巧用六大模型 轻松解决四面体外接球问题

黄伟亮

(广东省佛山市南海区石门中学 528248)

几何体外接球问题是高中数学的一个难点，对学生空间想象能力有较高的要求，能很好地考查学生的数学素养，因此成为了高中阶段各类考试的高频考点.几何体外接球的球心必在经过几何体任意一个平面的外心且与该平面垂直的垂线上，两个平面的外心的垂线相交于一点，该点就是几何体的球心.四面体是空间中最基本的几何体，且四面体一定有外接球.本文介绍解决四面体外接球问题的六大模型，利用这六大模型，能大大降低四面体外接球问题的难度，从而能轻松解决四面体外接球问题.

1 正方体模型

常见的能够转化为正方体模型的有3种四面体，特征如下：

图1 图2 图3

(1)墙角三棱锥——三条两两互相垂直的线段(线段长度相等)，如图1；

(2)鳖臑——三条两两互相垂直的线段(线段长度相等)，如图2；

(3)正四面体，如图3.

例1 (2019年全国新课标Ⅰ卷)如图4，已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( ).

解法1不妨设侧棱长为2a，则EF=a.

CE2=CF2-EF2=3-a2.

图4

从而PA，PB，PC两两垂直.

解法2 三棱锥P-ABC为正三棱锥，因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以PB⊥AC.

因为EF⊥CE，EF∥PB，

所以PB⊥CE.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面PAC.

解析如图5，取AC中点M，连接SM，BM，因为AB=BC，SA=SC，所以SM⊥AC，BM⊥AC.

图5

所以∠SMB就是二面角S-AC-B的平面角.

设S在底面ABC上的射影为S1，则S1在BM的延长线上，且S1M=SMcos(π-∠SMB)=1，于是四边形ABCS1是正方形.

2 长方体模型

常见的能够转化为长方体模型的有3种四面体，特征如下：

图6 图7 图8

(1)墙角三棱锥——三条两两互相垂直的线段(线段长度不完全相等)，如图6；

(2)鳖臑——三条两两互相垂直的线段(线段长度不完全相等)，如图7；

(3)对棱相等，如图8.

评注正方体模型是长方形模型的特殊情况，图1-图3分别是图6-图8的特殊情况.

解析该三棱锥对棱相等，可转化为长方体模型.设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a2+b2=20，a2+c2=20，b2+c2=8.

于是球心到平面ABC的距离为

例4(2022年衡水金卷一模)如图9，两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为____cm3.

图9

3 圆柱模型

常见的能够转化为圆柱模型的四面体特征为：有一条棱垂直于一个平面，如图10.

图10

评注长方形模型是圆柱模型的特殊情况，图3和图6是图10的特殊情况.

例5(2019年汕头一模)三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为____.

于是△ABC的外接圆半径r=x.

4 圆锥模型

常见的能够转化为圆锥模型的四面体特征为：一个顶点在平面α(设另外三个点所在的平面为α)上的射影是这三个点的外接圆圆心，如图11.

图11

评注该四面体的特征也可以是3条棱相等.

解析由PA=PB=PC=4可知点P在平面ABC上的射影就是△ABC的外心，所以四面体P-ABC可转化为圆锥模型.

5 二面角模型

证明如图12，设△ABC和△BCD的外接圆圆心分别为O1和O2，过点O1和O2分别作平面ABC和平面BCD的垂线，两垂线交于点O，则点O就是四面体A-BCD的外接球球心.

图12

BC中点为M，O，O1，M，O2四点共圆，其外接圆直径就是MO.

由于一般的二面角模型公式比较难记，建议按照以下步骤进行计算：

第1步：计算公共棱长度l；

例7(2015年江西高考)在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为( ).

例8 三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=BC=2，PA=PC=3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为____.

解析平面PAC⊥底面ABC，△ABC是直角三角形且直角是公共棱所对的角，所以三棱锥P-ABC外接球半径等于△PAC的外接圆半径.

6 建系模型

选择适当的空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z)，外接球半径为R，根据OA=OB=OC=OD=R，构建一个四元二次方程组，解出球心坐标以及球的半径.一般地，只要我们建立适当的坐标系，使得球心的坐标未知数只有一个，同时使得某些点的坐标较容易写，就能得到比较简单的方程，从而能快速求出球心坐标及外接球半径.

A.100π B.108π C.110π D.111π

图13

所以外接球的表面积为111π.故选D.

根据四面体的不同特征，将四面体转化为不同的模型，就能使用相应的模型公式迅速解决四面体外接球问题.六大模型部分内容是兼容互通的，同一个四面体，根据其特征的不同往往可以转化为多种模型.如例1的2019年全国新课标Ⅰ卷的题目，由PA=PB=PC可将四面体转化为圆锥模型.又如例9的2022年佛山一模的题目，由侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°可知BA⊥平面PAC，由此可将四面体转化为圆柱模型(以△ABC外接圆圆面为底面，PA为母线长的圆柱).总而言之，利用六大模型，能快速地解决四面体外接球问题，而对模型的甄别是解决四面体外接球问题的关键.