崔 娟 李象林 张春宁
山东省淄博实验中学
代数式的大小比较问题,合理融合并交汇了函数的图象与性质、不等式的基本性质等内容,充分落实新课标中“在知识交汇点处命题”的指导思想,是近年高考数学命题中的一大基本考点,常考常新,形式多样,变化多端.下面结合2021年高考数学乙卷理科第12题这道代数式的大小比较判断来分析.
A.a
C.b 该高考试题一改常态,无法直接结合题目中对应的代数式来明确构造对应的函数,需结合相应的代数运算与恒等变形,借助所构造函数的图象与性质及一些基本比较方法来分析与处理. 通过分析,寻找1.01,1.02,1.04之间的规律,可以转化为1+0.01,1+0.02,1+0.04,建立参数1+x,1+2x,1+4x,通过作差比较法,合理构造复合型函数,利用求导判断函数的单调性来分析与处理. 该题创新新颖,难度较大.从部分考生的反映来看,错误率非常高.大部分考生无法判断,任意作出一个选择.下面就该代数式的大小比较加以合理精彩解析,展开一幅美丽的画卷. 方法1:构造函数法. 则有a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02=b,即a>b. 所以f(x)>0,即a>c. 所以h(x)<0,即c>b. 综上分析,可得a>c>b. 故选择答案:B. 点评:要判别三个代数式之间的大小关系,要进行三次比较,在比较a与b的大小关系中,可以利用对数函数的基本性质来判断;而比较a与c,b与c的大小关系中,分别通过不同函数的构造,利用换元方法,并结合求导处理,利用导函数在给定区间上的正负取值判断单调性,进而确定给定区间上的函数的正负取值,得以判断对应的代数式大小关系.无法直接利用不等式的性质来比较大小时,经常借助函数的构造来巧妙处理. 方法2:构造函数法的改进版. 那么,函数f(x)在区间[0,2)上单调递增,则有f(0.01)>f(0)=0. 则有a>c,可以排除选项C. 综上分析,可知b 故选择答案:B. 点评:利用对数函数的基本性质来判断a与b的大小关系后,可以根据选项的排除与分析,只要再比较a与c的大小关系即可得以正确判断.在判断a与c的大小关系时,通过构造函数,利用导函数在给定区间上的正负取值判断单调性,结合单调性的应用,得以判断a与c所对应的代数式大小关系.合理借助选项之间的关系,边判别边优化,节约时间,提升解题效率. 方法3:导数对应的增长速度判别法. 显然有f(0)=g(0)=h(0)=0,且a=f(0.01),b=g(0.01),c=h(0.01). 所以g′(x) g(0.01) 所以b 故选择答案:B. 点评:利用三个代数式之间的关系构造与之对应的函数,通过求导,进而判断在对应的区间上导函数之间的大小关系,结合导函数的几何意义所对应的函数的增长速度,得以判断对应的代数式大小关系.利用导数对应的增长速度判别法来处理,关键是要熟悉导数的几何意义,技巧性强,能力要求高. 方法4:泰勒公式法. 解析:根据泰勒公式,得 由以上a,b,c的展开式可知b 故选择答案:B. 点评:泰勒公式是高等数学中的相关内容,属于高中数学的知识拓展与课外提升部分,也是高中数学竞赛常备知识点.借助泰勒公式的展开,并结合三个代数式在泰勒公式条件下的进一步转化,可以很好比较大小.泰勒公式法只是作为参加数学竞赛的部分考生的一种快速判断方法,一般学生有一个大体的了解即可. 涉及代数式的大小比较问题,主要考查基本初等函数的变形与运算,以及对应函数的图象与性质,经常以幂函数、指数函数或对数函数为主,或单独一个函数,或多个函数的差(或商).经常利用构造函数法、比较法(作差或作商)、特殊值等常规通技通法来分析与处理. 在代数式的大小比较问题中,经常结合代数式的特征以及代数式的作差(作商)运算等,合理构建幂函数、指数函数或对数函数等基本初等函数.在合理构建函数的基础上,或直接利用函数的图象与性质法来处理,形象直观判定;或通过函数求导,利用函数的单调性等性质来处理.其中要重视运算转化,导数工具性应用等. 涉及代数式的大小比较问题,能很好承载数学知识、数学思想方法和数学能力等,其比较过程就是一个数学知识、思想方法和能力的交汇与融合的过程,借助这个过程很好渗透特殊值法、特殊判定法、特殊图象法等方法的应用,以及数学抽象、逻辑推理、数学运算等相关的数学核心素养的培养.Z2 试题分析
3 真题破解
4 教学启示
4.1 巩固“三基”训练,掌握通技通法
4.2 重视“函数”构建并形成方法体系
4.3 体验过程感悟,培养核心素养