巧构函数 妙判大小——2021年高考数学乙卷理科第12题的评析

崔 娟 李象林 张春宁

山东省淄博实验中学

代数式的大小比较问题，合理融合并交汇了函数的图象与性质、不等式的基本性质等内容，充分落实新课标中“在知识交汇点处命题”的指导思想，是近年高考数学命题中的一大基本考点，常考常新，形式多样，变化多端.下面结合2021年高考数学乙卷理科第12题这道代数式的大小比较判断来分析.

1 真题呈现

A.a

C.b

2 试题分析

该高考试题一改常态，无法直接结合题目中对应的代数式来明确构造对应的函数，需结合相应的代数运算与恒等变形，借助所构造函数的图象与性质及一些基本比较方法来分析与处理.

通过分析，寻找1.01，1.02，1.04之间的规律，可以转化为1+0.01，1+0.02，1+0.04，建立参数1+x，1+2x，1+4x，通过作差比较法，合理构造复合型函数，利用求导判断函数的单调性来分析与处理.

该题创新新颖，难度较大.从部分考生的反映来看，错误率非常高.大部分考生无法判断，任意作出一个选择.下面就该代数式的大小比较加以合理精彩解析，展开一幅美丽的画卷.

3 真题破解

方法1：构造函数法.

则有a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02=b，即a>b.

所以f(x)>0，即a>c.

所以h(x)<0，即c>b.

综上分析，可得a>c>b.

故选择答案：B.

点评：要判别三个代数式之间的大小关系，要进行三次比较，在比较a与b的大小关系中，可以利用对数函数的基本性质来判断；而比较a与c，b与c的大小关系中，分别通过不同函数的构造，利用换元方法，并结合求导处理，利用导函数在给定区间上的正负取值判断单调性，进而确定给定区间上的函数的正负取值，得以判断对应的代数式大小关系.无法直接利用不等式的性质来比较大小时，经常借助函数的构造来巧妙处理.

方法2：构造函数法的改进版.

那么，函数f(x)在区间[0，2)上单调递增，则有f(0.01)>f(0)=0.

则有a>c，可以排除选项C.

综上分析，可知b

故选择答案：B.

点评：利用对数函数的基本性质来判断a与b的大小关系后，可以根据选项的排除与分析，只要再比较a与c的大小关系即可得以正确判断.在判断a与c的大小关系时，通过构造函数，利用导函数在给定区间上的正负取值判断单调性，结合单调性的应用，得以判断a与c所对应的代数式大小关系.合理借助选项之间的关系，边判别边优化，节约时间，提升解题效率.

方法3：导数对应的增长速度判别法.

显然有f(0)=g(0)=h(0)=0，且a=f(0.01)，b=g(0.01)，c=h(0.01).

所以g′(x)

g(0.01)

所以b

故选择答案：B.

点评：利用三个代数式之间的关系构造与之对应的函数，通过求导，进而判断在对应的区间上导函数之间的大小关系，结合导函数的几何意义所对应的函数的增长速度，得以判断对应的代数式大小关系.利用导数对应的增长速度判别法来处理，关键是要熟悉导数的几何意义，技巧性强，能力要求高.

方法4：泰勒公式法.

解析：根据泰勒公式，得

由以上a，b，c的展开式可知b

故选择答案：B.

点评：泰勒公式是高等数学中的相关内容，属于高中数学的知识拓展与课外提升部分，也是高中数学竞赛常备知识点.借助泰勒公式的展开，并结合三个代数式在泰勒公式条件下的进一步转化，可以很好比较大小.泰勒公式法只是作为参加数学竞赛的部分考生的一种快速判断方法，一般学生有一个大体的了解即可.

4 教学启示

4.1 巩固“三基”训练，掌握通技通法

涉及代数式的大小比较问题，主要考查基本初等函数的变形与运算，以及对应函数的图象与性质，经常以幂函数、指数函数或对数函数为主，或单独一个函数，或多个函数的差(或商).经常利用构造函数法、比较法(作差或作商)、特殊值等常规通技通法来分析与处理.

4.2 重视“函数”构建并形成方法体系

在代数式的大小比较问题中，经常结合代数式的特征以及代数式的作差(作商)运算等，合理构建幂函数、指数函数或对数函数等基本初等函数.在合理构建函数的基础上，或直接利用函数的图象与性质法来处理，形象直观判定；或通过函数求导，利用函数的单调性等性质来处理.其中要重视运算转化，导数工具性应用等.

4.3 体验过程感悟，培养核心素养

涉及代数式的大小比较问题，能很好承载数学知识、数学思想方法和数学能力等，其比较过程就是一个数学知识、思想方法和能力的交汇与融合的过程，借助这个过程很好渗透特殊值法、特殊判定法、特殊图象法等方法的应用，以及数学抽象、逻辑推理、数学运算等相关的数学核心素养的培养.Z