初中数学几何证明题解题思维培养

施雪辉

【摘  要】本文研究初中数学课堂中，教师应如何培养学生的几何证明题解题思维。分析初中数学几何教学中存在的问题，如教学方式老套、教学过于重视成绩等;列举几何证明题解题思维培养策略，如传授多种证明方法，培养学生的解题能力、以“教”作为切入点，提升学生的解题效率、以“练”作为切入点，提升几何教学质量、使用辅助线，突破几何教学重难点。期望本文能够为广大数学教学工作者带来一定的参考作用。

【关键词】初中数学;几何证明;解题思维;教学

在课程改革深入推进、素质教育全面开展的时代背景下，改革初中数学教学、提升学生的学习效率与学习质量，刻不容缓、势在必行。在初中数学课堂中，几何证明题是学生常会遇到的一类题目，这类题目的灵活性较强，部分题目的证明难度较高，因此很多学生往往无法借助已有的知识储备，高效地完成解题，这无疑会影响学生核心素养的持续成长。因此，在数学教学中，教师应重视培养学生解答几何证明题的思维，多为学生传授一些科学合理且高效的解题思路，使学生的解题思维真正契合核心素养的要求，促进学生的成长发展。

一、初中阶段学生的思维特点分析

目前看来，中学生大脑皮层发育速度快，记忆能力强，对课堂中学过的知识内容，往往能够产生长时间的记忆。因此在课堂教学过程中，教师可使用一系列科学合理的教学方式，对学生的思维给予一定的拓展，开发学生的学习潜能，使学生事半功倍地完成学习。此外，初中生思维的敏锐性，除记忆力强之外，还体现在他们思维角度的新颖性上，也就是说这一阶段内，他们的思维尚未固化，因此具有高度的灵活性。故而，在课堂教学过程中，教师应多发挥学生在课堂中的主体性，一方面提升学生学习几何证明的效率，另一方面为学生创新能力的提升打下良好的基础。

二、初中数学几何教学中存在的问题

课程改革实施以来，初中数学的教学思路、教学模式有了明显的变化，但目前看来，仍然有很多教师沿用着传统的教学方式，对位于时代前沿的教学理念、教学方法缺乏了解，习惯使用一系列应试教育下的方式、方法，为学生传授枯燥乏味的知识，造成课堂学习氛围较为沉闷，学生的学习生活十分单调，久而久之甚至使学生丧失学习数学知识的兴趣。举例而言，在初中数学教材中，“全等三角形”占据了较大的篇幅，属于重难点知识，对学生数学素养的成长，以及后续的数学学习有着极为突出的影响力，但目前看来，很多教师在教到这部分知识内容时，常会使用一系列“照本宣科”的方式，给予学生枯燥乏味的教学，要求学生以“死记硬背”的方式学习教材中涉及的概念，忽略从学生的实际生活出发，引导学生针对全等三角形的性质展开思索，影响了学生对数学知识的理解，进而限制了学生几何证明思维的发展。

三、初中数学几何证明题解题思维培养策略

（一）传授多种证明方法，增强学生解题能力

解答几何题，需要学生融会贯通地使用课堂中学过的数学知识，因此，目前看来，不论是教材中还是教辅资料中给出的几何题目都有着极为突出的灵活性，对学生的知识应用能力有着较高的要求，学生只有掌握正确的证明方法，才能够得心应手地利用已知条件，将题目一一击破。在课堂教学过程中，教师可通过为学生传授多种不同的证明方法，增强学生的解题能力，循序渐进地培养学生的解题思维，一般来讲初中课堂中常用的几何题证明方法包括如下几种：其一，分析综合法。使用正向思维，结合已知条件，循序渐进地推出结论的一种推理方法，此外，使用逆向思维，从结果出发，针对结论成立的条件做出分析的证明方法，也属于分析综合法的范畴;其二，反证法。所谓反证法主要指的是在证明某一结论成立时，先证明它不成立，之后依据假设进行推理，若推理过程与题目给出的条件以及相关的数学定义相背离，则可证明该结论正确;其三，面积法。所谓面积法，主要指的是将需要证明的几何关系，转化为图形之间的面积关系，进而达到证明目的的一种证明方法;其四，代数法。结合数形结合思想，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数解答方法得出结果的一种证明方法。

（二）以“教”作为切入点，提升学生学习效率

“教”是几何证明题教学最为重要的切入点，是课堂教学的核心之一。实际教学中，教师应懂得立足于教材，为学生设计一系列科学合理、生动高效的教学活动，使用多样化的教学方法，为学生传授相应的数学知识，引导学生循序渐进学完基础知识与重难点知识，进而掌握一定的证明方法，形成一定的解题思维。在“教”方面，教师应重点做好如下几方面的工作：首先，应重视培养学生的学习兴趣，激发学生的学习积极性。初中生正处于青春期，性格活泼好动，因此驱动他们探索几何题目的动力主要还是学习兴趣，为提升学生的学习热情，在几何题教学中，教师应重视使用一系列生动、形象的几何图形，激发学生的兴趣，培养学生的空间思维能力;其次，使用循循善诱的教学语言，提升学生的学习效率。目前看来，初中数学教材中，有很多几何知识对于学生而言都是抽象的、枯燥的，有着一定的学习难度，学生很难在短时间内细致地掌握相应的证明方法，如此便会阻碍学生数学素养的成长。为解决这一问题，教师在平时可多使用循循善诱、层层递进的教学语言指导学生深入浅出地完成解题，使学生逐步发现几何知识的逻辑性与规律性，进而更好地解答幾何题目。现阶段看来，指导学生掌握几何规律的主要方法，包括如下两种：其一借助前人的探究成果，发现几何知识的规律;其二在教师的指导下，经过一系列的分析、归纳与总结，探析几何知识的主要规律。对于学生而言，这两种探究方式皆有着一定的应用价值，很多解题方法与规律，在学生看来是有规律可行的，长期以如上思路为学生传授几何证明知识，有利于培养学生灵活且融会贯通的解题思维，这十分有助于促进学生核心素养的成长。

（三）以“练”作为切入点，提升几何教学质量

几何证明题教学过程中，教师应重视培养学生“理论实践结合”的意识，多为学生提供一系列灵活多变的题目，组织学生进行实战演练，增强学生对各类数学定理、公式的理解，促进学生解题思维的进一步发展。需要注意的是，为真正使学生形成“以不变应万变”的解题思维，教师在教学过程中，应重视做好课堂氛围创设工作，主动为学生构建一个轻松愉悦、寓教于乐的课堂氛围，使学生的学习思路不易受到阻滞，引导学生主动练习几何习题，夯实学生的基本功。

以下面这道题为例：图1为菱形，连接对角线BD，并在其上取一点P，将A与P连接起来，并将其延长至DC上，记相交点为E，再与BC的延长线交于F，求证PC2=PE·PF。

实际教学中，教师可指导学生使用“分析综合法”，借助逆向思维证明结论成立。如，可先假设结论成立，将其转化为比例式=，将题目转化为证明该比例式成立，为证明该式成立，我们需要证明△PCF∽△PEC，结合题目条件可知，在这两个三角形中，有一个公共角存在，即∠CPF，之后我们只需证明∠PFC与∠PCE相等，就可得出△PCF∽△PEC的结论，由于题目已经规定了该图形为菱形，我们可以结合菱形的性质，得出如下分析过程：∠ADB=∠BDC，DC=AD，故而△DAP与△DCP全等，由此可知∠DAP=∠DCP，又因BF与AD平行，且∠DAP=∠PFC，因此可推出∠DCP=∠PFC，最终可得出结论PC2=PE·PF。

由上文所述不难看出，在几何证明题解题过程中，分析综合法有着极高的应用价值，对于一些较难解答的问题，学生可使用逆向思维，参考如上推理过程，从题目的结论出发，创新性地找到能够使结论成立的条件，进而使结论成立，完成整个几何证明过程。在实际教学中，教师可多结合相应的例题，为学生传授此类几何证明方法，使学生的解题思维变得更为灵活，引导学生得心应手地解决类似的习题，促进学生数学学习水平的稳步提升。

（四）使用辅助线，突破几何教学重难点

在解答几何题目的过程中，学生通常并不会直接使用原有图形求解，因为这样解题，有着过高的难度，实际解题中较易出错。教师应培养学生使用辅助线进行解题的意识与能力，引导学生使用这一解题工具，将题目简化，使解題条件变得更为直观、清晰、明了，使学生更易找到题目的答案。经归纳与总结，笔者认为在初中数学课堂中，学生在解答几何证明题时，多会用到如下几种不同的辅助线制作方法：其一，连接两条线段的中点，或制作中位线，进而作出辅助线;其二，为线段添加垂线、平行线，制作辅助线;其三，为角添加平分线，或为图形添加对称轴，制作辅助线。

以下面这道题为例：如图2所示，在△ABC中，AD平分∠A，求证AB：AC=BD：CD。本道题的解题思路如下：在图中过D点制作垂直线，使DE与AB垂直、DF与AC垂直，由于AD平分∠A，依据题目条件，可得出DE与DF相等，如此便可得到===，继而可推出=，即题目所求结论。

这道题目有着一定的难度，因此在课堂中，学生往往会感到无从下手，但若为题目给出的图形添加两条辅助线，本道题立刻就会变得迎刃而解，学生推出结论将会变得更加容易，这足以见得在初中数学几何证明题教学中，添加辅助线，是一种极为重要的解题方法，教师在平时应多从基本的数学规律、数学概念出发，引导学生明晰“辅助线”这一解题方法，增强学生对这一证明方法的理解，逐步培养学生的解题思维，促进学生数学核心素养的稳步发展，显著推动初中数学教学改革的发展进程。

四、结束语

综上所述，课程改革背景下，数学教学过程中，教师应重视培养学生的思维，结合学生思维成长的实际情况，围绕几何证明题，多为学生普及相应的知识内容，增强学生对一些解题方法的理解，培养学生的知识应用能力、实践能力，使学生的解题变得更为高效，促进学生核心素养的进一步发展。

【参考文献】

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[2]邓江.提高初中学困生几何证明题解题规范性的策略研究[J].数学大世界（中旬），2020（2）：23.