的。

4.2 气动非线性动力参数

同获得系统机械非线性动力参数的方法相同，通过平板节段模型的自由振动衰减试验，得到气动部分总的非线性动力学参数。在竖向自由度上，随着振动的衰减，竖向自振频率有所提高，频率由2.701 Hz 提升到了2.71 Hz，变化幅度为0.9%；在扭转自由度上，系统总的扭转自振频率表现出了与竖向自由度相同的规律，扭转自振频率变化幅度为1.37%。与系统的机械自振频率一样，系统的总自振频率会随着振动振幅的变化而改变，但是这种变化并不明显，变化范围不会超过1.5%，因此对于整个弹簧悬挂系统来说，同样可以采用线性的方法得到其系统的自振频率。见图6和图7。

图6 fv_12非线性自振频率随振幅变化曲线

图7 fv_12自由衰减振动位移频谱

振幅对系统的总阻尼比影响十分显著，随着振幅的衰减，阻尼发生了大幅变化，在竖向自由度上变化幅度甚至达到了309.09%，表现出了十分明显的非线性特征。区别于频率，系统的机械阻尼与总阻尼差别十分明显，意味着模型振动所引起的气动阻尼对系统总阻尼有着巨大的贡献，是不可以忽略的。见图8。

图8 fv_12非线性阻尼比随振幅变化曲线

系统的机械阻尼主要来源有4 方面：一是弹簧材料自身在往复拉伸中引起的材料阻尼；二是通过一系列连接件连接的不同的构件之间产生的微小的相对摩擦；三是弹簧本身在往复的运动中与其周为空气之间发生的摩擦；四是系统在振动中可能给弹簧带来的微小的横向振动。这些因素决定了系统的机械阻尼；而模型的气动阻尼主要是由于模型自身振动对其周围空气形成了扰动，因此气动阻尼的大小与模型的气动外形息息相关。

从系统的机械阻尼与附加气动阻尼的来源角度看，可以认为二者是相互独立、互不干扰的，这样就可以利用由平板节段模型自由振动试验识别到的系统非线性阻尼比和利用刚杆自由振动试验识别到的系统机械阻尼比相减，从而得到平板节段模型在静止空气中扰动周围空气诱发的附加气动阻尼比。结果表明采用上述方法可以有效的获得平板节段模型在静止空气中的附加气动阻尼比。见图9。

图9 fv_12非线性阻尼比识别结果

5 结论

平板颤振模型的弹簧悬挂节段模型在静风条件下动力参数存在非线性特征，其中：系统阻尼比随振幅的变化尤为明显，不可忽略；频率也具有非线性特征，但随振幅变化不明显，可近似认为系统频率为固定值。

系统动力参数非线性可以分为两部分：一是由系统的机械部分所产生的非线性；二是由于模型在振动过程中对周围空气形成了扰动而形成的附加气动非线性。尤其对于阻尼比来说，系统的总阻尼与机械阻尼之间存在着明显的差异，静风扰动诱导的附加气动阻尼是系统阻尼的重要构成部分，不可忽略。

采用等效线性化方法可以有效地对弹簧悬挂节段模型系统进行非线性系统动力参数识别，识别到的系统总阻尼比与机械阻尼比相减得到节段模型在静止空气中的附加气动阻尼比。