新高考评价体系下数学I 卷压轴题剖析与价值指引——以“2021 年全国新高考数学I 卷第22 题”为例

王淼生

（1.厦门第一中学，福建 厦门 361003；2.福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

随着《中国高考评价体系》的实施，一线教师既要全面把握宏观层面：新高考评价体系下的“为什么考”的“一核”及“考什么”的“四层”外，更要密切关注微观视角：“怎么考”的“四翼”［1］.毋庸置疑，高考压轴题，尤其导数综合试题永远是高中数学教师研究的重点.本文通过对2021 年新高考数学I 卷第22 题的剖析，凸显命题专家在导数压轴题中有效落实考查要求中的“四性”——基础性、综合性、应用性及创新性，从代数层面给出多种解答，揭示试题几何背景，诠释问题本质为极值点偏移，追寻专家命制导数压轴题的历程，彰显高考的引导、导向作用，为以后的教育教学及命制试题指明方向.

一、重现高考真题——落实高考评价体系

2021 年全国新高考数学I 卷第22 题（导数压轴题）如下：

已知函数f(x)=x(1-lnx).

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）设a，b为两个不相等正数，且blna-alnb=a-b，证明：2 <

评注：本题短小精悍，内涵丰富.主要考查函数定义域、单调性、导数、极值点偏移及不等式证明等重要知识，突出考察代数变形、推理论证等数学能力，重点渗透转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想，着力提炼换元、构造、分析、综合等数学方法，逐步提升逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，全面落实高考评价体系“四翼”要求.

二、基于代数视角——培养逻辑推理素养

（一）对于（I）而言——凸显“四性”中的“基础性”

对函数f(x)=x(1-lnx) 求导可得f′(x)=-lnx.可以得到f(x)在(0,1)上为单调递增函数，f(x)在(1,+∞)上为单调递减函数，如图1 所示.

图1

评注：函数单调性（或单调区间）属于函数最基本的性质.求导是判断函数单调性最基本的方法.命题专家将单调性（或单调区间）设置为导数综合试题第（I）问，呈现低起点、易入手、多得分、好心态、建桥梁的特点.低起点是为了鼓励所有考生敢于下笔.不含参数容易入手，是为了激励所有考生能够下笔.多得分是为了奖励勤奋好学的考生，实现人人都可以学到相应的数学.好心态是为了勉励所有考生热爱数学，消除恐惧压轴题而直接放弃的心理.建桥梁是指第（I）问为第（II）问铺路搭桥，既能拾级而上，又能各显神通，优化思维品质，发展学生智力，磨砺考生敢于创新的意识，善于创新的能力，凸显新高考评价体系下的“四性”之一的“基础性”中的“基”的本质含义：基础知识、基本性质、基本方法、基本路径、基本得分、基本分值、基本思想、基本功能.

（二）对于（II）而言——彰显“四性”中的“综合性”“创新性”

至此，已知条件：m(1-lnm)=n(1-lnn)与求证结论：2

设0

（1）先证明：m+n>2.

分析1（分析法、综合法与构造法）：

这正是②式.

分析2（分析法、同构法与构造法）：

将④代入③式右边并整理得到

⑤式两边结构相同，于是构造同构函数：g2(x)=x2-2xlnx，则上述⑤式等价于

g2(n) >g2(m).

由于o

分析3（结论法、放缩法与综合法）：已知条件为等式m(1-lnm)=n(1-lnn)，而求证结论为不等式m+n>2，适当放缩是实现等式向不等式转化的有效途径.我们可以将熟知不等式：lnx≤x-1 进一步加强为以下结论（限于篇幅，证明过程略）：

必须指出图1 正是这样得到的，否则难以画出精准的图1.其实，我们应该也必须承认：平时不少作图或多或少借助了极限（即图形走势）概念，其本质就是洛必达法则.

分析6（变量法、分析法与构造法）：因0 1）代入①（引入新变量t，将问题转化为关于t的函数，这是处理极值点偏移问题的常见策略）可得

分析8（分类法与构造法）：由于0

（i）当1

构造函数：g9(x)=2x-xlnx-e，求导可得g′9(x)=1-lnx>0，则g9(x)在(e-1,e)上递增，于是g9(x)

评注：本题是一道融极值点偏移、同构变换、构造函数与不等式证明于一体的经典案例.回顾上述分析1 至分析8 的逻辑推理过程，既包括同一层面、横向的触类旁通，又连接不同层面、纵向的融会贯通，还揭示极值点偏移问题隐藏的解题规律，处处体现分析法、综合法、放缩法、同构法、构造法等数学方法的完美结合，将新高考评价体系下的“四性”之一的“综合性”中的“综”刻画得淋漓尽致.尤其分析3 的加强结论、直捣黄龙与分析8 的巧妙拆分、各个击破，以发散思维、逆向思维、创新思维，将新高考评价体系下的“四性”之一的“创新性”中的“新”演绎得赏心悦目.

值得说明的是，上述①还可以等价变形为：

三、揭示几何背景——培养直观想象素养

数学是研究代数与几何的一门科学，上述论证方法都是侧重代数视角，若从几何视角该如何考察呢？由图1 及第（I）问的结论可知函数f(x)在（0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减.通过作图发现：当x∈(0,1)时，函数f(x)图象恒在经过点O(0,0)与A(1,1)的直线y=x的上方，即x(1-lnx) >x；当x∈(1,e) 时，函数f(x)图象恒在点B(e,0)处的切线y=e-x的下方，即x(1-lnx)

图2

评注：数缺形时少直观.史宁中先生认为，在大多数情况下，数学的结果是“看”出来，而不是“证”出来的，这是对培养直观想象素养的最佳诠释.正如数学教育家克莱因感叹：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上.”命题专家正是凭借直观图形的灵感，从而命制出这道经典试题.

四、坚守极值点偏移——培养数学建模素养

求证结论：

上述⑩式意味着什么呢？如图3 所示，这正是典型的极值点偏移问题，且极值点偏移在1（即为函数f(x) 增减区间的分点）与（即为直线y=x与y=e-x交点的横坐标）之间.极值点之所以产生偏移，就是源于函数图象增减速度不同而形成.事实上，由第（I）问的结论及图3 可知，函数f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上为单调递增函数且增速快，在(1,e)上为单调递减函数且减速慢，因此极值点1 偏左，故有1-m2.尽管函数f(x)=x(1-lnx)只有一个零点e，但由前面的分析可知，我们也可以将0 看作另一个“ 零点”，于是同样由图可以看出，即m+n

图3

事实上，借助三阶导数也可以确定极值点偏移情况.

正是因为三阶导数恒为正数，说明极值点1 向左偏移.由图2 可知，作直线y=p（0

m

⇒m+n

评注：《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》将函数从代数中分离出来，并将函数作为高中数学课程四大主线（函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动）之一且排在四大主线之首，就是为了突出函数特殊地位，强调函数是高中数学的核心概念，彰显函数是数学教学永恒主题.正如章建跃、任勇等数学名家在不同场合一再强调的，无论在函数教学上花再多时间、再多精力都是值得.极值点偏移不仅是函数与导数综合试题中的关键问题，处处渗透数形结合、函数与方程、转化与化归等一系列思想方法，而且解决极值点偏移问题的过程本身就是数学建模过程，时时昭显新高考评价体系下的“四性”之一的“应用性”中的“用”：应用函数与导数知识，利用各种数学方法来分析并解决问题.极值点偏移问题有利于培养逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象等核心素养，这正是近些年来高考命题专家锲而不舍地反复考查的缘由.可以预测，极值点偏移问题也是未来各级各类考试中的热点、重点与难点.

五、追寻命题依据——引领教学方向

命题专家正是借助图1、图2、图3 的直观性，再利用函数f(x)=x(1-lnx)满足的条件：f(m)=f(n)，然后经过适度“包装”（此处包装即为换元：m=并“故意”调换顺序，从而得到blna-alnb=a-b.这种命题套路已经成为公开的秘密，这正是专家命题的心路历程，恰好与我们解决问题的流程相反.［2］

2021 年全国新高考数学I 卷具有特殊意义与价值，不仅是未来命题的风向标杆，而且是今后高三复习的指路明灯.正如教育部考试中心发布的《2021 年高考数学全国卷试题评析》中所指出的：“试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则，稳步推进改革，科学把握必备知识和关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性和数学思维的开放性，稳中求新，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.”