气流管道内多模态远场辐射特性研究

许坤波，刘存粮，仝 帆，乔渭阳，高成冲

(1.南京工程学院 机械工程学院,南京 211167；2.中国空气动力研究与发展中心 气动噪声控制重点实验室,四川 绵阳 621000；3.西北工业大学 动力与能源学院，西安 710129)

管道噪声研究对于日常生活很有必要，例如出口消声器、大型烟囱以及涡扇发动机等装置内的噪声都属于常见的管道噪声类型[1]。对这些装置进行声学测量，最有效的方式是对这些声源产生的声场进行声功率测量，因为声功率不同于声压或其它变量，它是一种表征声源强度的守恒指标，通常被用于检验消声装置的有效性[2]以及预测噪声污染对附近居民的干扰程度。

声功率理论上可以通过将垂直于管道出口截面的声强进行积分得到。但是在实际应用中，布置这些用于声强测量的传声器受限于测试对象，比如对数十米高的大型烟囱进行声强测量将非常耗费人力。也就是说管道内声功率测量通常都是困难的，一般都需要在管道内部或者远场处布置多个测点用于测量声压，利用测量得到的声压数据推导出声功率[3－5]。但是这种方法的最根本难题是管道内存在气流。由于管道内存在气流，管道内声功率就不能像往常一样通过测量到的声压和质点速度进行测定[6]。Munroe 等[7]指出利用声压梯度来推导声学质点速度的方法在气流方向与声传播方向不同时将变得无效，根据这些结果进一步指出两者之间的关系并不是固定不变的。当预先知道管道内声源分布或者模态幅值分布时，对管道内高频处声功率进行测定就变得易于实现。在这种情况下声功率-声压之间的关系可以通过理论推导出来，并可以基于这种关系通过测量得到的声压数据推导出声功率结果。但不幸的是很难提前知道声源分布的详细信息，而且管道内导通模态数目众多也会导致模态测量并不足够精确。

基于Levine 等[8]对入射平面波的研究以及Weinstein[9]对高阶模态的研究，Homicz 等[10]研究了单个模态的远场辐射特性，利用Wiener-Hopf方法精确给出了在半无限长、硬壁无凸缘的圆形管道内单个模态的无量纲指向性函数，并指出根据无气流时的结果可以推导出环境内部都是均匀流动时的指向性函数。Munt[11]将其扩展到更一般的情况，即管道内均匀流和管道外流动速度不同，并用涡面模拟两种流动的交界面，远场预测的声压结果与实验测量结果符合的很好。随后Munt[12]将其延伸到近场测量。Rienstra[13]研究了均匀流条件下半无限长环形管道内单个模态的远场辐射特性，Gabard 等[14]将其延伸到管道内和管道外气流速度不相同的更一般情况，并给出了模态等能量声源模型下的多模态远场辐射结果。

在管道内高频噪声研究方面，由于这时管道内导通了大量模态，类同于涡扇发动机风扇的高频宽频噪声和排气烟囱噪声，气流管道内多模态辐射特性研究就显得非常重要。而着眼于管道内多模态传播以及辐射，已出版的论文很少有涉及。只有20世纪60年代Rice[15]和更近的Joseph等[16]对此进行了相关研究。Rice[15]推导出了高频下声压平方均值的指向性公式，研究中将由两个指标（周向和径向阶数）确定的模态简化为只依赖于导通比的函数，这是因为相同导通比下的不同模态的主瓣辐射角度是相同的。Joseph等[16]给出了无气流条件下多模态辐射声压平方的指向性一般式，对于前传和后传声波同样有效。

通过假设理想的模态幅值分布或声源分布可将声功率与测量的声压关联起来。本文将研究多种理想声源分布模型下管道内声压与声功率之间的关系以及管道远场噪声辐射特性对声源分布模型的敏感度。通过引入无量纲指向性函数，本文对多种声源分布方案下的指向性函数的解析解和高频渐进解进行了对比研究，并在高频处进行了验证，研究了不同声源模型的功率放大特性对气流马赫数的敏感度。通过在单级轴流风扇远场布置声阵列来对此进行实验研究。

1 管道内多模态远场指向性函数

在气流管道内部，位置以圆柱坐标系表示，即(r,ϕ,x)，如图1所示。

图1 气流圆形管道示意图

频率ω处的声压p可以表示为如下形式：

式中：(m,n)和(h,l)表示任意模态；Amn为模态幅值；ψmn为(m,n)模态的特征函数；S为截面面积；β=为模态(m,n)顺流传播的轴向波数；k为自由场时声波波数；amn是模态导通比，对于导通模态0 ≤αmn≤1，当αmn=0 时就是模态(m,n)的导通/截止点。声功率可以通过式(5)计算[3]：

式中：W为声功率；PWLmn为模态声功率；ρ为气体密度；c为声速。

只要知道管道内各个模态的幅值就可以知道声功率。但是通常情况下管道内会导通大量模态，尤其是对于高频的圆形管道来说更是如此，而对于这些大量的模态进行准确测量将是非常困难的，因此通过预先假设管道内模态幅值或声源分布，对于管道模态声传播辐射研究很有必要。本节将介绍3种常用的具有代表性的声源模型：均匀分布的不相干单极子（Monopole）、均匀分布的不相干偶极子（Dipole）和模态等能量（Equal Energy Per Mode，EEPM）声源模型。

当管道内不相干声源以任意时空关系均匀分布于管道某个横截面时，含有源项q的非齐次波动方程为：

其中源项通常可以写成：

式中：ν代表声源分布的时间阶数；μ表示声源分布的空间阶数。在后续研究中声源分布qij被限制于轴向方向，这时源项可以写为：

在半无限长圆形管道内，当截面均匀分布着空间阶数为μ、时间阶数为ν的不相干声源时，其产生的模态幅值可以写成一般形式：

式中：(μ,ν)用以表示声源类型，(μ,ν)=(0,1)对应于单极子声源，(μ,ν)=(1,0)对应于轴向偶极子声源。

实际研究中还有一种声源分布类型：模态等能量声源，也就是说管道内每个导通模态携带的能量是相同的，即PWLmn=W0，这时该模型的模态幅值分布可以写成：

无量纲多模态指向性函数是任意马赫数和极角下远场声压平方均值与管道内声功率之比，定义为[17]：

式中：kR定义为kR=表示远场辐射声功率在频率为f时的期望值表示远场测点（辐射半径为a，辐射角为θ）的声压幅值平方。

Rice等[18]研究了管道模态传播与模态传播角度的关系，并得出均匀流动圆形管道内模态的传播角度θmn公式，定义为模态传播波阵面与轴向的夹角。本文中θmn与Rice 等[18]相同，在管道内θ与θ+δθ之间的声功率指的是模态传播角θ≤θmn≤θ+δθ的所有模态的声功率之和δW(θ)：

其中模态传播角度θmn与模态导通比αmn、气流马赫数Ma相关：

对于每个模态(m,n) ∈Ωθ，当δθ≪1时，可以假设θmn≈θ，那么式(14)可以转换为：

将式（15）代入式（13）可得：

式中：δN(θ)表示传播角介于θ和θ+δθ之间的模态总个数，因此δN(θ)/N是个小量，其中N指总的模态波个数。假设频率kR→∞，模态可以看成为αmn的连续函数，并可以求解出：

将其代入式（16）可得到管道内θ与θ+δθ之间的声功率的解析函数：

需要注意式（18）是频率kR→∞后的解析解，这时管道内声功率可以通过将式（18）对角度积分得到。将解析结果式（18）代入式（11）定义的Q(kR,θ)，当kR→∞时，可得到无量纲指向性函数的高频渐进解：

对于本文研究的3种声源模型：（1）均匀分布的不相关单极子声源；（2）均匀分布的不相关偶极子声源；（3）模态等能量声源，无量纲指向性函数可以通过式（19）求得。

2 风扇进口远场噪声实验测量

本文的另外一个目的就是对多模态远场辐射特性进行实验测量，并通过与精确的解析解和高频渐进解对比找到最适宜用于预测风扇管道远场噪声辐射的声源模型。

实验中在风扇进口远场布置了弧形传声器阵列用于对远场声压进行测量。如图2所示[19]，进行远场测量时以风扇进口中心为圆点，距圆点5 m 处布置了1/4圆形阵列，16个传声器等角度（每6°布置一个传声器）布置于与风扇进口中心同等高度的平面内。风扇级由19个转子叶片和18个静子导叶组成，试验设计转速为3 000 r/min，转子由单个18.5 kW的电机带动，管道直径为0.5 m。

为了保证旋转测量中的声场相位稳定，在风扇转子附近安装了红外锁相装置（如图2 中转子下方的方块所示）。试验中为了降低进口反射声波对管道声学测量的干扰并兼顾风扇管道排气需要，将轴流风扇台进口段（包含声阵列测量装置）放置于飞机强度所（Aircraft Strength Research Institute，ASRI）的半消声室内部，出口安装了消声装置。试验测量中使用的传声器是BSWA 公司的MPA401 型1/4 英寸的传声器。声压信号由32 路Müeller BBM MKⅡ型数采同时采集，采样频率是fs=16 384 Hz，傅里叶变换中声压数据经过了60次窗截断处理，窗大小为214。

图2 风扇实验台及其远场阵列

3 数值和实验结果

图3、图4 和图5 给出了指向性函数Q(kR,θ)在频率kR=50 处关于极角θ的分布结果，对应的3 种声源模型分别是：均匀分布不相干单极子声源；均匀分布不相干偶极子声源；模态等能量声源。每个图中分别给出了气流马赫数Ma为-0.3、0、0.3的结果。其中实线表示Q(kR,θ)解析解，虚线表示Q(kR,θ)高频渐进解。对于均匀分布不相干单极子声源，在Ma=0 时其指向性函数呈现为全指向性（如图3(b)所示）。当Ma<0 时，随着气流速度增大，Q也随之变大（见图3(a)所示）。与之不同的是当Ma>0 时，随着气流速度增大，接近轴向位置的Q值变小而偏离轴向位置的Q值随之增大（如图3(c)所示）。当声源是均匀分布的不相干偶极子时，在无气流Ma=0时的指向特性与全指向性有明显区别（见图4(b)）。Ma<0 时随着气流速度增大，指向性在前传方向内趋于相同（如图4(a)所示），而在后传方向指向性在特定辐射角度处会出现极小值。相反地当Ma>0时若速度增大Q在后传方向会随之增大而在前传位置会随之减小，并且在靠近轴向位置的某个角度处会出现极小值（如图4(c)所示），这个特定角度θ0满足：

图3 均匀分布不相干单极子声源模型的指向性函数

图4 均匀分布不相干偶极子声源模型的指向性函数

图5 模态等能量声源模型的指向性函数

根据式（9）所示的模态幅值分布可知这个角度θ0对应于模态幅值位置，这时模态传播速度为零。最终，模态等能量分布的声源模型指向性特征和均匀分布的不相干单极子声源模型非常类似。

为了验证多模态辐射传播时指向性函数的准确性，利用远场布置的圆形阵列对多角度处的辐射声压进行测量。图6中用黑色方形符号标识了实验条件（Ma=-0.07）下kR=50 频率处的指向性函数结果，通过与根据3 种不同声源类型计算出的结果进行对比可知：EEPM模型与实验结果符合最好，均匀分布的不相干偶极子声源模型次之，均匀分布的不相干单极子模型吻合度最差。

图6 管道内多模态指向性函数的理论和实验结果

4 结语

（1）本文针对半无限长、有均匀亚声速流动的硬壁圆形管道内的多模态噪声辐射特性，引入了无量纲多模态指向性函数，并对其进行了数值和实验研究，结果表明其值依赖于各个导通模态的幅值和方向函数；

（2）数值研究中应用了3种声源分布模型，并对其声压、声功率以及噪声辐射特性进行了理论研究，数值研究表明每个模态的幅值可以表示为模态导通比的函数。远场噪声辐射特性依赖于声源分布模型，模态指向性函数随着气流马赫数增大而增大；

（3）均匀分布的不相干单极子声源模型的对流放大效应因子随气流马赫数的变化规律与模态等能量模型相同；

（4）高频处多模态指向性函数的解析解和高频渐进解符合很好。轴流风扇辐射噪声结果在高频处与根据模态等能量模型计算出的远场辐射指向性符合最好，精度最高。数值和实验结果表明模态等能量声源模型可以用于预测风扇高频处的远场辐射噪声。