特殊图形探路 极限思维求解——对2022上海高考第16题的探究

方长林

上海市复兴高级中学 (200434)

2022年上海高考数学卷第16题延续了上海卷一贯的命题风格：对两个命题真假性进行判断.题干表述语言简洁明确，思维能力要求很高,题目设计富有创意.有不少优秀的学生在此题上都马失前蹄，痛失五分.但也有数学素养高的学生直呼简单，更多的考生则是束手无策，凭数学直觉，从“概率”的角度猜一个选项，碰碰运气.

1.原题呈现

设集合Ω={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,k∈Z}.①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l的两侧；②存在直线l，使得集合Ω中存在无数个点在l上.则下列判断正确的是( ).

A.①成立②成立 B.①成立②不成立

C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立

2.解法分析

解：∵Ω={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,k∈Z}.若k=0，则Ω={(0,0)}；若k=±1，则Ω={(x,y)|(x±1)2+(y-1)2=4}；若k=±2,则Ω={(x,y)|(x±2)2+(y-4)2=8}；…

图1

图2

3.解后思考

(2)本题两个命题真假性的判断含双逻辑用语.存在性命题论证要举出实例；不存在性命题论证，要从它的否定命题出发，证明一个任意性命题成立，这主要是考查学生的逻辑推理核心素养.但因为是选择题，所以对于考生而言，有时会有“做不如猜”的想法，这有违于试题考查的意图.

(3)对于结论②为假，要证明“任意直线l,集合Ω中不存在无数个点在l上”，结合图形，运用极限的方法进行论证，其实还是不够严谨.其本质是直线与抛物线最多只要两个交点，而直线与每个圆也最多只有两个交点，直线无论怎么变化，一旦与抛物线位置确定，随着圆系中圆的圆心在抛物线上变化，总可以找到某个圆，使其后面的圆与直线再无交点.

(4)极限思想方法在高考试题中的妙用.

4.相近试题

例2 有一系列圆Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4，其中k∈N*，下列命题：

①存在一条定直线与所有的圆都相切；

②存在一条定直线与所有的圆都相交；

③存在一条定直线与所有的圆都不相交；

④所有的圆都不经过原点.其中真命题是.

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④