远距离篮球最优投篮轨迹预规划算法设计

邹伟豪，刘 江

（西南交通大学体育学院 四川 成都 610031）

当今时代，体育强国是国家发展和追求的目标。在2008年北京奥运会中，我国金牌数位居榜首，成为名副其实的体育大国。但是，我国离体育强国还存在一定差距。基于这种情况，我国运动员仍在加紧训练，以期在未来的各大赛事中取得优异的成绩。体育项目种类繁多，其中篮球有广泛的受众群体。要想在篮球赛事中获得胜利，投篮训练必不可少。理想的投篮水平不是一朝一夕就能达到的，需要经过长期反复地训练。随着科学技术的进步，先进的技术或手段引入到投篮训练中，其中，利用智能算法预规划最优投篮轨迹是重点之一。通过运动员实际投篮轨迹与预规划的理想轨迹的对比，为其训练提供重要的参考标准，从而提高训练效率。

基于上述背景，最优投篮轨迹预规划问题成为专家和学者研究的重点课题。轨迹规划问题研究大致分为两部分，一部分是设置目标函数，另一部分是对目标函数进行求解，得到最优轨迹规划方案。相比较前一部分，后一部分是该问题研究的重点，因此，关于该部分的研究也更多，该部分的关键是选取智能寻优算法。目前，智能寻优算法有很多，如（鸟群觅食算法）、粒子群算法、蚁群算法、遗传算法、鱼群算法、灰狼算法等。不同的寻优算法求解路径不同，获得的轨迹规划方案也不同。智能寻优算法普遍存在容易早熟、收敛速度慢的缺陷，导致预规划出来的轨迹缺乏全局性，从而无法达到全局最优。此外，易陷入局部最优的缺陷使得求得的解更适用于短距离轨迹规划，越远距离，规划效果越差。

针对上述问题，本文设计了一种远距离篮球最优投篮轨迹预规划算法，该算法针对传统智能寻优算法存在的缺陷，进行优化组合，以期提高求解质量，获得全局最优解。

1 远距离投篮最优轨迹预规划研究

篮球训练中投篮训练最为重要，其训练成果直接关系到在赛场上的表现。远距离投篮最优轨迹预规划是辅助运动员投篮训练的重要手段。通过规划出来的投篮轨迹能够给投篮训练提供重要的参考。本文分为两部分，即多目标函数设置及其求解，下面进行具体分析。

1.1 多目标函数设置

获取远距离投篮最优轨迹预规划的前提是对其运动进行准确描述并建立待求取的目标方程。假设投篮出手角为ϑ，篮球在此刻的运动速度为vt。由此建立篮球投射时的水平方向速度和垂直方向速度，即

式中，a代表重力加速度。X(vt)、Y(vt)分别代表t时刻篮球投射时的水平方向速度和垂直方向速度。

基于X(vt)、Y(vt)，结合物理学斜抛运动原理，建立篮球投篮后的运动轨迹方程S，即

式中，H代表投射点到地面的垂直高度。

对运动轨迹方程S进行求导，然后建立最佳投篮角度目标函数，即

式中，maxG代表最佳投篮角度目标函数。G达到最大值时的ϑ就是最佳投篮角度。

除了投篮角度是最优轨迹规划中要实现的目标外，球心与筐心重合度也是轨迹规划中要实现的目标。建立球心与筐心重合的条件方程，即

式中，B代表投球出手点到篮筐中心的水平距离；d代表投射点到地面的垂直高度。

将上述条件方程组合在一起，构建球心与筐心重合度目标函数。

针对建立的目标函数，设置的约束条件如下：

式中，ϑmin、ϑmax代表投篮出手角的最大值和最小值；Bmax、Bmin代表投球出手点到篮筐中心的水平远距离的上下限。

将上述构建的两个目标函数组合在一起，构成一个多目标函数，即

式中，F代表多目标函数；W1、W2分别代表两个目标函数的权重。

1.2 基于目标函数求取的最优投篮轨迹预规划方案设计

上述多目标函数求解后，就需要求取满足目标函数的解，该解就是本文所要设计的最优投篮轨迹。一般来说，满足目标函数的解往往有多个，本文中需要从这些可行解中找出最优的一个，完成最优投篮轨迹预规划方案设计。从可行解中找出最优的一个，本质上来说是一个不断优胜劣汰的过程，通过不断迭代将劣解淘汰掉，最终剩下一个最优解。基于这种机制，虽然寻优算法是解决上述问题的主要手段。寻优算法有很多，但是单一的寻优算法普遍存在早熟、收敛速度慢、易陷入局部最优的问题。针对上述问题，本文中将3种寻优算法结合在一起，以期提高全局求解能力。首先利用鸟群觅食算法随机产生N个初始解，然后将这N个初始解作为帝国竞争算法的初始种群，在帝国竞争算法求解过程中，对殖民地进行差分进化。具体过程如下：

（1）鸟群觅食算法生成初始解

鸟群觅食算法是模拟鸟群寻找食物过程而开发的一种寻优算法，该算法也称为粒子群算法。利用该算法生成初始解的过程如图1所示。

图1 鸟群觅食算法生成初始解的基本流程

鸟群觅食算法生成的初始可行解有N个，记为Q={q1,q2,...,qN}。每个可行解都是一个初始投篮轨迹。

（2）帝国差分竞争算法求取最优解

将鸟群觅食算法生成的初始解Q={q1,q2,...,qN}作为帝国差分竞争算法的初始国家。Q中每一个目标函数的可行解Q={q1,q2,...,qN}都代表一个国家。具体求解流程如下：

步骤1：设置帝国差分竞争算法的初始参数。

步骤2：初始化种群Q={q1,q2,...,qN}。

步骤3：利用章节1.1构建的多目标函数［公式（8）］构建适应度函数，计算每个可行解的适应度函数值。即

式中，f(qi)代表第i个初始可行解的适应度函数值，也就是第i个国家的所拥有的力量值。

步骤4：将计算得到的f(qi)按照从小到大升序排列。

步骤5：将f(qi)数值排名前M个对应的初始解作为初始殖民国家，后M个对应的初始解作为殖民地。这样就将初始种群Q={q1,q2,...,qN}划分为了两个种群，分别记为L1、L2。

步骤6：对L1中每个殖民国家分配种群L2中的殖民地。

式中，Ui代表L1中第i个殖民国家在L1种群中的竞争力；M代表L1包含的殖民国家的数量；N-M代表L2中殖民地的数量；Ki代表分配给第i个殖民国家的殖民地数量。

步骤7：殖民地同化。即上述分配结果让分配后的殖民地向着所属殖民帝国方向移动，也就是让可行解向着较优的投篮轨迹移动。

步骤8：移动后更新殖民地位置。

步骤9：殖民地革命，该环节的目的是增加可行解的多样性，重新生成部分新的轨迹。在这里引入差分进化算法来代替帝国竞争算法原始的革命操作。具体过程如下：

（1）从被分配的殖民地种群选出3个殖民地，记为Or1，Or2，Or3。其中r1，r2，r2代表［0，1］之间的标准随机数。

（2）由Or1，Or2，Or3使分配给殖民帝国的每一个殖民地变异，生成新的殖民地，即

式中，Obest代表全局最优值；T代表缩放因子；Oi代表分配给殖民帝国的第i个殖民地。

（3）将变异前、后的解进行交叉操作，即

式中，λ代表交叉概率；rand代表［0， 1］取值的随机数；Ji代表交叉后产生的新的殖民地。

（4）计算变异前、后的解适应度值，然后采取贪婪选择的方式选择殖民地进入下一代，也就是是否需要让变异、交叉后Ji代替原始Oi。

式中，f(Oi)、f(Ji)分别代表Ji、Oi的适应度函数值。

步骤10：重新计算殖民地和殖民国家的适应度函数值并进行比较，以实现位置交换。前者大于后者，二者位置对调；否则保持不变。

步骤11：综合每个殖民国家的适应度函数值总和。

步骤12：统一相似投篮轨迹。

步骤13：通过帝国竞争，也就是让适应度函数值较大的殖民国家占有适应度函数值较小的殖民国家的殖民地，也就是投篮轨迹逐渐收敛至全局最优。

步骤14：当适应度函数值较小的殖民国家所有殖民地都被较强殖民国家占据时，该殖民国家消亡，即适应度值较高投篮轨迹被适应度值较低的投篮轨迹吞并。

步骤15：是否达到最大迭代次数？若是，输出当前群体中适应度最大的殖民国家，该殖民国家就是最优解，也就是规划出来的远距离篮球最优投篮轨迹；否则，回到步骤3。

经过上述两个步骤的研究，完成远距离篮球最优投篮轨迹预规划算法研究。

2 算法测试

2.1 虚拟测试环境

基于Matlab软件建立一个用于投篮轨迹预规划算法的虚拟测试环境，如图2所示。

图2 投篮轨迹预规划算法的虚拟测试环境

该环境基本参数如表1所示。

表1 虚拟测试环境基本参数表

2.2 投篮工况设置

本文的算法是针对远距离篮球最优投篮轨迹的。距离球篮中心6.50 m以外的区域被称为远距离投篮。由此设置3种不同的工况，具体见表2。

表2 投篮工况设置表

2.3 远距离篮球最优投篮轨迹

利用本文所研究的改进帝国竞争算法以及3种对比寻优算法（传统帝国竞争算法、传统粒子群算法、传统差分进化算法）对公式（8）多目标函数进行求解，预规划出远距离篮球最优投篮轨迹，结果如图3所示。

图3 远距离篮球最优投篮轨迹预规划结果

2.4 对比分析

模拟运行图3预规划出来的远距离篮球最优投篮轨迹，进行100次投篮，统计投篮命中率，命中率越高，证明所规划出来的远距离篮球投篮轨迹越优秀。

从图4中可以看出，改进帝国竞争算法求解得到的远距离篮球投篮轨迹的投篮命中率要更高，由此说明改进帝国竞争算法的投篮轨迹规划能力要高于传统帝国竞争算法、传统粒子群算法、传统差分进化算法，弥补了传统寻优算法的步骤，使得规划出来的投篮轨迹达到最优。

图4 投篮命中率对比图

3 结语

篮球训练的重点的项目之一就是投篮训练，投篮命中率越高，越能够取得比赛的胜利。在投篮训练中远距离投篮的训练难度最大。面对这种情况，为提高远距离投篮训练效率，改善训练难度，研究一种远距离篮球最优投篮轨迹预规划算法。在该算法研究中，先是设置了投篮轨迹预规划的目标函数，然后利用改进帝国竞争算法对其进行了求解。通过对传统帝国竞争算法的改进，在仿真实验中，使得求得的投篮轨迹达到最优，与传统帝国竞争算法、传统粒子群算法、传统差分进化算法相比，提高了投篮命中率，证明了该算法的求解效果。虽然取得了一定的效果，但是还存在不足且需要加以改进和完善。投篮轨迹会受到自然环境因素的影响，如风力、空气阻力等，本研究中设置的目标函数并没有将环境因素考虑进去，因此还有待进一步完善。