探寻“大概念”，重塑数学教学新样态

湖北武汉市光谷第六小学（430074）胡小铁

谈及概念，相信每一位小学数学教师都不陌生，因为概念是数学知识体系最基本的组成部分，也是日常教学中教师最为重视的知识点之一。可以说基于概念的教学是数学知识体系建立的重要基础。在小学数学教学中必须加强概念的教学，只有这样才能帮助学生夯实数学学习的基础，虽然说这是大家所公认的常识，但在具体实施过程中，概念教学又常常容易被教师所忽视，这里固然有应试原因，同时也有教师的意识原因。多数教师都知道概念是数学知识中最基本的环节，在练习的时候不可能直接考察某一个数学概念，因此在教学的时候就会对概念的教学有一些淡化。除此之外还有一个原因，那就是小学数学知识概念繁多，如果在每一个概念的教学上都花费大量的精力，那么就会挤占数学知识运用的时间与空间。

面对这样的矛盾，能否找到一个行之有效的方法，让数学概念的教学体现出其应有的地位呢？这里可以借鉴一个简单的思路，那就是抓大放小，即在数学知识体系当中将关键的概念挑选出来，对其进行精耕细作，丰富这些概念的教学过程，让这些概念在学生理解整个数学知识体系的过程中发挥提纲挈领的作用。这一思路在近年来的小学数学教学研究中已经有所体现，也就是所谓的“大概念”教学。

近年来，以“大概念”为核心的教学引起了人们的普遍关注。“大概念”与日常教学中提及的数学概念既有联系又有区别。站在教师教学的角度来看，“大概念”又称为“大观念”“核心概念”“核心观念”等。从定义的角度来看，所谓“大概念”，是指能反映学科本质、结构、功能的中心概念。站在学生学习的角度来看，“大概念”与数学概念有着密切的关系，通俗地讲，“大概念”就是能够让诸多数学概念形成有机联系，在学生学习的过程中起到牵一发而动全身的概念。一般来说，“大概念”具有较强的适用性、广泛的迁移性以及强大的解释力等。

在小学数学教学中，教师要善于探寻“大概念”，提取“大概念”，应用“大概念”。其中，探寻“大概念”是“大概念”教学的前提，提取“大概念”是“大概念”发挥作用的关键，应用“大概念”是“大概念”显示作用的终极目标。教师充分发挥“大概念”的功能、作用，可引导学生应用“大概念”建构数学新知、关联知识结构、突破知识重难点等，让“大概念”教学重塑数学教学的新样态。

一、应用“大概念”建构新知

借助于“大概念”实施教学，不仅仅是为了让学生建立起一个概念体系，更是让学生在“大概念”的指引下认识数学概念及其联系的过程，体验数学学科魅力，掌握数学学习方法。站在整个数学知识体系的角度看“大概念”，可以发现“大概念”是撬动学生自主学习、智能学习的一个重要支点。数学教学有一个基本追求，那就是让学生获得一个有意义的学习体验，这个体验应当围绕“大概念”来进行。“大概念”是数学学科知识的关键点，把握了“大概念”教学，也就把握了数学知识的整体结构。学生借助于“大概念”，往往能在数学学习中举一反三、触类旁通。在数学教学中，教师要充分发掘“大概念”的功能，积极地迁移“大概念”，以有效启发学生建构新知。

当下，数学教学碎片化、零散化的弊端比较突出，解决这些问题并非依靠延长学生的学习时间，而是要围绕“大概念”展开数学教学，即以“大概念”为核心，促进学生自主建构新知。很多数学知识有着类似的结构，“大概念”往往位于结构的中心，对结构的形成、发展发挥着至关重要的作用。

例如，教学“圆柱的体积”（人教版六年级下册）时，教师可以将传统的探究式教学改为验证式教学，借助学生通过“长方体的体积”“正方体的体积”等相关内容的学习所形成的“大概念”——“底面积×高”，引导学生积极猜想：圆柱的体积可以怎样计算？在学生根据“底面积×高”猜想的基础上，引导学生展开验证。在这个过程中，学生应用图形面积转化的方法，将圆柱沿高切开分成若干等份，再把切开的等份分成相等的两部分拼成近似的长方体，进而推导出圆柱的体积（如图1）。这个过程充分发挥了学生数学学习的主动性、能动性，让学生积极主动地建构数学新知。

图1

学生的数学学习一般来说有两个过程，即“学数学”和“用数学”。“大概念”是学生数学学习的锚点。借助于“大概念”，不仅能引导学生建构数学新知，而且能不断充实、完善其认知结构。在数学教学中，教师要充分利用“大概念”促进学生数学学习的迁移、转化，让学生的认知结构不断自我更新迭代。

二、应用“大概念”组织复习

由于“大概念”位于“知识块”“知识群”的中心，教师在教学中不仅可以应用“大概念”建构数学新知，还可以应用“大概念”组织复习，将相关的知识串接或者并联起来。复习数学知识，不是简单地、机械地将相关知识拼接、拼凑在一起，而是要以“大概念”为核心，将相关知识整合起来，形成“1+1＞2”的复习效果。

在复习的过程中，教师首先要研究所复习内容的“大概念”是什么，再提取“大概念”。一般来说，“大概念”的提取方式主要有“溯源式提取”“关联式提取”“融合式提取”“挂靠式提取”“贯通式提取”等。以“关联式提取”方式为例，在复习“数的运算”（人教版六年级下册）时，教师可将学生已经学习的“整数加减法”“小数加减法”“分数加减法”等相关内容引入其中，引导学生将其与“异分母分数加减法”法则进行比较。在这个过程中，用“大概念”——“计数单位”来进行知识的梳理，能让学生深刻认识到：只有计数单位相同才能直接相加减。借助于“大概念”，学生在梳理、复习数的运算相关知识时，能深刻认识“整数加减法”“小数加减法”“分数加减法”“异分母分数加减法”法则背后的算理。可见，“大概念”是关联数学知识的重要联结点。在复习中，用“大概念”组织、勾连相关数学知识，能让零散、碎片化的数学知识得到有效的集结、规约，从而让相关知识形成有机的结构，如并列关系结构、种属关系结构、交叉关系结构等。

“大概念”是结构化教学研究的重要组织表征与表达。在数学复习中，教师借助于“大概念”，能引导学生在已有知识的基础上建构包摄性更强、更广、更大的知识结构。正如教育心理学家皮亚杰所说，一切的知识都是按照结构的建构来展开的，这种结构的建构是完全开放性的……通过不断对结构的建构，形成更强的结构，或者说是用更强的结构来予以结构化。在教学中要充分体现出建构的作用与意义，也就意味着要尊重学生的主体地位。而要让学生真正成为建构的主体，要保证学生的主体地位，就一定依赖于具体的学习过程。当数学教学以”大概念“为导向的时候，学生就可以以“大概念”为基础，建构起各数学概念之间的有机联系，从而让数学概念变得整体化，具有关联性。从学习心理学的角度来看，因为有了这一关联，所以不同的数学概念可以形成一个大的知识组织，从而促进学生有效记忆，扩大学生的记忆容量。这对学生的学习来说，不仅意味着知识体系的有效建立，同时也意味着复习效率的提高。

三、应用“大概念”启迪创新

教育学家布鲁纳认为，学科“大概念”应当能将学科内容精简为一组命题，也就是学科的基本骨架。在小学数学教学中，应用“大概念”不仅能引导学生建构新知以及进行数学复习，而且能引导学生进行创新。只有通过创新，才能彰显“大概念”的活力、功能。“大概念”不是数学概念的木乃伊，而是学生进行知识创新的源头活水、不竭动力。用“大概念”启迪学生创新思维，能深化学生对数学知识的认知、理解。

例如，在教学“多边形的面积”（人教版五年级上册）这一单元之后，教师可以借助多媒体课件，引导学生回顾、梳理知识，让学生认识到各图形面积推导的始末，认识到图形的面积是如何应用在生活中的。在复习的过程中，学生认识到，长方形的面积公式属于“基础型公式”，其他的图形面积公式属于“导出型公式”，进而把握了图形面积发展的脉络。在此基础上，当教师首先呈现“大概念”——梯形的面积公式，再借助多媒体课件引导学生动态想象时，学生提出各种看法，如两个相同的梯形可以拼成一个平行四边形，则平行四边形的底等于梯形的上、下底之和；两个相同的直角梯形可以拼成长方形或正方形，则长方形的长或正方形的边长等于梯形的上、下底之和；当梯形的上底缩成一个点时，就变成了三角形，则三角形的底等于梯形的上、下底之和。可见，借助于“大概念”，能让学生对已有知识形成一种创新性的理解，从而让静态图形的面积动态化，让离散的数学知识集约化。

又如，当学生拥有了这样的“大概念”后，在后续学习“圆的面积”这部分知识时，就有学生进行了大胆的、创新的猜想：“圆的面积是否也能看成梯形的面积来计算呢？”据此，该名学生进行化曲为直的动态想象：先将圆沿直径为成若干等份，再将其拼成一个近似的梯形。教师则应用多媒体课件动态演示：将圆沿直径分成20等份，上下拼接成一个近似的梯形（如图2），梯形的“上底+下底”就是圆周长的一半。在多媒体课件的动态展示中，全体学生的思维、想象都被调动起来，他们积极地应用“梯形的面积”进行计算，发现与直接应用圆的面积公式计算的结果相近，进而有力地证明了该名学生的这一大胆猜想的合理性。至此，学生将圆这一曲面图形与多边形的面积计算公式整合起来，有效巩固了这个“大概念”。

图2

综上所述，在小学数学教学中，必须高度重视“大概念”的作用，作为小学数学教师，要能够在教学的过程当中有效地提取“大概念”，要为“大概念”的教学设计一个良好的情境，让学生在情境当中拥有一个完整的体验。考虑到当前数学教学的一个重要目的是发展学生的数学学科核心素养，而利用“大概念”教学，正好为学生的数学抽象与数学建模创设一个良好的情境，让学生在这样的情境中经历从一个“大概念”走向一组数学概念的过程，进而发展逻辑推理，形成数学建模（广义的数学建模，包括数学概念的建立）。因此，“大概念”教学对于数学学科核心素养的培养来说，也是有着重要意义的，基于这一点，还需要每一位小学数学教师在实践的过程当中进一步探索与总结。