借助思维导图将思维“可视化”，解决压轴题——以2022全国甲卷第12题为例

杨 东 李洪全 姜远航

成都七中 石室天府中学

学生在面对思维需求量较大的题目时，往往具有一定的困难.而借助思维导图将思考过程可视化，可以帮助他们更好地呈现思维过程，厘清逻辑的基本关系.这里，笔者以2022年全国甲卷第12题为例，来探索思维如何在清晰的流程中得以更好地展示出来.

1 题目呈现

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

本题为2022年全国高考理科甲卷第12题(选择题最后一题)，是一个典型的比较大小的问题，这类问题不仅充分考查学生对知识的综合应用，而且对数学方法的选取也会显得多种多样.下面提供几种解法，供大家讨论.

2 解法分析及详解

2.1 b与c的大小比较

首先我们注意到b，c两个数中，有非常显眼的数字“4”，因此可通过构造函数将这个固定的“4”变为一个变量，这是构造函数中非常典型的一种处理方式.另一方面，如果挖掘三角函数的特性，也可以考虑将角的三角函数，用几何方法构建出来.试着解决这个比较大小问题.我们通过思维导图，将下列三种解法呈现出来.

下面分别通过代数思路分析方式和几何思路分析方式来呈现几种解法，以期望能够更好更清晰地表达出解决问题的突破口和思考方式.

代数思路思维导图，如图1所示：

图1

几何思路思维导图，如图2所示：

图2

所以b

图3

以上三种解法中，解法1是常规的通过两式比值与1的大小来判断，具有普遍性，是我们首先可以想到的方法.

第二种解法是构造函数，也是对不同式子中的相同量加以抽象把握得到的函数模型.而解法2中提到的两种函数构造方法，其实告诉我们即使不是一次性就选出最优的函数模型(实际问题中也往往不可能一眼就选出最优解)，通过合理的分析也能够找到解决问题的途径.

2.2 a与b的大小比较

下面利用思维导图将思维过程可视化.如图4所示：

图4

同样地，通过回归教材，利用几何方法加以思考，可以得到如图5所示的思维导图：

图5

解法1-1：构造二次函数.

而对于构造一次函数形式，将通过后面的解法1-2进行更深入的介绍.

解法2：发现二倍角关系.

解法3-1：利用单位圆将特殊值三角函数化.

图6

图7

故a

3 深挖题目背景，借助大学先修知识来解决问题

3.1 利用积分处理a，b的一次函数构造比较

图8

3.2 利用泰勒展开式对a,b,c的大小判断一步到位

通过进一步挖掘试题背景，发现这个题目中有很明显的多项式与三角函数的替代关系.如果具备一定的级数知识基础，那么很快会发现，此题目其实具有麦克劳林级数的特点，只需要把sinx和cosx在原点处展开，可以瞬间解决这个问题.过程如下.

已知以下麦克劳林展开式：

故a