基于BOPPPS教学模式下“线性代数”课程教学方法创新研究与实践

于蓉蓉 惠小健 章培军 刘小刚 尚云艳

西京学院理学院 陕西西安 710123

1 “线性代数”的课程教学现状

“线性代数”作为理工与经管类学生必修的一门公共基础课，它具有较强理论性、抽象性、逻辑性。

这门课程的学习对于培养学生的运算能力、抽象思维能力、空间构建能力、逻辑推理能力等多方面有很大学习意义。线性代数涵盖会计学、市场营销、计算机、机械制造、智能制造、土木工程等专业。随着新课改对高校教育的影响，线性代数与各个学科专业的紧密结合改革理念备受关注。近年来，陈向勇等[1]从教学内容、教学目标、教学策略、教学方法等多角度研究出发，对不同专业学习的“线性代数”课程教学内容进行对比分析，提出了不同专业人才培养的教学改革措施。王芳[2]通过精心地设计教学案例，研究“线性代数”课堂教学与专业相结合的教学模式，积极探索创新的教学内容。

西京学院在电子信息工程、物联网工程、数据科学、土木工程、工程造价、机械制造、智能制造、电气、应用化学、会计、审计、电子商务、市场营销等专业设置了“线性代数”课程。从以上专业的学生所用的教材内容来进行教学现状分析(表1)。

表1 理工经管类专业教学授课情况比较

从表1中可以看出，“线性代数”课程在理工与经管类专业存在教学内容与授课班级较多的情况下，在有限的学时内课程的学时量很少，所以“线性代数”作为专业基础课程只能侧重于基础数学概念的理解、基本计算方法的掌握，在应用理论与实际结合的能力方面还是需要一些实践环节的设计。在课堂上存在计算量大、抽象强的知识，对于学生的空间想象与抽象思维能力方面有很大挑战。本文分析了线性代数教学现状过程中存在的问题，提出应用BOPPPS教学模式去探索教学理念过程中，能够将目前的教学问题加以解决，提升教与学的效果，不断更新教学方法。在改革中对教学模式进行创新，注重培养学生主动参与到课堂学习的能力，构建高效的课堂内容设计。

2 基于雨课堂和学堂云的BOPPPS的课堂教学模式

2020年至今，国家高度重视教师课堂教学，从多个方面构建教学平台，丰富教学资源，鼓励一线教师主动对课程教学进行改革创新，积极探索新的教学模式应用到课堂教学，从而提升教学成果[3]。在开展教学改革的过程中，数学知识的实践环节需要教师借助于现代化的教学方式，应用新的教学模式来提升学生自主探究能力、思考问题能力和创新能力。

2.1 BOPPPS教学模型介绍

加拿大式教育教学模型主要特征是导学互动，导向以课程教学目标为引领、以学生为教学主体地位的一种闭环教学模型[4]。这种模式包含教学过程六项要素，并强调构成教学的六个环节的合理应用，用开头字母缩写代称为BOPPPS，按顺序结构分为六个环节，依次为导入(Bridge-in)、目标(Objective)、前测(Pre-assessment)、参与式学习(Participatory-learning)、后测(Post-assessment)、总结(Summary)。王之元等[5]根据Bridge-in、Objective、Pre-assessment、Participatory-learning、Post-assessment、Summary教学过程设计模型，从学生认知规律入手，提高学生参与课堂测验、课堂讨论的积极性，使学生能够深刻领会和掌握所学知识。

2.2 雨课堂与学堂云相结合下的BOPPPS教学模型应用

随着各种网络教学平台在课程教学中的应用，刘美泽等人[6]提出雨课堂+腾讯会议+QQ班级群的混合式教学模式，构建实时互动教学环境来优化教学质量。应用现代化教学工具雨课堂，能将课前、课中和课后各个环节联系在一起，为学生建立起课堂教学内容与课外知识的桥梁。在课前进行学习资料发布、课堂测评、学情分析统计、学习过程指导、学习过程评价、作业信息发布公告；课堂中利用雨课堂和学员互动，通过实时发布弹幕、留言，课中设置填空题、选择题、主观题，以投影的方式将授课内容直观地呈现给学生；在课后利用学堂云的讨论图文模块留言答疑，课堂实录和重难点视频分享，发布课后讨论题、章节测试、班级管理、课堂内容设计、学习成绩的汇总分析、教学反馈等。最重要的是在学堂云平台能将教师与学生所实施的教或学的活动都完整地储存在平台上，为整个教学过程提供完整的教学数据，将整个数据过程数据化、可视化，有利于教师为教学评价建立指标体系，改进自身教学质量，提供参考数据。表2中给出BOPPPS模型应用下的现代化智慧工具的实施方案。

表2 雨课堂与学堂云下的BOPPPS模型实施策略

3 BOPPPS教学模式下“线性代数”课堂教学方法改革理念

“线性代数”课程课时比较短，一般设置为32学时或48学时，但是每个章节中概念、性质以及定理比较多，公式也比较复杂，具有高度的规范性和概括性，数字符号的使用也有严格的规范性。现在的教学方式和教学内容受课时限制，往往对概念、原理和模型的实际意义讲的甚少。首先，弄清楚线性代数的知识结构，从知识的布局去合理引用教学方法，应用BOPPPS模型的六个环节，从而有效地促进师生、生生之间的互动交流，为课程教学持续改进提供数据参考。

线性代数的知识体系主要从以下几个环节构建：

(1)导入：设置问题进行启发式教学，引入每节课程的教学主题。比如在讲解矩阵概念时提到日常交通工具乘坐的航班路线，通过把航班路线关系用数字表示出来更直观，进而引入多个航班图以数表的形式展示给大家，为引入矩阵定义打下基础；讲解行列式、初等变换的概念时需要引入线性方程组的求解过程，从熟悉的高斯消元法来激发学生学习的兴趣。通过雨课堂导入实际问题的案例，与学生实际的生活或学习场景相结合，可以提高学生学习线性代数的积极性。

(2)学习目标：每节课的重难点、学习内容梳理出和后续章节的关联，给学生建立知识结构的思维导图，让学生形成自我评价体系的学习目标，对知识进行内化处理。比如讲解初等变化与线性方程组这一章节时，注意先讲解初等变换为线性方程组求解过程打基础，矩阵的秩的讲解是为解的判定做铺垫，后续理解线性方程组的无穷多解时需要学习向量组的线性相关性等内容。

(3)预评估(前测)：每个章节以学堂云发布测试为主，对学生的知识掌握进行测试，形成学生对知识的掌握和理解情况的反馈机制，及时更新教学目标。比如在进行行列式定义的讲解时，在雨课堂发布主观题有关二元线性方程组或三元线性方程组的求解计算问题，检测学生对知识的回顾和掌握程度，强调学生高斯消元步骤。

(4)参与式学习：按学生在雨课堂所回答主观题、客观题、填空题等数据，以及分层次提问所进行的小组讨论，让学生锻炼思考、协作能力并进行理解知识的固化。比如在讲解完初等变换初等矩阵的知识后，学生接触了高阶方阵的逆矩阵的求解新方法——也就是用初等变换去做，雨课堂发布三阶方阵逆矩阵的计算后观察学生的掌握程度，让学生展示四阶方阵的逆矩阵的求法。

(5)后测：针对课堂上重难点和易错知识点，在学堂云平台设置作业练习，进一步强化重难点知识，进一步调整教学目标。比如在学堂云第二章进行线性方程组的求解过程，需要学生完成本章25道题目的内容，有关求解过程的规范性(包含初等变换、解的判定、求解过程、解与解之间的关系等)。

(6)总结：根据学堂云的数据，掌握学生的学习反馈，总结教学内容，并引出下一次课程的内容，注意前后知识的衔接。比如在向量组的线性相关性与向量秩的学习数据收集后，让学生理解极大无关向量组、矩阵与向量组的关系后引出线性方程组解的判定与结构，进一步让学生掌握线性方程组出现无穷多解的情况。

在应用这六个环节过程中，通过强化线性代数的理论概念时，具体实施教学过程中综合应用多种方法。

首先，比如在开展反对称矩阵、单位矩阵、对角矩阵、正交矩阵以及相似矩阵等概念的教学时，通过对比式对矩阵的差异和相似性进行归类分析，从而形成深刻理解和认识。其次，线性代数中存在比较多的抽象概念和计算性质，比如，在线性方程组这章，重视知识结构的搭建以及解结构的判定条件，让学生从本质上理解极大无关组的概念，梳理前后章节的逻辑关系。最后，在六个环节的后测环节中学堂云平台增加了MAPLE程序的实践操作环节，运用以矩阵为工具的程序语言，对线性代数中出现的方阵的行列式、逆矩阵、线性方程组等很多的烦琐计算过程，在MAPLE程序中只需要简单的命令就可以得出结果。例如MAPLE命令窗口输入det(A)、inverse(A)、genmatrix(eq，[x1，x2，x3]，‘flag’)等分别可以求出矩阵A的行列式、逆矩阵、增广矩阵。应用学堂云平台可以增加实践环节，把数学软件作为辅助工具引入线性代数的教学中，不仅提升学生的学习兴趣，还能培养学生运用计算机去解决烦琐的数学计算问题，从而培养学生的动手能力。

4 总结

在数学问题设置的过程中，融合线性代数、高等数学等多个方面的知识点，让平时在数学竞赛中获得优良名次的学生，可以多学些内容。通过这种模式的设置，筛选出有潜力的学生去参加全国的比赛，引导学生去形成好的探究式的学习能力，为进一步深造学习做好铺垫。在教学任务完成后，进行下一次教学时，需要注意不同专业、不同班级的教学差异性，应当根据具体章节的教学目标和重难点内容，应用好BOPPPS模型的六个组成环节，针对教学内容进行灵活的配置使用，解决教学效果差、课堂活动僵化的局面。教学过程中，教师可以根据环节合并，采用线上线下相结合的形式，丰富教学相长的发展空间，依助于现代化的工具可以更好地做好教学反馈，进一步做好教学评价，改进教学效果。