研磨习题载体 变式引领复习

徐凯钰 王桢宇

(1.北京航空航天大学工科实验班冯如书院217414班 100083;2.北京市第一七一中学 100011)

1 题目呈现与解析

例题(2022年朝阳区高三第一学期期末试卷20题第(3)问)设g(x)=aex-x2，当a∈(1，e)时，求函数g(x)的零点个数,并说明理由.

本题可以求导判断g(x)的单调性，进而通过零点存在定理判断零点个数，参考答案通过等价变换，转化为第(2)问的结论，不再赘述，但测试反馈发现，同学们大多没有注意到两问之间的联系，而是直接求导，致使运算难度增大，鉴于其更具有通法意义，本文采用该方法.

解析因为g′(x)=aex-2x，g″(x)=aex-2，

所以g(x) 在(-∞，+∞)单调递增.

故存在唯一零点x1∈(-1，0)使得g(x1)=0.

题目不难，解法也众多，不再赘述，试题解罢，笔者思考一个问题，为什么原题给出了a∈(1,e)这个条件，若扩大这个范围会对函数零点的求解带来什么样的影响呢？命题人在此为了回避哪些难点呢？为了寻找答案，故做如下探索.

2 试题变式

2.1 变式改编，找点升级

变式1设g(x)=aex-x2，当a∈(1，+∞)时，求函数g(x)的零点个数.

2.1.1 特殊值代入找点

由于需要在(-∞，0)找某点x1满足g(x1)<0，所以我尝试了令x1= -a.

因为g(-a)=a(e-a-a)，又a>1，

所以e-a<1，所以e-a-a<0.

即g(-a)<0.

所以∃x1=-a∈(-∞，0)满足g(x1)<0.

2.1.2 指对互换找点

2.1.3 利用不等式进行放缩

考虑到x→-∞时，ex→0，所以寻找h(x)使得x→-∞时，h(x)→0，且同时满足h(x)>ex.

2.1.4 利用取值范围进行放缩

2.2 逐段筛选，隐形零点

变式2设g(x)=aex-x2，当a∈R时，求函数g(x)的零点个数.

所以当x∈(-∞，x1)， (x2，+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(x1，x2)，g′(x)<0，g(x)单调递减.

所以g(x)在(-∞，0)内有1个零点.

下面讨论g(x)在(0，+∞)的零点个数.

g′(1)=ae-2<0，所以x1∈(0，1)，x2>1.

2.3 极值点偏移

变式3设g(x)=aex-x2，当g(x)在(0，+∞)有两个零点时，求证：两个零点和大于4.

所以当x∈(0，2)，h′(x)< 0，h(x)单调递减；

当x∈(2，+∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增.

已知h(x1)=h(x2)，故x2>2>x1>0.

若证x1+x2>4，即证2>x1>4-x2>0.

注意到x1和4-x2都处于(0，2)减区间内，

只需证h(x1)4成立，故下面仅研究x2∈(2，4).

构造新函数t(x)=h(x) -h(4-x)，x∈(2，4)，即证t(x)<0在x∈(2，4)恒成立，显然t(2)=0，若能证明x∈(2，4)时t′(x)<0，则此题得证.

教师点评“极值点偏移”问题近年来在高考题、模拟题中频繁出现，2016年全国Ⅰ卷和2021年新课标Ⅰ卷都是以其作为压轴题考查．这类问题包含了转化与化归、函数与方程等数学思想，常见解法是基于对称变换的思想，构造新函数讨论单调性求解.特别的，上文有这样一句话“t(2)=0，若能证明x∈(2，4)时t′(x)<0，则此题得证.”这个思维方式是不严谨的，因为此时t′(x)<0是t(x)<0的充分非必要条件，答题过程应该逆序书写，即求出t′(x)<0，说明函数单调递减，进而结合端点值说明t(x)<0.