一类d-维齐次Moran集的维数结果

刘世双,蔡畅,李彦哲

(广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

1.引言

Moran集一直是分形几何中极为重要的一个研究对象,它在数学的众多分支(例如: 动力系统[1]、度量数论[2]、重分形[3]以及拟对称映射[4]等)都有着重要的应用.在这些应用中,齐次Moran集的维数起到了重要的作用,也正因为如此,最近二十多年里,齐次Moran集的维数问题被众多研究者所广泛研究.FENG等[5]在1997年得到了一维齐次Moran集Hausdorff维数、packing维数以及上盒维数的具体范围.而后WEN和WU[6]又研究了一类对基本区间间隔做要求的一维齐次Moran集: 齐次完全集,并且在一定条件下得到了其Hausdorff维数的具体表达式,之后WANG和WU[7]在相同条件下又求得了这一类分形集的packing维数和上盒维数的具体表达式.HU[8−9]通过连通分支和基本间隔定义了{mk}-拟齐次Cantor集,并得到了它们的Hausdorff维数、packing维数和上盒维数表达式.ZHANG等[10]通过连通分支和基本间隔构造了一类比{mk}-拟齐次Cantor集和齐次完全集更广泛的一维齐次Moran集:{mk}-拟齐次完全集,并在一定条件下得到了它们的Hausdorff维数与上盒维数表达式.与一维情况相比,关于高维齐次Moran集的维数问题的研究结果相对较少.YAN[11]在2002年研究了一类d-维齐次Moran 集(∀d ∈N+)的Hausdorff维数、packing维数和上盒维数,之后HU[12]在d-维齐次Moran集中通过连通分支构造了一类特殊的高维齐次Moran 集:-拟齐次Cantor集,并得到了这一类分形集的Hausdorff维数的精确表达式.

本文中,我们利用d-维齐次Moran集(∀d ∈N+)的基本立方体以及其在各边上的正交投影形成的连通分支,构造出一类特殊的d-维齐次Moran集:-拟齐次完全集,并在一定条件下得到了这一类分形集的一些维数结果,推广了文[12]的一个结论.

本文在第二节介绍一些预备知识,包括一维齐次Moran集,d-维齐次Moran集与{mk}-拟齐次Moran集的定义,并构造出-拟齐次完全集.第三节给出本文的主要结果.第四节对主要结果进行证明.

2.预备知识

首先,我们回顾一下齐次Moran集与一维齐次Moran集的定义.

设{nk}k≥1为一列正整数序列,{ck}k≥1为一列正实数序列,并且对任意的k ∈N+满足nk ≥2和nkck ≤1.对任意的k ∈N+,记Dk={i1i2···ik:1≤ij ≤nj,1≤j ≤k}并且D=∪k≥0Dk,这里D0=∅.

如果σ=σ1σ2···σk ∈Dk,τ={τ1τ2···τm: 1≤τi ≤nk+i,1≤i ≤m},记σ ∗τ=σ1σ2···σkτ1τ2···τm ∈Dk+m.

定义2.1[13](齐次Moran集) 设I ⊂Rd为有界闭集且内点非空,称I的闭子集族I={Iσ:σ ∈D}具有齐次Moran结构,如果它满足:

1)I∅=I.

2) 对任意的k ∈N+和σ ∈Dk−1,1≤j ≤nk,存在相似映射Sσ∗j: Rd →Rd使得Iσ∗j=Sσ∗j(I).

3) 对任意的k ∈N+和σ ∈Dk−1,Iσ∗1,Iσ∗2,···,Iσ∗nk是Iσ的闭子集,并且int(Iσ∗i)∩int(Iσ∗j)=∅(i/=j),这里int(A)表示A的内部.

4) 对任意的k ∈N+和σ ∈Dk−1,1≤j ≤nk,

其中|A|表示集合A的直径.

令

称非空紧集E:=E(I)为齐次Moran集.用M(I,{nk},{ck})表示由I,{nk}k≥1,{ck}k≥1生成的齐次Moran集类.令Ik={Iσ:σ ∈Dk},则I=∪k≥0Ik={Iσ:σ ∈D},Ik中的元素Iσ称为E的k阶基本元.

若I是实直线上的闭区间,则称E ∈M(I,{nk},{ck})为一维齐次Moran集.此时,称Ik={Iσ:σ ∈Dk}为E的k阶基本区间族,I为E的初始区间.更多有关一维齐次Moran集的介绍可以参考文[5].

注2.1不失一般性,本文中若E ∈M(I,{nk},{ck})为一维齐次Moran集,则假设闭区间I=[0,1],并且对任意的k ∈N+和σ ∈Dk−1,假设Iσ∗1,Iσ∗2,···,Iσ∗nk从左至右排列.

接下来对任意的d ∈N+,在d维欧氏空间中给出d-维齐次Moran集的定义.

记Rd中的d个坐标轴为x1,···,xd.令Λ={x1,···,xd}.

注2.3由ak(x),bk(x)的定义可知,它们与投影所选取的坐标轴x相关.并且对任意的k ∈N+,有ak(x)≤ak,bk(x)≥bk.

注2.4由ak(x),bk(x)的定义可知,ak(x)表示在x轴上的投影集的全体k阶连通分支中最大连通分支所含的基本区间数量与最小连通分支所含的基本区间数量的差值;bk(x)表示在x轴上的投影集的全体k阶连通分支中最小连通分支所含的基本区间数量,由此可以看出,ak(x)+bk(x)表示在x轴上的投影集的全体k阶连通分支中每个连通分支所含基本区间数量的一个上界.

3.主要结果

本文的主要结果如下:

4.主要结果的证明

证明定理3.1需要用到下面几个引理.

第二个不等式可以由注2.4得到.本质是因为:nk个基本区间形成了mk个连通分支,并且最小的连通分支含有bk(x)个基本区间,最大连通分支含有ak(x)+bk(x)个连通分支,因此bk(x)δkmk ≤nkδk ≤(ak(x)+bk(x))δkmk.

于是

质量分布原理和Hausdorff维数与上盒维数的乘积不等式是定理3.1证明的重要工具,具体内容见下面两个引理.

引理4.2[14](质量分布原理) 设s>0,µ是支撑在Borel集F ⊂Rd上的正有限测度,如果存在常数C >0和δ >0,使得对任意的集合U,在0<|U|≤δ时,都有

则dimH F ≥s.

引理4.3[14]设E ⊂Rn,F ⊂Rm,则有

下面的引理是估计上盒维数的重要工具.

引理4.4[15]设E ∈H(I,Icon,{nk},{mk},{ck},{ξk,j})为定义2.3中所定义的{mk}-拟齐次完全集,则有

接下来,我们给出证明定理3.1需要用到的几个命题.

若l∗=0,显然有dimH Px(F)≥l∗.下面假设l∗>0,则对任意的0

令µ是支撑在Px(F)上的Borel概率测度,使得对任意Px(F)的k阶基本区间Iσ∗i(σ ∈Dk−1,1≤i ≤nk)满足

为了应用引理4.2,我们接下来会证明: 存在C >0,使得对任意的U ⊂R,0<|U|=δ ≤δK都有µ(U)≤Cδl.

容易得到g ≤3,结合引理4.1和(4.6)有

接下来,我们对定理3.1中的条件(A),(B),(C)分别进行讨论.

由引理4.1有nk ≤(ak(x)+bk(x))mk,于是有

这反映了δk−1,mkδk与nkδk在一定程度上是相互等价的,在证明中它们也可以相互替代.

又因为对任意的y1,y2>0,0

结合引理4.1,(4.6),(4.8)和(4.9)可得

此时,由引理4.1,(4.6)和(4.8)可得

由(4.7),(4.10),(4.12),(4.13)与引理4.2有dimH Px(F)≥l,再由l的任意性有dimH Px(F)≥l∗.结合引理4.3有dimH F ≥ld∗.

若l∗=1,则结论显然成立.不失一般性,假设l∗<1,则对任意的1>l >l∗,存在ϵ>0和k1>0使得对任意的k ≥k1有

由Jensen不等式,对任意的k ∈N有

现在我们考虑Rd中边长为rk的立方体S与Ak相交时所能交到Ak中元素的最大个数Sk.设sk(x)表示S在坐标轴x上的正交投射所得的集合同(这里的定义见第二节末,本文用到的符号注记)相交时所交到中元素的最大个数,则有

由坐标轴x的任意性可得

现在来考虑直径为rk的闭球Brk与Ak相交的情况.显然,闭球Brk包含于一个边长为rk的立方体S中,再结合(4.20)可得

由(4.19)和(4.21)有

考虑Rd中边长为rk的立方体S与Ak相交时所能交到Ak中元素的最大个数Sk.类似条件(B)的讨论可以得到

这也就是说直径为rk的球Brk最多交个Ak中的元素,因此

定理3.1的证明结合命题4.1和命题4.2立刻可推出dimH F=ld∗,结合命题4.3和命题4.4立刻可推出.证毕.