兰树伟, 周东华, 陈 旭, 王春华
(1. 昆明学院 建筑工程学院,昆明 650214; 2. 昆明理工大学 建筑工程学院,昆明 650500)
目前计算有侧移钢框架整体稳定性主要采用计算长度系数法[1-3],该法利用GB 50017—2017《钢结构设计标准》[4](简称规范)提供的计算长度系数表格求得框架柱计算长度系数,逐根构件校核计算结构的临界承载力,而多层钢框架通常构件数量很多,构件参数变化多,实际应用多有不便;而且该法是在理想化假定下进行求解,未能计入同层柱的柱间支援以及层与层的支援作用,对于得到支援的框架柱计算偏于保守,对于提供支援的框架柱计算又偏于不安全。文献[5]研究了框架层与层之间的支援作用,从顶层和底层开始,分别往上和往下计算到薄弱层,把各层富裕的潜力收集到薄弱层的两端,从而确定出薄弱层的框架柱计算长度系数,该法计算过程繁杂。文献[6-8]将框架柱逐根逐层进行刚度组装,利用有限元回归拟合公式对多层有侧移框架整体稳定进行计算。文献[9]将各杆件刚度组装成一个超越方程,提出了一种确定多层框架整体稳定的算法,该法求解需借助计算机软件迭代计算。文献[10]以计算长度系数法为基础,建立了结构整体刚度矩阵,借助于计算机软件求解非规则框架临界力。本文通过分析轴向载荷和框架柱抗侧刚度之间的关系通过结构转换的办法建立了框架结构的平衡方程,采用框架楼层重复单元求解框架整体抗侧刚度,避免了逐根求解的不便,并基于轴力权重计算有侧移钢框架整体稳定承载力,无需迭代求解复杂的超越特征方程,也无需进行有限元公式回归计算。下面就基于轴力权重的有侧移钢框架整体稳定临界承载力的解析近似计算公式推导进行介绍。
单层单跨框架(原结构),如图1(a)所示,精确求解其结构稳定承载力需要迭代求解超越方程,能量法近似计算稳定承载力需要建立总势能方程,求解不便,特别是对于杆件较多的多层多跨框架结构,平衡法所得稳定超越方程更为复杂,能量法建立的总势能方程也将更为冗长,求解将更为困难,因此,有必要寻找便于求解的方法。摇摆柱自身无法保持稳定,只有依附在稳定结构上方可承载,利用摇摆柱这种受力特点建立单层框架的扩展结构,如图1(b)所示。扩展结构荷载仅作用在摇摆柱上而原结构框架上无荷载,其临界状态方程为代数方程,求解极为方便。若能利用扩展结构求解原结构的临界承载力,那么将使得框架整体稳定承载力的复杂二阶计算转化为简单的代数方程求解。
图1 单层单跨框架及弹簧-摇摆柱模型Fig.1 Single-layer frame and spring-swing column model
(1)
式(1)物理意义为外荷载对弹簧刚度的削弱程度,当处于临界平衡时弹簧刚度被削弱至零,即有侧移框架失稳时,外荷载将框架抗侧刚度削弱为零。
扩展结构中摇摆柱自身无法保持稳定,靠所依附的原结构提供刚度支持方可维持自身稳定以承载,因此摇摆柱无法提供刚度,故扩展结构与原结构具有相同的抗侧刚度,将扩展结构临界力进行如下变换
(2)
将式(1)和式(2)联立可得如下临界平衡方程
(3)
式中,P/h与K0量纲相同,称为荷载刚度,用KP表示,因此,式(3)可视为临界平衡方程用结构抗侧刚度和荷载刚度的表达形式,实现了利用扩展结构求解原结构的临界承载力的目的,只需要确定临界刚度比系数α,就可以将临界承载力计算复杂二阶问题转化为计算结构的一阶抗侧刚度。
若将弹簧-摇摆柱模型中弹簧替换为如图2所示的有侧移钢框架,由式(3)可以看出,当确定了框架的抗侧刚度K0和临界刚度比系数α后,可通过扩展结构确定有侧移钢框架(原结构)整体稳定的临界承载力。
图2 多层钢框架计算简图Fig.2 Multi-layer steel frame calculation diagram
图2(a)所示的多层钢框架,假定第i层层间相对位移δi,层抗侧刚度为ki,为求解钢框架整体抗侧刚度,如图2(b)所示将每层抗侧刚度视为一个弹簧,钢框架整体抗侧刚度可视为每个弹簧的串联,因此,框架各层整体抗侧刚度Ki与层抗侧刚度之间的关系式为
(4)
式中:Ki为i层框架整体抗侧刚度(1≤i≤n);k1,k2,…,ki为各层的抗侧刚度。
图3 楼层重复单元的梁柱变形和边界条件Fig.3 Deformation and boundary conditions of story repeating element
图4 1/2对称楼层重复单元弯矩图Fig.4 Bending moment of 1/2 symmetry story repeating element
用图乘法可求得楼层重复单元层间相对位移δ
(5)
由图3楼层重复单元梁柱变形图,可以看出荷载作用下产生的层间相对位移,使得框架柱变形后弦线与铅垂线之间产生夹角γ,由该变形后的几何关系可求得
(6)
(7)
对于框架底层由于下部为固定端约束,即梁刚度无穷大,假定柱反弯点在层高2/3[11],按照前述图乘法计算得到底层抗侧刚度近似计算公式为
(8)
将式(7)和式(8)所求得的各楼层抗侧刚度进行刚度串联,即代入式(4)可得出i层框架整体抗侧刚度计算公式
(9)
式中:mi为第i层框架柱总根数;若同一楼层重复单元梁、柱截面惯性矩不相等且梁柱线刚度比0.3≤hIb/(lIc)≤5,可以取梁、柱的平均惯性矩;如果梁跨距不相等且相邻跨差不大于3时,可取平均跨距。
利用分离柱法[12-13]将分析的局部柱(如图2(a)填充示意框架柱)从整体框架结构中分离出来,框架结构的每根分离柱的柱端约束都可采用两个转动弹簧来模拟,其转动刚度分别为c1和c2,如图5(a)所示。定义R1=c1/6ic,R2=c2/6ic,ic为分离柱的线刚度。图5(a)所示分离柱的稳定平衡方程为
(36R1R2-ε2)sinε+6(R1+R2)εcosε=0
(10)
由于分离柱的稳定平衡方程仍属于多变量超越方程,直接解析求解较为困难,因此考虑采用结构转换的方法进行求解,即用两弹簧分离柱替换弹簧-摇摆柱模型中的弹簧,建立分离柱的扩展结构如图5(b)所示。由式(3)可求得任意单根分离柱的临界方程
(11)
式中:αij为第i层(1≤i≤n)第j根(1≤j≤m)柱临界刚度比系数;Nij为第i层第根柱轴力。
图5 分离柱计算简图Fig.5 Calculation diagram of separation column
∑FX=0,fAX=0; ∑FY=0,fAy=-T
(12)
将分离柱从任意截面m-n截开,取下段为研究对象,对m-n截面弯矩平衡得
fAxy-fAyx-Mmn-c2y′0=0
(13)
式中,Mmn=-EIy″。
(14)
分离柱的杆端存在边界条件:x=0,y=0;x=h,EIy″+c1y′=0,y=δ。据此边界条件可算得通解方程中的常数进而求得分离柱的扩展结构临界力
(15)
式中,R1和R2分别为柱上、下端横梁线刚度之和与柱线刚度之比。
由式(10)可求得分离柱的临界承载力为
(16)
由式(15)和式(16)求得钢框架任意分离柱临界刚度比系数
(17)
按照钢框架整体抗侧刚度的求法,可将钢框架整体荷载刚度表示为
(18)
式中:KPi为i层钢框架的整体荷载刚度(1≤i≤n);kP1,kP2,…,kPi为各层的荷载刚度,按式(19)计算
(19)
式中,λi为第i层临界因子。假定各柱的轴力均按比例加载,选取最小轴压力Nmin作为公因子来计算,即:Nij=ξijNmin,其中ξij为比例系数。
将式(19)代入式(18)得各层整体荷载刚度
(20)
(21)
由式(21)可求出有侧移钢框架临界承载力,所求各层的临界因子λi相等,即各层同时发生失稳而未发生相互支援作用,这种情况在实际工程中很少出现。若不考虑层与层的支援作用而直接按此计算有侧移钢框架临界承载力,往往存在较大偏差,可能会造成不合理的设计。
由于结构刚度属于结构的固有特性,结构体系确定则其结构刚度随之确定。柱上不同的荷载布置引起的只是不同的刚度激活程度,而这种激活程度的大小主要体现在轴力权重比例的变化。
如图6所示单跨双层钢框架,当荷载N仅作用在上层柱顶部时,此时轴力图见图6(a),轴力满布于柱全高,此时结构刚度完全被激活,即荷载刚度KP/Ki=1,无富裕刚度;当柱中及柱顶分别作用集中荷载P1和P2,逐步变化上下层柱墩作用荷载P1和P2(存在P1+P2=N),上下层柱轴力分布图为图6(b)~图6(g),有效刚度会随上柱的轴力权重变化而变化,上层柱满载(见图6(a)),上半段的全部刚度激活;上层柱空载(见图6(g)),上层柱的全部刚度未被激活,上层柱的侧移完全来自于下层柱所引起的刚体移动;介于两者之间(见图6(b)~图6(f))则部分激活,上层柱的侧移部分来自于下层柱所引起的刚体移动,上层柱的刚度未完全激活。
为展示轴力权重比例变化与结构临界力之间的关系,图6所示钢框架假定横梁线刚度无穷大,分别采用规范计算长度系数法,有限元法与本文式(21)计算方法求得不同情况下结构临界力,计算结果列入表1。临界力用无量纲形式表达,即:PE=π2EI/h2。
图6 单跨双层钢框架轴力图Fig.6 Axial force of single-span double-layer steel frame
表1 不同荷载分布柱临界承载力对比分析Tab.1 Comparison of critical bearing capacity of columns with different load distributions
由表1可以看出:有限元ANSYS所求得各种荷载分布下双层钢框架一层临界力相等,主要是横梁刚度太大阻碍了二层对一层发生支援,一层未获得二次的刚度支援;计算长度系数法求得二层临界力与一层临界力相等,因为该算法随着梁柱线刚度比确定而确定,未考虑荷载分布对刚度的影响,而轴力上下柱不同分布又引起不同的刚度激活,这种情况该方法不能考虑;式(21)将钢框架层临界力集合起来进行层间分配求得,但也未考虑结构刚度的激活程度,刚度较小楼层会获得有富裕刚度楼层提供的刚度支援,临界力会有所提高,各楼层最终同时失稳,而激活程度的大小主要体现在轴力权重比例的变化,因此,考虑将层临界因子λi按照轴力权重进行修正以考虑结构刚度的激活程度。
通过前述分析结构刚度的激活程度,为了考虑这种由刚度激活程度不同引起的层与层之间的支援作用,对式(21)所求出的层临界因子λi按照层轴力加权平均的方法求出结构整体临界因子λ,得到按照轴力权重修正的有侧移钢框架临界承载力和计算长度系数计算公式
(22a)
(22b)
(Nij)cr=ξij(λNmin)
(22c)
(22d)
式中:N1,N2,…,Nn为各层轴力之和;λ1,λ2,…,λn为钢框架各层的临界因子,由式(22a)求得;λ为钢框架的整体临界因子,由式(22b)求得;(Nij)cr为第i层第j根柱临界力;μij和EIij分别为第i层第j柱的截面抗弯刚度和计算长度系数。
式(22a)所求得钢框架层临界因子的最小值所在楼层为薄弱层,对于层临界因子小于结构整体临界因子的楼层,表示这些楼层刚度耗尽,需要获得刚度富裕楼层提供的刚度支援,得到支援的楼层临界承载力有所提高,最终达到结构整体稳定临界承载力而共同失稳;对于层临界因子大于结构整体临界因子的楼层,表示这些楼层存在刚度富裕,能够为侧向刚度较小楼层提供刚度支援,提供刚度支援的楼层临界力有所降低,最终框架各楼层共同失稳。从层临界因子与结构整体临界因子的相对大小及比例关系可以定量地分析钢框架结构层与层之间的支援作用。
选取两个算例用有限元ANSYS进行弹性屈曲分析,以便对本文方法和规范法的计算结果进行比较,ANSYS求解时梁柱均采用BEAM188单元,节点均为刚接。
单跨双层钢框架如图7所示,用本文方法求解其临界承载力以及计算长度系数。
图7 单跨双层钢框架及轴力、临界刚度比系数Fig.7 Single-span two-story frame and axial force, the critical stiffness ratio coefficient of steel frame columns
由式(7)和式(8)求得钢框架层抗侧刚度
由式(9)求得钢框架层整体抗侧刚度
由式(17)可以求得双层钢框架上、下层柱的临界刚度比系数分别为α1=1.155, α2=1.095;代入式(19)可求得钢框架层荷载刚度分别为
由式(20)求得钢框架层整体荷载刚度分别为
由式(22a)可求得钢框架各层层临界因子
λ1=0.158,λ2=0.271
表2 框架柱临界承载力及计算长度系数对比Tab.2 Comparison of critical bearing capacity and calculated length factor of columns
从表2可以看出,本文方法框架柱临界承载力计算结果与ANSYS计算精确解的比值为0.990,计算长度系数之比为1.005,吻合程度好,误差很小,而规范计算长度系数法计算结果偏差很大,如:二层柱临界承载力比ANSYS大了194%,计算长度比ANSYS小了42%,严重高估了该柱临界承载力,存在安全隐患,这是由于计算长度系数法无法考虑同层柱的柱间支援以及层与层的支援作用,也证明了本文方法能很好地考虑这两种支援作用。
三跨六层钢框架,如图8所示,用本文方法求解结构临界承载力以及图中填充框架柱的计算长度系数。
图8 三跨六层钢框架及轴力、临界刚度比系数Fig.8 Three-span six-story steel frame and axial force, the critical stiffness ratio coefficient of frame columns
本文方法求解,具体步骤如下:
步骤1由式(7)和式(8)可求得钢框架各层抗侧刚度ki,根据式(9)求得钢框架整体抗侧刚度Ki。
步骤2由式(19)可求得各层荷载刚度kPi,由式(20)可求得各层整体荷载刚度KPi。
步骤3由式(22)计算整体结构临界因子λ,随之确定框架柱临界承载力Ncr和柱计算长度系数,相关计算列入表3。
由表3可知:规范计算长度系数法求得框架柱临界承载力和计算长度系数与有限元ANSYS计算结果相比偏差大,如二层柱临界承载力比ANSYS计算结果小了22%,计算长度比ANSYS大了13%;对于四层柱临界承载力比ANSYS计算结果大了185%,计算长度比ANSYS小了41%;这主要是由于传统计算长度系数法无法考虑同层柱的柱间支援以及层与层的支援作用,使得得到支援的框架柱临界力计算偏于保守,对于提供支援的框架柱临界力计算又偏于不安全,若采用计算长度系数法可能会造成不合理的设计。本文计算框架柱临界承载力与有限元计算结果之比约为1.053,计算长度系数之比约为0.975,吻合程度好,表明充分考虑了两种支援作用。
表3 框架柱临界承载力及计算长度系数的计算过程与对比结果Tab.3 Calculation process and compare results of critical bearing capacity and calculated length factor of columns
由表3还可知:框架层临界因子的最小值所在楼层为第二层,表明该层为结构薄弱层,该层临界因子为0.050,整体结构临界因子λ=0.060,该层从刚度富裕楼层获得支援,提高了该层结构临界承载力,提高比例为20%;该结构一层~三层层临界因子均小于结构整体临界因子,表明该三层结构无刚度富裕,需要刚度较大楼层提供刚度支援,临界承载力提升比例分别为15%,20%和11%;四层~六层层临界因子大于结构整体临界因子,表明该三层结构有刚度富裕,可为刚度较小楼层提供支援,临界承载力有所降低,其中六层刚度富裕程度最高,但由于该层轴力小,刚度的激活程度低,对薄弱层的支援有限。
(1) 用弹簧摇摆柱模型揭示了有侧移钢框架整体稳定的实质,利用解析的方法推导了有侧移钢框架整体稳定临界承载力的计算公式,可很好地考虑同层柱的柱间支援以及层与层的支援作用,为校核有限元整体稳定计算结果的可靠性提供了一种解析验证手段。
(2) 本文方法能够定量计算钢框架层与层之间的支援作用,判断结构薄弱层所在位置,可以定量地分析楼层临界承载力的提高程度,为分析框架结构层与层之间的支援作用提供了一种计算方法。