网格与密铺：六边形千鸟格的研发与应用

林蔚蔚

北京居其美业室内设计有限公司 北京 100000

引言：密铺，也称铺砌（tiling），是一种古老的平面装饰技法。对于密铺，数学家格雷鲍姆与谢泼德在1987年的著作《铺砌与图案》提出了以下定义：密铺指一个或多个几何形状既无间隙也无重叠地铺满整个平面。密铺分为周期性密铺与非周期性密铺。周期性密铺是由一个或多个图形单元以一定的规律循环复制形成，在这之中又有平面正密铺，即由一个几何图形形成密铺[1]，这也是本文将要研究的密铺形式。

17-18世纪的法国数学家特鲁谢拓展了平面密铺的形式，并提出了“特鲁谢密铺”。特鲁谢的密铺基于正方形密铺的正方形单元。在研究瓷砖上的装饰纹样时，这位数学家将正方形通过对角线分割为两个等腰直角三角形，并将两个三角形中的一个涂黑，以此产生了四个不同的正方形单元。这些正方形单元仍然能满足形成密铺的条件，将它们随机组合就能形成无数新图案[2]。特鲁谢的密铺法则启发了本文对基于密铺单元的千鸟格图案的研究。

我们所熟知的千鸟格图案是一种来源于织物的经典的密铺图案。在织物中，千鸟格（houndstooth）是一种由不同色彩的纱线穿插形成的纺织纹样，人们通过对其三维结构的归纳与概括，得出了后来广为人知的、作为平面图形的千鸟格图案。也就是说，千鸟格有两种形式：二维平面上的几何图案与织物组织中由纱线穿插形成的立体的纹样肌理，在本文中为方便区分，将平面上的千鸟格称为“千鸟格图案”，将织物组织中由纱线穿插形成的千鸟格称为“ 千鸟格纹理”。

中文的“千鸟格”纹样名来源于日本，因其犬牙差互的形态，与日本传统和服纹样“千鳥和柄”，即千鸟纹相似，日本人便将其命名为“千鸟格子”，并与传统的千鸟纹区分开，这个名称流传到中国，便成为我们所熟知的千鸟格[3]。事实上，千鸟格并非现代人的发明，在奥地利哈尔施塔特的铁器时代凯尔特人部落遗址发掘的梭织织物中，就有不少千鸟格纹理的斜纹织物[4]。 而现代意义上的千鸟格则是从苏格兰低地地区的羊毛纺织业开始流行的，后经过克里斯蒂安·迪奥、亚历山大·麦昆等时尚设计师的创新及推广，才成为当代服饰时尚一个经典的注脚[5]。

一、拆解与分析：探索千鸟格的织物三维结构

（一）千鸟格织物结构的拆解

在人类掌握生产工具的早期，物资匮乏的情况下，绝大部分的产品都是形式服从于使用功能的，织物也不例外。作为一种典型的斜纹梭织织物，千鸟格纹理的出现建立在该品种织物独特的性能优势之上。梭织织物的基本结构来自经线与纬线的穿插交叠。在梭织织物中，相对于平纹织物，斜纹织物的经纬纱交织次数比平纹织物少，故而纱线之间的缝隙较小，织物就更为致密厚实[6]。在冬季寒冷多雨雪的欧洲，羊毛是易得的原材料，而厚实的斜纹织物则贡献了出色的保暖功能，因此，斜纹织造的羊毛织物斜纹呢（twill）成为了御寒的绝佳选择，而千鸟格纹理就是在这个基础上，通过改变纱线的色彩与排列组合方式得到的，可以理解为满足了功能之后在形式上的拓展。它的单元结构通俗易懂，色彩搭配简单，便于生产，又拥有丰富的视觉效果，自然而然成为了大众的选择。

如果说人类对复杂之美与简单之美的追求是殊途同归的，那么规律就是连接起复杂与简单之间的桥梁。千鸟格纹理虽然原理简单，但是它改变了单色斜纹织物单调的视觉表现力。通过织物模拟的方式可以重现由简单斜纹到千鸟格纹理的演变过程。

最常见的梭织织物有三种基本组织结构：平纹组织、斜纹组织和缎纹组织，以纱线交叠的跨度为区分。以常见的“二上二下”斜纹织物为例，在其长度范围内每根经纱交替从两根纬纱上穿过，再从两根纬纱下穿过；在其幅宽范围-内每根纬纱交替从两根经纱上穿过，再从两根经纱下穿过，相邻的纬纱需向上或向下移动一个组织点，通常这种斜纹组织会被标记为2:2斜纹[6]。经线与纬线的色彩排列的变化能带来丰富多彩的纹理，千鸟格最原始的结构来自最简单的色彩排列方式：经纬一致，都是4根白色纱线间4根黑色纱线，经过连续重复之后，形成了密铺的纹理（图1）。

图1 千鸟格的织物结构模拟图

（二）千鸟格织物结构的分析

最简单的千鸟格纹理是构建在8根经线（4黑4白）与8根纬线（4黑4白）以2:2斜纹的结构穿插的基础上的。在梭织织物中，构成单元图案的经纬线越多，那么图案的呈现效果就越精密。当构成千鸟格单元的经纱与纬纱的数量达到数十支时，它们的穿插结构几乎已经可以忽略不计，纹理的边缘也无限趋于平滑，这时候千鸟格就从三维的纹理，变成了二维的图案（图2）。经过结构拆解-重组-三维到二维的转化，千鸟格图案可以被解构为四个等面积小正方形（图3），①和③、②和④两两互为反相，按照次序排列之后便可形成连续单元。

图2 从三维纹理到二维纹理的转换

图3 千鸟格图案的解构

二、重组：平面网格结构转化生成新图形

（一）网格结构理论

网格结构的理论表明：“任何一个平面都可以由凸多边形组合而成，而这些凸多边形，就被称为网格。所以网格设计便是指利用多边形构成平面的一种设计方法。规则网格是由完全相同的正多边形拼接组合而成的网格结构。”[7]格雷鲍姆与谢泼德亦提出，平面正密铺有三种形式，分别是正三角形密铺、正四边形密铺与正六边形密铺[1]。把平面正密铺中的单元多边形的边视为构成网格的线条，那么平面正密铺也可视为规则的网格结构，因此可以得出以下结论：规则的网格结构一共有三种，分别为(3，3，3，3，3，3)，即正三角形拼合而成的网格结构；(4，4，4，4)，即由四边形拼合而成的网格结构；(6，6，6)，即由正六边形拼合而成的网格结构[8]（图 4）。

图4 三种规则网格解构

上文对千鸟格图案进行拆分、重构的过程是在正方形网格结构下进行的，那么假如正方形单元改变了形状，会带来什么样的后果？能不能将四边形网格结构中的千鸟格“转写”到正三角形网格结构与正六边形网格结构之中？最后会呈现何种效果？

（二）三种规则网格结构的相互转化

从图像上就能清晰地看到，正三角形网格结构与正六边形网格结构存在直接明显的转化关系，六个正三角形能拼合成一个正六边形，所以这两种网格结构是可以相互兼容的（图5）。正方形网格结构则需要经过一些角度上的转化，才能与正三角形、正六边形网格结构产生关联。

图5 正三角形网格与六边形网

首先在保持边长不变的情况下，将正方形网格拉伸为内角分别为30o、60o的正菱形网格（图6）。此时，四边形的结构仍然存在，只不过角度产生了变换；接下来，用相同的手段复制一个正菱形网格，其倾斜的方向与上一个菱形网格的方向相反。对齐两个网格的中心，重叠的部分便形成了正三角形网格，同时重叠部分的边缘也是正六边形。如图所示，两个8x8的正菱形网格交叠之后，交集部分的轮廓为正六边形，六边形的每条边都被等分为四份。

图6 正方形网格与正三角形网格之间的转化关系

（三）寻找千鸟格

从正方形网格转换到正三角形网格的过程中，每一个正方形单元都被切分为了两个三角形，回看图3中构成千鸟格的四个基本正方形，正方形①和③的图案是由正方形的对角线分割产生的，而三角形没有对角线，所以无法生成与正方形相似的分割，这也就宣告了在三角形网格结构中，四边形网格中千鸟格的基础结构无法直接转化。不过这并不意味着故事的结局，相反，故事从这里才刚刚开始。

从网格结构中的小三角形中跳出来，重新着眼于先前正方形网格结构的踪迹—菱形网格。在这片由三角形构成的海洋中能找到无数大大小小的菱形，它们由两个正三角形拼接而成，它们的对角线即为两个正三角形共用的边。而构成千鸟格的小正方形中也存在相同的对角线分割，相当于一个正方形可以理解为两个等边直角三角形的拼接。只要在菱形网格结构中标记出与正方形网格结构中相同的分割线，就能够找到千鸟格了（图7）。笔者将这种新的千鸟格形态命名为六边形千鸟格，它既可以用正三角形网格来解构，也可以用正六边形网格来解构（图8），而归根结底，它来源于正方形网格结构的形态转变。这个解构-重组的过程，充分体现了三种规则网格结构之间有趣的动态变化关系。

图7 从正三角形网格中找到六边形千鸟格

图8 六边形千鸟格与六边形网格的关系

三、六边形千鸟格在产品中的应用

作为产品设计师，得出新的图案之后笔者自然而然地开始考虑应用的问题。六边形千鸟格作为一个来源于织物的图案，似乎它最好的归宿是回到织物中去。这时候我们又开始了从二维到三维的过程。

（一）六边形千鸟格于梭织布料上的应用

因为六边形千鸟格图案基于正三角形网格结构或正六边形网格结构，所以要在梭织织物中体现它的形态，就需要将图案再次置于正方形网格结构中进行转化。上文提到，在梭织织物中，构成单元图案的经纬线越多，图案的呈现效果就越精密，相反，构成单元图案的经纬线越少，图案的呈现效果就越抽象。所以接下来的研究内容分为两个方向：

1.如何用最少的经纬线呈现六边形千鸟格？

在平面图案中我们会发现，将六边形千鸟格图案顺时针旋转60o ，它就能够平行于正方形网格，它是由四个相同形状的平行四边形拼接构成的（图9），每个平行四边形包含16个正三角形，或8个正菱形，或2个大正菱形。假如把每个小正三角形定义为一个正方形，那么每个平行四边形可以转化为4列、8行小正方形，呈阶梯状排列；假如把每个小菱形定义为一个正方形，那么每个平行四边形可以转化为2列、4行小正方形，同样呈阶梯状排列；假如把每个大菱形定义为一个正方形，那么每个平行四边形可以转化为1列、2行小正方形（图10）。通过对比可以清晰看到，随着格子的减少，形状变得越来越抽象。在正方形网格中标记出六边形千鸟格后，就能够利用梭织织造出六边形千鸟格的纹理了（图11）。

图9 六边形千鸟格中的平行四边形

图10 从菱形到正方形的变化

图11 不同疏密程度的六边形千鸟格纹理对比

2.如何将六边形千鸟格做到精致？

相较于上文“极简”的转化方式，将六边形千鸟格做到精致则简单得多。现代化工厂的提花设备能够最大程度地还原图案的形式，同时丰富的纱线组合方式还能实现更多质感的变化。不同方向的缎面织法，能让面料在受光处与背光处呈现不同的光泽与层次感。铺贴于墙面，壁布随着光照的变化而变化，为室内空间增添丰富的细节（图12—14）。

图12 最终问世的六边形千鸟格壁布产品配色

图13 壁布产品实拍

图14 不同色彩的千鸟格壁布产品在空间中的运用实景

（二）六边形千鸟格与竹编工艺的结合

梭织布料经纬交织的本质决定了六边形千鸟格最终只能在正方形网格中实现转化，而竹编、藤编工艺则不受经纬线的限制。有三根竹、藤条穿插为基础的六边形编织，是传统竹、藤编工艺的经典样式。笔者对在竹、藤编工艺中加入六边形千鸟格的可能性也作了尝试。

传统的六边形竹藤编织产生的基础纹理为三角孔、六角纹与龟背纹[9]，在《铺砌与图案》一书中，也分析了这几种编织纹理形成的几何密铺。从图15的结构模拟可看出：

图15-①的三角孔结构为规则的正三角形网格，通过控制竹篾的穿插与叠压，利用摩擦力形成稳定的织片，但由于竹篾之间的距离比较松散，接触面积小且数量少，三角孔结构的竹编在几种编织技法中强度较低，在实际使用中，人们有时会在织片的孔洞中再穿插一些竹片以增加密度、增强牢固性。

图15-②的六角孔结构中，竹篾相交形成的负形是清晰且整齐的正六边形。由于六角孔结构的竹篾之间接触面的数量比三角孔结构增加了许多，所以前者的强度比后者更为优秀。假如将交织的竹篾看成一个整体来研究六角孔之间的数值关系，可见竹篾形成的正形，实际上是与负形相同的正六边形。

图15-③为龟背纹结构，竹篾与竹篾之间几乎没有缝隙，因而这种编织方式与前二者相比，是最牢固的。龟背纹结构由正六边形密铺而成，在每一个正六边形都由三个相同的正菱形组成。

图15 几种六边形结构的竹、藤编工艺[9]与它们对应的密铺结构[1]

经过对三种传统竹编技法的几何分析与对比，在六角孔结构与龟背纹结构中，因为最小的结构单元并非正三角形，故缺乏形成六边形千鸟格的条件；只有三角孔结构，因此自然形成了规则的三角形孔洞，能够在织片上以穿插、填充的方式构造六边形千鸟格。作者在电脑上对潜在的解决方案进行图像模拟，得到的结果如下：

（1）用较细的铁丝或藤条连结成为正三角形网格的骨架（具体连结方式可以是交叉之后用细线或胶固定）（图16-①）；

（2）用麦秸或蒲草在骨架上缠绕出六边形千鸟格图案，缠绕过后，网格表面会自然形成镂空（图16-②）；

（3）取与麦秸、蒲草色彩不同的竹篾，从步骤2形成的负形中穿过，（图16-③）。竹篾强度较大，穿插于网格中亦可增强编织品的性能；

（4）由草编与竹篾形成了六边形千鸟格正负形的效果（图16-④）。

图16 六边形千鸟格竹编技法的模拟

总结

六边形千鸟格的设计，围绕着提取-解构-概括-重构-应用-创新这一设计逻辑展开，从一种服从于功能的形式入手，创造出新的独立于功能之上的形式，最后再开发出这种形式的使用功能。网格结构理论作为一种理性分析的设计方法，在六边形千鸟格的研发过程起到了重要作用，它能够让图形的演变在一个合乎逻辑的框架中展开，也能够让平面中得到的成果更好地在实际运用中铺展开。图案只是一个起点，而产品研发设计是一片广阔的海洋，六边形千鸟格图案未来还会以更多的形式出现在产品之中。