多元表征：促进学生深度学习

张玥

［摘  要］ 表征是学生数学学习的一种重要方式。在小学数学教学中，教师要引导学生进行操作性表征、图像性表征、语言性表征和符号性表征。通过表征，让学生的数学学习有支撑、有辅助、有载体、有依凭。表征越多样化，学生对数学知识的理解层面就越丰富。表征不仅仅促进学生的数学认知、思维，更有助于学生的数学迁移、应用。多元表征有助于促进学生的深度學习。

［关键词］ 小学数学；深度学习；多元表征

“表征”是一个教育心理学概念，是指“信息在心理活动中的呈现、记载方式”。学生的数学学习需要表征，学生的表征方式是多元的。所谓“多元表征”，是指“用不同的方式对相同的知识进行表征”。多元表征能促进学生对数学知识的深度理解、深度建构。研究表明，学生对数学知识的表征有以下几种方式；操作性表征、图像性表征、语言性表征、符号性表征等。不同的学生对相同的数学知识有着不同的表征，不同的表征能促进不同学生的数学学习。如果教师在数学教学中表征单一，就会影响学生的数学学习。多元表征是提升教师教学效能，改善学生学习方式，促进学生深度建构、有意义学习的必然路径。

一、操作性表征：让学生的学习有支撑

对于小学生来说，操作是其数学学习的主要方式。教育心理学研究表明，学生的数学思维是从“直观动作”走向“具体形象”，最后走向“抽象逻辑”的发展过程。操作性表征对于学生数学学习来说有两个方面的作用：一是能让抽象的数学知识直观化、具体化、动作化；二是能让学生内隐的数学思维直观化、外显化、可触摸化。在小学数学教学中，教师可以引导学生通过摆小棒、小方块、小圆片等方式来理解数学知识背后的原理。操作性表征，能有效地促进学生的数学学习。

比如“乘法分配律”是“运算律”这一单元最为抽象的一个内容。教学中，教师可以通过联系学生的生活实际来引导学生认知、建构。但是，这种基于学生生活事理的原型启发，不能让学生在头脑中形成直观、具体的表象。为此，笔者在教学中引导学生进行操作。首先让学生自由地拼方块，然后笔者出示一个现成的方块组合，比如“3×4”的方块组合，进而引导学生观察、比较：你拼的方块组合能与“3×4”的方块组合连接在一起吗？为什么有的同学拼的方块组合能与“3×4”的方块组合连接在一起，而有的同学拼的方块组合不能与“3×4”的方块组合连接在一起呢？通过这样的问题，引导学生一边操作一边观察、一边比较一边想象、一边归纳一边概括，如此学生就会发现“一个方块组合能与3×4的方块组合拼接，关键就在于这个方块组合要有一行或者一列的方块是3个或者是4个”。通过对方块组合的操作，笔者有效地帮助学生在头脑中建立方块组合的表象。这种表象不是静态的，而是动态的，是一种拼接的过程。对于学生学习乘法分配律的过程而言，这样的一种动态的操作表象，也可以对应学生应用乘法分配律的过程。通过这样的直观操作性表征，学生能充分经历乘法分配律的知识的诞生过程。通过操作，“乘法分配律”对于学生来说就不是一种外在的学习任务，而是一种内在的知识建构。

在操作性表征过程中，学生需要一边操作一边思考，一边操作一边记录，从而对操作进行转换、转译。学生不仅要用“双手”进行操作，而且要用“头脑”进行操作。教师只有引导学生将“手上的操作”与“头脑中的操作”相结合，才能有效地促进学生对数学知识的建构和对数学知识的创造。

二、图像性表征：让学生的学习有辅助

在数学学科中，“数与形”是一对姐妹。华罗庚说，“数形结合百般好，隔离分家万事休”。教学中，教师可以引导学生进行数学学习的图形表征、图像表征，通过图形、图像表征，丰富学生的数学认知，深化学生的知识表象。“数”可以转化成“形”，“形”可以转化成“数”。“数”与“形”之间可以相互转化、转译。通过图形、图像表征，学生能对数学知识进行数量、结构、意义和内涵等方面的探索。

比如，教学“乘法分配律”这部分内容时，教师不仅可以以学生的生活事理作为支撑来促进学生的数学理解，也可以以学生的动手操作为支撑来促进学生的数学理解，还可以引导学生建构“等宽的长方形”。在分别计算两个等宽的长方形的面积以及整个大长方形的面积后，学生通过观察、比较就能发现，两个等宽的长方形的面积之和就是大长方形的面积。由此，引导学生通过“两个等宽的长方形的面积之和以及大长方形的面积”，建立“乘法分配律”的图形模型、图像模型。有了这样的一个数学模型，学生的数学思考、数学探索、数学应用等就有了直观的、具体的表象支撑。相较于操作性的表象支撑，图像性的表象支撑是一种静态的支撑。或者说，操作性的表象支撑是一种过程性的表象支撑，而图像性的表象支撑是一种结果性的表象支撑。过程性的表象支撑与结果性的表象支撑相辅相成、相得益彰，它们共同助推学生对相关的数学知识的理解。可以这样说，数学知识具有双重属性，即过程属性和结果属性，或者说是结构属性与对象属性。如果说操作性表象表征的是数学知识的过程属性（结构属性），那么，图像性表象表征的就是数学知识的结果属性（对象属性）。在解决数学问题的过程中，学生也能借助直观的支撑，灵活、有效地应用乘法分配律。

图像性表征是学生数学学习的有效表征方式，图像性表征的关键在于引导学生将数与形结合起来。在数学教学中，教师要培养学生利用数形结合进行思考、探究的习惯，提升学生的图像结合思维、探究的品质。图像性表征，让学生的数学思维、数学认知变得可感、可触摸、可视。

三、语言性表征：让学生的学习有载体

语言是思维的外壳，学生的思维绝大多数都是通过语言来表征的。海德格尔说，“语言是存在的家园”。作为一门学科，数学有着自身的语言系统。数学的语言系统既与其他相关学科以及学生的生活有关联，又有其自身的自足性。换言之，数学语言表征有着自身的独特性的功能。语言是学生数学学习的载体、媒介，也是学生数学学习的“拐杖”。语言能表征思维，还能激发学生的思维、深化学生的认知。因此，在数学教学中，教师要引导学生用语言进行表征。

用语言进行表征包括引导学生用口头性的数学语言表征和用书面性的数学语言表征。口头语言表征，通常出现在师生、生生的互动之中，而书面语言表征通常出现在数学作业之中。在数学教学中，教师要引导学生进行语言表征，让学生的语言性表征走向规范、走向科学。尤其是对于数学学科中的一些术语，教师要引導学生深刻地理解和把握。比如教学“乘法分配律”这部分内容时，在引导学生借助生活事理、动手操作、数形结合等进行表征之后，教师还要引导学生用语言对“乘法分配律”进行表征。对于这部分内容，如果没有教师的有效引导，学生是很难进行规范性的语言表征的。而有了教师的引导，学生就能将“乘法分配律”的分配过程有效地表达出来。比如“两个数的和与一个数相乘，就相当于将这两个数分别与一个数相乘，然后再将相乘的积加起来”“几个数的和与一个数相乘，就相当于将这几个数分别与一个数相乘，然后再将相乘的积加起来”“几个数的差与一个数相乘，就相当于将这几个数分别与一个数相乘，然后再将相乘的积分别相减”，等等。语言性表征能促进学生的数学思维、数学认知走向深刻。用数学语言来表征相关的知识，要注意序列性、循序性、渐进性等。

语言性表征是学生最主要的表征方式。在小学数学教学中，教师要培育学生的语言表征意识，提高学生的语言表征能力，提升学生的语言表征素养。语言可以有效地表征学生的认知、思维过程，也可以让学生的数学思维变得清晰可见。因此，从某种意义上说，学生学习数学就是在学习一种语言。正如斯托里亚尔所说，“数学学习就是数学语言的学习”。

四、符号性表征：让学生的学习有依凭

符号性表征是学生数学学习的又一个重要的方式。在小学数学教学中，教师要引导学生将语言、图形等抽象化、概括化，这就需要将相关的语言、图形等用符号来表征。数学学科本身就是一个符号系统。用数学的符号来表征，不仅能让数学知识的表征变得简约，而且能促进学生的数学理解。在用符号表征数学知识的过程中，学生能有效地理解数学知识与符号之间的对应关系。当然，这种对应关系可能是一一对应，也可能不是一一对应。如“s”这个符号，在行程问题中表示路程，在图形计算中则表示面积，等等。

符号性表征是学生数学学习表征最终凝聚而成的一种结果性样态。相较于图像性表征、语言性表征，符号性表征更加精准和简约，更能培育学生的抽象性思维。当学生经历了充分的数学探索之后，教师要积极鼓励学生用符号进行表征，让学生积极地猜想、建构、创造数学符号。尽管学生对数学符号的猜想、建构、创造等是稚嫩的，但是积极鼓励学生的符号创造，有助于培育学生的符号思维，催生学生的符号想象。如在“乘法分配律”的教学中，教师在引导学生充分经历了操作性表征、图像性表征以及语言性表征之后，要让学生学会用符号进行表征。教学中，教师可以引导学生用符号来概括。比如，有的学生用图像化的符号来表征：（△+☆）×○=△×○+☆×○；有的学生用字母来表征：（a+b）×c=a×c+b×c，等等。在用符号进行表征的过程中，教师要允许学生犯错，鼓励学生创新，要激发学生用符号表征数学知识的兴趣，让学生养成用符号表征数学知识的意识、能力和习惯。当学生学会了用符号表征数学知识之后，就能有效地提升自我的数学学习力，发展自我的数学核心素养。同时，用数学符号来进行表征，还能促进学生对符号的理解和应用，使学生的数学思维从直观动作走向具体形象，再从具体形象走向抽象逻辑。在数学教学中，教师要抓住每一次符号表征的机会，为学生打造符号表征的平台，赋予学生符号表征的时空和权力，让学生敢于用符号表征、善于用符号表征、乐于用符号表征。让符号表征成为学生数学学习的一种常态，成为学生数学学习的一种方式。

符号是多元化的，因此符号表征也是多元化的。但是，作为数学学科约定的符号表征却具有唯一性。在数学教学中，教师要引导学生感受、体验到这种符号表征的唯一性、约定俗成性、规定性等。只有引导学生感受、体验到用符号表征数学知识的合理性、合法性，才能让学生真正理解数学符号表征的唯一性，领略到数学符号表征的意义和价值。在数学教学中，教师要引导学生掌握确定性的符号表征的方法，让学生认识到符号与所表征的数学知识之间的映射关系。这样，符号就不是一种僵化的存在，而是有着鲜活的生命力。符号性表征有助于激活学生的数学思维，促进学生的数学理解、数学迁移和数学应用。

表征是学生数学学习的一种重要方式，也是一种数学教学思想。基于不同的数学知识，或者基于同一知识的不同形态，又或者基于不同学生的认知差异，数学表征应是多元化的。数学表征不仅能激发学生的数学学习兴趣，调动学生的数学学习积极性，而且能激发学生的创造性。对于数学学习来说，表征越是多样化，学生对数学知识的理解也就越丰富。在多元表征中，教师还要引导学生进行转译、转换，让学生对数学知识的理解更加清晰，对数学知识的把握更加深刻。多元表征有助于促进学生对数学知识的意义建构。