高中数学建模课程体系构建与实践探索

姚育青 苏圣奎，2

（1.厦门第六中学，福建 厦门 361012；2.福建师范大学数学与统计学院，福建 福州 350117）

数学建模作为用数学语言表达现实世界的核心素养，是实施跨学科教学的融通工具，也是实施创新人才早期培养的有效载体.厦门第六中学教师团队以跨学科融合的现实问题为研究对象开展数学建模教学活动，引导学生经历数学建模的思维与实践过程，探索问题解决的最优化方案，在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的实践中培养学生的数学应用能力、创新思维、合作精神和核心素养.经过多年教学实践，研究团队总结提出以“数模三阶课程”培育创新人才的理论架构与实践路径，研究成果获得2020 年福建省基础教育教学成果一等奖，在推动高中育人方式改革方面迈出了坚实的步伐.

一、面向全体学生，构建进阶课程

数模三阶课程根据学习进阶（Learning Progression）理论开展课程设计，面向不同层次的全体学生，内容包括数学建模必修课程（初阶课程）、研究性学习课程（中阶课程）和STEAM 校本课程（高阶课程），［1］在课程内容、学习对象和学习目标上均呈现逐级进阶的特征.

初阶课程以高中数学教材的必修内容为主，面向全体高一学生，旨在让学生了解数学建模基础知识与方法，体验数学建模活动的全过程；中阶课程以特定的热点问题和项目为研究对象，结合MATLAB、Excel、几何画板等常用软件和数学建模方法进行案例分析，面向研究性学习选修数学建模的高一、高二学生，帮助学生积累数学建模活动经验；高阶课程则面向具备创新潜质和一定数学建模活动经验的高二、高三学生，根据这部分学生自主提出的创新性问题或项目需求，开展科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering）、人文艺术（Art）与数学（Mathematics）相融合的STEAM 项目研究，促进学生具备综合运用跨学科知识和技能解决创新性问题的能力.下面以初阶课程中的高中数学人教A 版（2019 版）教材的必修（第一册）的数学建模活动“建立函数模型解决实际问题”第一课时为例，简要阐述数学建模教学的实施流程.

基于45 分钟的常规课时难以保证数学建模教学的延续性和可操作性，本节课将数学建模案例分析和团队活动有机整合成一节90 分钟的大课，作为数学建模初阶课程的入门基础课.课堂教学内容以教材中的“茶水口感”问题作为数学建模的入门案例，引导学生构建数学模型解决实际问题，体验数学建模的关键流程.问题如下：中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

（一）获取数据，画图分析

数据的采集是科学研究的重要环节，数学建模教学要引导学生通过自主实验和权威渠道获取数据，明确数据的来源、类型、范围、数量、选取依据和处理方法.针对上述问题，教师引导学生运用函数思想，将采集的数据（见表1）转化为平面直角坐标系中的点，借助函数图像进行分析，探索温度随时间变化而变化的规律.

表1 茶水温度数据表

（二）提出假设，建立模型

事物之间的联系纷繁复杂，需要人们找到解决问题的核心要素，去除干扰因素，探寻问题的本质，数学建模亦是如此.模型假设的关键是理清什么能够研究，什么不能研究，找出关键变量，去掉不能研究的变量.本问题假设茶水温度随时间的变化过程中，不受天气和容器保温、散热效果等因素的影响，并确定时间变量为x（min），温度变量为y（℃）.根据已画出的散点图，经过探究分析，学生可选择的函数模型有反比例型函数y=+25(k>0,a>0,x>0)、指数型函数y=kax+25(k∈R,0

（三）求解模型，拟合检验

以指数型函数y=klogx+25(k∈R,0

表2 茶水温度实际值与估计值对比表

图1 茶水温度拟合曲线图

（四）应用模型，优化创新

应用模型y=60 × 0.9227x+25(x≥0) 来回答“刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到60℃？”这个问题.此时，只需将y=60 代入y=60 × 0.9227x+25(x≥0)，求得x=log0.9227，借Excel 软件中的LOG 函数工具进行计算（见图2），得到x≈6.6997，从而得出结论：刚泡好的茶水大约需要放置7 分钟能达到最佳饮用口感.

图2 基于STEAM 的数学建模素养水平评价指标模型

图2 Excel 软件辅助对数计算

从结论来看，7 分钟的放置时间与人们日常饮茶的习惯和生活节奏不尽相同，如何改进和优化现实问题，用创新思维解决数学建模过程中有研究价值的问题，是数学建模活动培养学生创新能力的关键环节，这个过程需要教师适时引导，激发学生创新潜能.例如，教师可引导学生讨论在不影响茶叶营养成分的前提下，如何更快达到茶水的最佳饮用口感；又如，选择生活中常见的三款茶叶，研究对比不同茶叶达到最佳口感的温度和时间，为消费者提供建议.

（五）展示成果，感悟价值

学生经历数学建模的核心过程之后，需要用语言和文字表述研究过程和结论.课堂上可以通过让学生以纸质海报的形式呈现研究成果，并对研究成果以语言陈述的方式来展示，旨在锻炼学生胆识的同时，提升学生自信心和综合素质.在引导学生总结数学建模解决现实问题流程的基础上，还要让学生对比传统数学解题与数学建模的差异，从面对的问题、有无标准答案、参与对象、实现目标、成果形式五个方面呈现出数学建模的开放性、创新性、合作性、应用性和学术性特征（见表3），促进学生认知的升华，感悟数学应用价值.

表3 数学建模与数学解题的优势特征对比

二、开展多元活动，促进人才培养

学校在开设“数模三阶课程”的同时，以激发学生兴趣和创新潜质为导向，构建中学数学建模综合活动平台（见表4），包括数学建模实验室、数学建模社团、校企合作创新实践基地、IMMC 国际数学建模挑战赛、京师数学建模教育实践基地和厦门地区数学建模联合研习活动等活动载体，汇集教学、实验、交流、竞赛与成果展示等多样化功能，让学生在社团活动中交流合作，在实验室探究实践，在实践基地应用创新，满足不同层次、不同阶段、不同特点学生的学习需求，形成校企协同育人的育人模式.例如，学校与伞具生产企业建立校企合作创新实践基地，组织数学建模社团的学生到企业开展社会实践活动.学生在企业亲身体验伞具的组装流程，与企业工程师交流多功能雨伞的创意设计，包括伞巢优化、太阳能风扇、储电充电、紫外线监测、实时定位等，融合数学、物理、信息、工程等学科知识开展综合建模活动，并在企业的帮助下将研究成果转化为产品.

表4 数学建模综合活动平台

三、参加各类比赛，检验教学成效

学生经过“数模三阶课程”的学习和“数学建模综合活动平台”的磨炼，体验了数学建模活动的全过程，积累了一定的活动经验，初步具备独立解决问题的能力.此时，教师可以为学生创造机会，在更大的交流平台中进行交流和展示，检验数学建模教学活动效果.近六年来，厦门第六中学组织学生参加各类数学建模和科技创新比赛，例如IMMC 国际数学建模挑战赛、全国青少年科技创新大赛、上海地区数学建模联校活动、福建省“互联网+”大学生创新创业大赛萌芽赛道等比赛，通过竞赛促进教学，普及数学建模教育，成效显著.

数学建模和科技创新比赛都以提交研究论文作为参赛的基本条件，参赛队伍可根据实际情况，提交程序算法、实物模型、软件模型、查新报告、专利、图片、视频等附加材料来提升项目的综合质量.以下从备赛、参赛和评价三个环节进行简要阐述.

（一）“软硬”兼施，备战赛事

在“硬件”方面，要为学生提供比赛的专用时间、空间和硬件设备.一是时间管理，数学建模比赛从赛题公布到提交参赛论文是有时间限定的，一般为3-4天.科学分配比赛时间是成功提交参赛论文的关键，指导教师应协调好学生日常学习和参赛的关系，为学生提供连续的比赛专用时间.二是场地设备，数学建模比赛一般在专用的计算机教室或者数学建模实验室里进行，学生在专用场地利用计算机进行编程、计算、文档编辑，并使用相关的实验设备采集数据、模拟实验、检验结论等.

在“软件”方面，要为学生提供文献与数据查询、小组分工、学术规范等方面的指导.一是文献与数据查询指导，通过对中国知网、国家统计局等专业文献网站的介绍，使学生了解获取文献和数据的主要渠道，明确相关领域的研究现状，从而开展具有创新价值的研究.二是小组分工指导，数学建模团队一般由2-4 人组成，各成员要在问题情境解读、建模解模、软件应用、论文撰写、交流展示等多个环节进行分工，发挥每个成员的特长优势，相互协作，形成团队合力.三是学术规范指导，教师要学习数学建模论文的撰写要求，逐步具备评审数学建模论文的能力，并通过评析优秀数学建模论文的范例，使学生明确写作框架和学术规范.

（二）重视细节，科学参赛

数学建模竞赛一般分为两个阶段：第一阶段是网络比赛阶段.这个阶段由赛事主办方发布赛题，参赛队伍根据比赛要求完成相关任务，并在规定时间内通过网络平台提交参赛论文.这个阶段指导教师要引导学生制定、落实比赛计划，包括时间分配，成员分工，阶段目标，论文修订、提交等，督促学生在关键时间节点内完成既定任务.此外，参赛队伍还需留出足够的时间进行论文修订和完善，如摘要的提炼、字体字号的统一、参考文献的规范标注、文档的排版和美化等.

第二阶段是答辩决赛阶段.经过专家评审，部分网络比赛阶段的优秀作品将入围答辩决赛，入围的参赛队伍根据要求到答辩决赛举办现场以演讲的形式展示参赛作品，并接受专家团队的问辩，专家团队再根据参赛队伍的表现进行评审，确定参赛队伍的比赛成绩.这个阶段要组织学生开展正式问辩前的模拟问辩，引导学生充分掌握参赛作品中各细节的前因后果，能运用简洁精炼、富有逻辑性的演示文稿和语言陈述参赛作品的科学性、实用性、创新性和可推广性，并制作能体现问题本质特征和优点的软件模型或实物模型辅助讲解.在此基础上，参赛队伍要关注项目研究的优点、创新点和不足，能客观、灵活地回应专家提出的问题，做到有理有据，能自圆其说.

（三）综合评价，激励成长

评价是教育活动的关键环节，是反馈育人成效的核心工具.为了以评价激励学生发展，深度挖掘学生发展潜质.厦门第六中学教师构建高中生数学建模素养水平评价指标体系，该指标体系依据《普通高中数学课程标准（2017 版2022 年修订）》有关数学建模核心素养的水平划分、STEAM 教育理念和数学建模活动的主要过程，［2］在进行专家访谈和问卷的基础上，制定了“情境解读”“数学建模”“数学表达”“交流协作”和“技术转化”等5 个一级指标，15 个二级指标及相对应的4 个水平划分，结合专家访谈和层次分析法（AHP）确定各指标的权重值，通过对各个二级指标的4 个水平划分进行赋值，开展数学建模素养水平的量化评价［3］.评价实施过程关注学生课堂、活动和比赛中的过程表现和成绩，组织高校专家、企业工程师、家长和学校多学科教师成立评审小组，开展过程性评价与总结性评价，定量评价与定性评价，他人评价与个人自评的综合评价，促进学生从四基四能向核心素养发展.

四、拓宽推广渠道，发挥示范作用

自2020 年以来，为了进一步推广学校的数学建模教学成果，厦门第六中学与厦门市教育科学研究院、福建省学习科学学会联合举办了一年一度的厦门地区数学建模联合研习活动，组织厦门地区和省内外部分学校的中学生开展数学建模研究性学习活动，活动经历“课程学习—提出问题—发布问题—问题解决—论文评审—展示问辩”六个阶段，其中“课程学习”阶段由组织单位提供“数模三阶课程”的相关内容；“提出问题”阶段由学生组建数学建模小组，结合生活热点和亲身经历，合作提出一个具有应用价值和创新价值的问题；“发布问题”阶段由组织单位提供若干个问题作为数学建模活动的选题，供学生自主选择；“问题解决”阶段由参加活动的队伍根据数学建模解决问题的过程及论文写作的规范要求，合作完成一篇数学建模论文；“论文评审”阶段由组织单位邀请评审专家对各团队提交的论文进行评审，评出入围“展示问辩”决赛的队伍；“展示问辩”阶段由入围队伍根据数学建模论文和问题解决过程制作展示研究成果的幻灯片（演示文稿），在决赛现场先完成限时的成果展示，之后回答评审专家有关数学建模成果的提问，促进学生在展示、交流和比赛中成长.

厦门地区数学建模研习活动不仅为区域内外的中学师生提供交流数学思想，展示数学建模素养和创新能力的平台，又能引导中学生应用数学建模方法探索和解决现实问题，增强中学生数学创新意识，体现数学建模“全民健身”理念，普及数学建模教育，为创新人才的早期培养提供参考途径.

高中数学建模教学活动引导学生应用数学模型解决具有学科交叉融合特征的现实问题，为学生提供动手实践、团队合作和展示成果的机会.数学建模教学旨在引导学生在数学建模活动中感悟数学应用价值，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，在学数学、做数学、用数学的教学过程中渗透立德树人的“德育”基础，营造数学文化和数学价值的“美育”环境，突出对数学思维、数学应用的“智育”培养，落实实践动手能力和合作创新精神的“体劳双育”，发挥数学学科育人功能，实现“五育融合”，推进育人方式的改革，促进学生全面发展.