一道模考题的多视角解法探究

江苏省溧水高级中学 (211200) 丁称兴

一、试题呈现

图1

本题以三角形为载体、以向量为媒介，综合考查了向量、三角形中的相关知识，着重考查了向量中的“三点共线”、向量的数量积运算及正、余弦定理在解三角形中的应用.解三角形是三角函数模块的重点内容之一，也是高考命题的热点，这类试题中蕴含着极为丰富的数学思想方法，同时向量作为一种工具，为解决很多的长度、角度问题提供了方法.

二、解法探究

(2)视角1：边角联系，余弦牵线

视角2：向量共线，内化结构

图2

视角3：形式化归，边角转换

评析：通过“向量的数量积公式”将已知的“向量的数量积关系”转化为三角形中的“边角关系”，借助“形式化归”转化为两直角三角形中的边的关系，则问题迎刃而解.

视角4：勾股定理，化斜为直

评注：直角三角形中，我们不难想到“勾股定理”，此法分别在有公共直角边的两个直角三角形中两次利用“勾股定理”，建立直角边BH,CH的比例关系，为在直角三角形中表示角的正切做好铺垫，此时证明则水到渠成.

视角5：基底意识，目标归一

视角6：几何探微，相得益彰

视角7：数形相依，“系”中有道

(法七)如图3，延长AP交BC于点H，则AH⊥BC.以点H为坐标原点，BC边所在的直线为x轴，则点A,P在y轴上.设A(0,a),B(-b,0),C(c,0)，

图3

评注：向量既有几何属性，又有代数属性，处理向量问题，除了从几何直观的角度研究之外，还可以从代数运算的角度进行处理，需要我们根据所给图形的几何特征合理建立直角坐标系，设出“主”动点的坐标，以其为主元，将问题转化为关于主元的问题来处理，体现了“数形结合”思想的应用.