一道教材习题的演变

李梦娜

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能够解决数学与实际生活中的问题，也是中考重点考查的知识点之一。这类题综合性强，常常由教材习（例）题演变而来，现举一例供同学们参考。

［苏科版数学教材九（上）第28页问题6］如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动。几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？

【思路分析】设ts后△DPQ的面积为28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含t的代数式表示，从而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积也都可以用含t的代数式表示，于是利用割补图形的方法找出相等关系，即S▱ABCD-S△DAP-S△PBQ-S△QCD=28，列出方程求解即可。

“方程思想是一座桥梁，一座联系已知和未知的桥梁”。本题创设的情境是图形中的行程问题，涉及行程问题及几何图形性质。解决此类问题的关键是寻找蕴涵在具体问题中的相等关系。学会用方程解决问题，能提高同学们数学学习的模型思想和空间观念。

【例题延伸】如图2，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为ts。

（1）当t=2时，△DPQ的面积为 cm2；

（2）在运动过程中，△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；

（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；

（4）运动过程中，当以Q为圆心、QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围。

【思路分析】第（1）问，根据运动速度和时间表示出线段长度，然后计算出三个直角三角形的面积，再用割补图形的方法就能得到△DPQ的面积，这一问与教材上的问题所用方法完全相同；第（2）问，根据（1）中的面积计算方式，列出关于t的方程，通过判断方程有无解即可得出答案；第（3）问，部分同学可能感觉下手困难，我们不难通过△DAP是直角三角形发现，经过点D、A、P的圆的直径就是DP，根据点Q也在圆上，那么∠DQP=90°，先分别表示出DP、DQ、PQ，再利用勾股定理DP2=DQ2+PQ2，列出方程求解即可；第（4）问，我们可通过多画草图，判断出⊙Q与边AD相切和⊙Q经过点D是⊙Q与矩形的边有4个交点变成3个交点的临界情况，再根据半径相等列出关于t的方程求解。

本题考查了矩形的性质、点与圆的位置关系、三角形的面积、圆的切线等知识点，综合性較强，熟练利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键。

【中考题】（2021·山东日照）如图3，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动。当v为 时，△ABP与△PCQ全等。

【思路分析】设P、Q两点均运动ts，则BP、PC、CQ的长度分别可以用含t的代数式表示。而△ABP与△PCQ全等有两种情况：

①△ABP≌△PCQ，此时BP=CQ，AB=PC，可得12-2t=8，解出t=2，相应得到v=2；

②△ABP≌△QCP，此时AB=QC，BP=CP，可得2t=12-2t，解出t=3，相应得到v=[83]。

综上可得，v为2或[83]。

本题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、分类讨论和方程思想的应用。解答本题时需注意三角形全等的对应关系，分情况讨论。

数学大师陈省身先生曾经说过：数学有“好”数学和“不大好”数学之分。方程，就是“好”的数学的代表，它是最基本的解题方法之一，也是同学们解题时重要的抓手。

（作者单位：江苏省泰州市高港实验初级中学）