挖掘信息,提炼模型——一道中考题的解法探索

深圳市宝安区黄麻布学校(518100) 杜静媚

《义务教育数学课程标准(2022年版) 》提出“学生要学会借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念[1].”下面笔者以2022年深圳市中考第22 题第(2)小题为素材进行解法探索.

1 试题呈现

(2022年深圳中考第22 题第(2)小题) 如图, 四边形ABCD为矩形,AB= 8,AD= 6,E为CD边上一点(不与端点重合) , 连接AE, 将矩形ABCD沿AE折叠,D的对应点为F, 延长EF、AF分别交AB、BC于M、H两点, 当FH=BH时,求DE的长.

图1

2 解法探索

2.1 基本模型提炼

在解决几何问题时,我们要从多个角度去挖掘出题目图形中所含模型,寻找解题突破口.本题图形所含的基本模型如下:

图2 共边双勾股

图3 8 字型相似

图4 A 字型相似

图5 A 字型相似

图6 十字架相似

图7 平行等腰

2.2 解题思路剖析

图8

“从条件出发, 由结论追溯”是生成解题思路的基本策略.因此,我们要尽可能地从条件中获取关键信息,然后将其与结论关联起来.

2.3 多种解法展示

解法1如图9,连接HM,易证RtΔHFM∽=RtΔABM(HL), 所以BM=FM.设BM=FM=x, 则AM=8-x.在RtΔAFM中由勾股定理可得62+x2= (8-x)2,解得.所以.由折叠可知∠DEA= ∠FEA,又由CD//AB可知∠DEA= ∠EAM,所以∠FEA= ∠EAM, 则所以,故

图9

解法2如图10, 连接DF、BF、HM, 设DF与AE交于点Q,BF与HM交于点G.由折叠易知∠DEA=易证RtΔFHM∽= RtΔBHM(HL),则由AB//CD可知∠DEM= ∠EMB,则∠FEA= ∠FMH,所以AE//HM.易证ΔAEF∽ΔHMF,所以.易证ΔAFM∽ΔABH, 所以所以.故

图10

解法3如图11, 连接EH, 设FH=BH=x.在RtΔABH中由勾股定理可得82+x2= (6 +x)2, 解得.所以,故设DE=EF=y,则CE=8-y,在RtΔEFH与RtΔECH中由勾股定理可得,解得所以

图11

解法4如图12,过E作EN⊥AB于点N.同解法3,由勾股定理可得,则易证ΔENM∽ΔABH, 所以所以所以易证ΔENM∽= ΔAFM(AAS), 所以则,故

图12

解法5如图13,延长CB与EM交于点P.同解法3,由勾股定理可得,则易证ΔABH∽= ΔPFH(ASA),所以PF=AB=8,,PC=PH+CH=12.易证ΔPFH∽ΔPCE,所以解得.所以,故DE=EF=

图13

解法6如图14, 连 接DF、BF、HM, 设DF与AE交于点Q,BF与HM交于点G.由折叠易证ΔDEQ∽= ΔFEQ(SAS), 则∠MGF= ∠MGB= 90°,所 以AE⊥DF.由RtΔFHM=RtΔBHM(HL) 易 证ΔMGF∽= ΔMGB(SAS), 则∠MGF= ∠MGB= 90°,所以HM⊥BF.由解法2 可知AE//HM, 所以DF与BF共线, 即D、F、B三点共线.因为∠DEQ+∠QDE= 90°, ∠QDE+ ∠QDA= 90°, 所以∠DEQ=∠QDA.在RtΔDAB中,所 以tan ∠DEQ= tan ∠ODA=.在RtΔADE中,

图14

解法7如图15, 连接DF、BF、HM, 设DF与AE交于点Q,BF与HM交于点G.同解法6, 可证D、F、B三点共线.易证ΔADE∽ΔBAD, 所以, 故

图15

解法8同解法6, 可证D、F、B三点共线, 且AE⊥BD.如图16, 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴, 建立平面直角坐标系.由题可知A(0,0),B(8,0),D(0,6), 易得直线BD解析式为因为AE⊥BD, 所以kAE ·kBD=-1, 故所以直线AE解析式为当y= 6 时,,则,即

图16

3 解题反思

3.1 挖掘信息,提升加工能力

在解题时不仅要看到题目直接给出的条件, 还要发现题目隐含的条件,这种隐含的条件容易被忽略,但对解题突破却有关键作用.比如本题中DE=EF是显而易见的条件,我们可以将求DE的长转化为求EF的长.然而在多角度剖析此题时, 我们还可以发现D、F、B三点共线这个隐含的条件,从而利用BD⊥AE来解题.另外,要学会利用自己已掌握的定理、解题方法等对题目条件进行合理加工,获得新结论.比如此题中已知CD//AB与∠DEA= ∠FEA,只要我们稍加挖掘,就可以发现ΔAEM是等腰三角形,即EM=AM.总之,对题目各类信息进行整合加工是解题前的必要准备.

3.2 提炼模型,发展模型观念

三角形、四边形等图形中存在一些基本模型,我们要从复杂的图形中提炼出基本模型,渗透建模思想,学会识模、建模、用模[2],培养学生的几何直观与模型观念素养.比如本题涉及到了“平行+角平分线=等腰三角形”、“8 字型相似”、“共边双勾股”、“十字架相似”、“A 字型相似”等模型,若能从题目图中识别这些模型,再将条件与结论联系起来,就能快速找到解题突破口且能实现一题多解.

3.3 一题多解,培养发散思维

一题多解有助于培养发散思维和综合分析能力,让学生学会多角度思考和分析问题,可拓宽其思维深度、广度与宽度.比如本题中求线段DE的长度,可利用勾股定理、三角函数、相似三角形等知识求解,也可利用建系求函数解析式进而求E 点坐标,将几何问题代数化.在双减背景下,教师可以通过一题多解引导学生寻找解决问题的通性通法,将解题教学的效果最大化,达到“解一题、会一类、通一片”目的.中考题看似新颖多变,但只要学生掌握好解题方法,就能以不变应万变.