一类含p-Laplacian算子的分数阶时滞微分方程无穷多点边值问题的正解

崔秭月,周宗福

(安徽大学数学科学学院,安徽 合肥 230601)

1.引言

近些年来,分数阶微分方程受到广大研究者的关注.在生物模型,动力学,经济学,电子网络等科学领域,分数阶微分方程提供了一个非常有效的建模分析的方法[1−5].而分数阶微分方程边值问题更是研究的热点,如含有p-Laplacian算子及时滞的分数阶微分方程边值问题即是其中的一个重要研究课题[6−9].在设置边界条件时,涉及到多点边值条件,R-S积分边值条件及非局部边值条件等[10−13].在解决分数阶微分方程有关边值问题时,不动点定理是得到正解的存在性和多重性的重要工具,如Banach不动点定理,Guo-Krasnoselskii’s不动点定理,Avery Peterson不动点定理等[14−16].

文[8]中,作者利用单调迭代方法得到以下含p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性:

文[14]中,作者利用Banach压缩映射原理分析了在多点边值条件下含p-Laplacian算子的分数阶微分方程正解的存在唯一性:

受上述文献的的启发,本文考虑以下含有p-Laplacian算子和无穷多点的分数阶时滞微分方程边值问题:

对边值问题(1.1),我们将先构造Green函数,再借助p-Laplacian算子的一些性质,在特定的非负函数集合上使用Banach压缩映射原理,得到边值问题(1.1)正解的存在唯一性,最后将给出一个例子说明我们的结论的应用性.

在本文中,作如下假设:

2.预备知识

在这一部分,介绍一些定义和引理.

定义2.1函数f:(t0,+∞)→R的γ(γ >0)阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为：

定义2.2函数f:(t0,+∞)→R的γ(γ >0)阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为：

其中n=[γ]+1,[γ]表示实数γ的整数部分.

引理2.1[14]假设u ∈C(0,1)∩L1(0,1),α>0,则

其中N是大于等于α的最小整数.

引理2.2[17]若α>0,λ>−1,则

引理2.3假设(H0)成立,令h ∈C[0,1],则下述边值问题

利用引理2.3的类似方法可推得:

引理2.4假设(H0)成立,令y ∈C[0,1],则下述边值问题

引理2.5假设(H0)成立,令z ∈C[0,1],则下述边值问题

上式再结合(2.4),并利用引理2.3,可得

引理2.6函数G(t,s)满足以下性质:

类似引理2.6,可推得H(t,s)的一些性质:

引理2.7函数H(t,s)满足:

引理2.8∀t ∈[0,1],有

下面给出p-Laplacian算子的若干性质[14]:

由引理2.5知,T的不动点即为边值问题(1.1)的解,反之亦然.

3.主要结果

现作以下假设:

引理3.1假设(H1)成立,则TBr0⊂Br0.

证由T的定义可知,TBr0⊂X.∀u ∈Br0,由G,H,f及ϕ的非负性知,Tu(t)≥0,下证||Tu||≤r0.

由引理2.6,引理2.7及(H1)可知,对∀t ∈[0,1],

引理3.2若(H3)成立,则对∀t ∈[0,1],∀u ∈Br0,有

所以,(3.1)得证.

定理3.1设p≥2,若(H1)-(H3)成立,且

则边值问题(1.1)存在唯一正解.

证因为p≥2,故1

由引理2.7及(H1)可得

因为1

2.由(H2),引理2.7以及p-Laplacian算子的性质(ii)可得,∀x,y ∈Br0,∀t ∈[0,1],

因此,T:Br0→Br0为压缩的,由Banach压缩映像原理可知,T有唯一不动点,即边值问题(1.1)在Br0有唯一非负解,且由类似定理3.1 的证明知,为(1.1)的唯一正解.

4.例子

取L=0.1401.经具体计算可得:Q0=0.2996,λ=0.8050,进而知

故由定理3.1得,边值问题(4.1)有唯一正解.