初中数学教学中数学思想方法的“渗透”

徐文文

［摘  要］ 思想方法是隐藏在数学知识之后，在成百上千年的数学研究当中逐步积淀下来的、能够反映数学本质以及数学学科发展规律的精华. 当下的数学教学不能将教学重点放在数学思想方法的名称上，而应当将重点放在学生对这些数学思想方法的感悟与体验上. 反映数学思想方法教学最恰当的词汇是“渗透”. 数学思想方法的教学与落地，重在“体验”，因此真正的数学思想方法渗透过程，应当是学生在体验中运用数学思想方法的过程. 渗透不仅面向数学思想方法，还面向数学学科核心素养，因此渗透还可以成为数学学科核心素养落地的驱动力.

［关键词］ 初中数学；数学思想；数学方法；教学渗透

思想方法在初中数学教学中的地位毋庸置疑. 无论在怎样的教学改革背景之下，实施初中数学教学就一定会重视数学思想方法的价值. 而且无论在怎样的教学目标之下，只要重视数学思想方法教学，就一定能实现数学教学目标. 当然，我们必须正视的现实是，当教师带着不同的教学理念去实施数学思想方法教学时，其教学过程与教学结果都有所不同，且数学思想方法的教学有显性和隐性之分，比如有教师在幻灯片或者学生的学习单上，给出了相应数学思想方法的名称，以让学生有明确的认识与判断，这就是显性的数学思想方法教学. 这样的教学思路曾经在第八轮课程改革之初成为一种教学潮流，原因是这样的选择可以与三维目标中的“过程与方法”相匹配，可以体现数学思想方法的存在. 随着对课程改革反思的不断深入，人们发现，在这样的教学思路之下，数学思想方法教学的效果值得商榷，从某种程度上来讲，将教学重心放在数学思想方法的名称上，有本末倒置之嫌.

思想方法原本就隐藏在数学知识之后，且是在成百上千年的数学研究当中逐步积淀下来的、能够反映数学本质以及数学学科发展规律的精华. 当给这些具有高度概括性的思想冠以数学思想方法的名称后，当下的数学教学显然不能将教学重点放在数学思想方法的名称上，而应当将教学重心放在学生对这些数学思想方法的感悟与体验上. 特别地，对初中生来说，只是机械地记住某一数学思想方法的名称毫无意义，但如果能够给他们提供一个切实体验数学思想方法的空间，那么他们就能形成属于自己的感悟与认识，而这些认识又可以迁移到新的学习或者生活情境当中，从而体现数学思想方法的应用价值. 本着这样的教学思路，笔者认为，反映数学思想方法教学最恰当的词汇，就是“渗透”.

下面以苏科版“三角形的中位线”教学为例，谈谈笔者对数学思想方法教学中的“渗透”的认识.

渗透——数学思想方法落地的恰当比喻

初中数学教师在理解数学方法的时候，可以适当地拓宽研究范围，比如从生活的角度去认识“方法”的作用. 生活当中的很多场合都需要运用不同的方法，比如系鞋带有系鞋带的方法，做飯有做饭的方法等，这些方法的运用者未必知道这些方法的名称（很多时候生活中的一些具体方法也没有确定的名称），但是方法运用者却可以很熟练地完成这些动作，这就是方法在起作用. 诸如这样的例子举不胜举. 从这些例子当中我们不难发现方法的价值体现在能帮助方法运用者解决问题上. 同样的道理，教师教学数学思想方法时，也应当追求学生的体验与运用，而这样的理解通过“渗透”一词来解释，可以发现其中存在着充分的合理性，所以“渗透”是数学思想方法落地的恰当比喻.

有人说，如果将数学知识比喻成数学学科的血肉，那么数学思想方法就是数学学科的灵魂. 既然是灵魂，那就是一种无形的存在，同时又是不可或缺的存在. 人之所以能够感受到灵魂的价值，在于人可以活着做很多有意义的事情；对数学学科而言，要让学生感受到数学思想方法的价值，当然就在于引导学生带着数学思想方法去进行新知识的学习，成功地解决具有挑战性的问题等. 对初中生而言，这样的数学思想方法教学，显然不在于让学生在学会新的知识或者解决新的问题之后，能够宣称自己运用了某某数学思想方法，而在于学生有了这样的经历之后，能够感悟到自己对数学思想方法的运用.

这就是一个润物无声的过程. 举一个简单的例子，初中数学教学中最常见的数学思想方法是数形结合，很多代数与几何知识的学习与应用中都有数形结合的身影. 尤其是当数量关系比较抽象的时候，我们就可以借助图形来使数量关系变得更加形象；而在描述图形之间规律的时候，又常常会借助数量关系来进行分析. 对初中生来说，这是一种司空见惯的学习思路，他们可能不知道数形结合这一概念，但这并不影响他们基于数形结合思想方法的运用去实现新知识的学习与新问题的解决. 在这样的学习过程中，数形结合就是隐性的. 学生学到了相应的数学知识，且伴随着不同的数学概念以及规律，他们能够将这些概念与规律纳入原有的认知体系当中，从而在丰富自己数学认知的同时，形成一定的问题解决能力. 在这种情形之下，学生完全不需要知道什么是数形结合——当然相对于其他数学思想方法而言，数形结合的概念比较形象，学生也容易理解，因此即使采用显性教学也无不可. 笔者在这里举这个例子就是想强调——对于数学思想方法的教学，重在渗透！润物无声的效果越好，数学思想方法教学的效果也就越好.

渗透——数学思想方法落地的案例分析

从上面的分析可以发现，在初中数学教学中，数学思想方法的教学与落地，重在“体验”，因此真正的数学思想方法的渗透过程，应当是学生在体验中运用数学思想方法的过程.

“三角形的中位线”在苏科版教材当中，被编排在了“中心对称图形”这一章，接在了平行四边形之后. 教材设计这部分内容，可以说是别具一格——其首先设计了一个建立在学生操作基础上的问题：怎样做才能将一张三角形纸片剪成两个部分，并且使这两部分可以拼成一个平行四边形？

从学生的角度来看，这个问题涉及多个层面的内容，比如学生是选择动手做还是动脑思考——通常来说，抽象思维能力不够的学生会选择前者，也就是这部分学生会借助自己的动作技能以及形象思维能力来解决这个问题；而抽象思维能力较强的学生，则会在大脑当中通过想象建构表象，然后对表象进行加工，从而解决这个问题. 从教学效果的角度来看，教师教学时可以让学生先动手操作，然后进行回想（冥想也行），这样学生就可以在形成感性经验的基础上，让自身的表象变得更加清晰.

在这个过程中，学生所感知到的学习过程，其实就是对三角形的加工——剪切与拼凑. 这个过程越丰富，学生就越能认识到三角形的中位线与第三边的长度关系，尤其是当学生在大脑当中实现如图（教材里的图形，此处略）所示的剪切与拼凑时，他们就更能发现这样一个位置有其特殊性. 发现特殊性之后，其自然会进入学生的注意范围，学生就会开始寻求数量之间的关系. 这是一个自然切换的过程，切換的对象是原先加工的图形与后来的数量关系，而准确得出数量关系后，又可以反过来强化学生的学习成就感. 总体而言，这样一个教学过程，符合初中生的学习规律. 有课程专家强调丰富知识的发生过程，原因也正在于此.

从数学思想方法的角度来看，上述教学过程涉及的数学思想方法有数形结合思想、直观想象与逻辑推理思想等，下面具体阐述数形结合思想、直观想象与逻辑推理思想.

（1）数形结合思想. 最开始，问题中的三角形纸片在学生眼里是一个具体的物体，而在学生的大脑当中则是一个三角形. 当学生的思维对象发生切换时，实际上就完成了数学抽象. 在这个过程中，学生需要面对的问题是：将分割的三角形的两部分拼成平行四边形，于是需要根据三角形的边和平行四边形的边的关系（包括位置关系和数量关系），不断地去试错，以最终实现问题的解决. 此时，数、形两个对象交织在一起，形中的数量关系影响着学生的思维，因此学生能获得一个相对完整的数形结合思想体验过程.

（2）直观想象与逻辑推理思想. 学生大脑当中加工的是一个图形，这个图形需要变形，变形后又必须达成新的位置关系与数量关系. 可以说每一个学生在解决这个问题的时候，都希望自己能够灵光一闪，从而解决问题. 学生有这种想法很正常，也值得鼓励，因为这里既涉及几何直观、空间想象，又涉及逻辑推理，而这些既是数学学科核心素养的组成要素，又是数学思想方法的充分体现. 很多学生在解决问题的过程中，确实会出现灵光一现的情形，对于这种情形，我们很难做出解释，通常会被认为是顿悟的结果，对应的数学思想方法则更多的与几何直观相关；学生通过自身的几何直观与空间想象，可以减少试错的次数，同时能让自己的判断结果更接近正确结果；当学生对自己的猜想结果有所肯定时，数学学习中形成的实证意识，会驱动他们运用逻辑推理去证明，于是相应的数学思想方法会得到体验.

……

分析这些数学思想方法的出现，可以发现它们的共同特点在于，学生成功地体验了这些数学思想方法. 此时不需要学生说出这些方法的名称，但是可以通过学习反思的策略，让学生进一步思考自己是如何解决问题的. 事实证明，这样的反思还可以让学生进一步强化数学思想方法运用过程中的体验，并且将这种体验上升为一种个性化的默会认识. 这种认识会植根于学生的思维当中，且可以有效迁移，从而成为解决新的数学问题的有效工具.

这是一个实实在在的渗透过程，伴随着显性知识的学习，隐性的数学思想方法渗透其中，这让学生拥有了一个更加完整的数学学习过程.

渗透——驱动核心素养落地的重要推力

完整是相对的，核心素养视角下的初中数学教学追求的完整，还包括数学学科核心素养的落地. 当前，关于在初中数学教学中如何发展学生的核心素养的研究文献比较多，已经形成的初步共识是核心素养的落地依赖具体的教学过程，数学学科核心素养的落地则依赖具体的数学知识教学过程.

从这一点可以发现，数学学科核心素养与数学思想方法似乎存在相通之处. 应当说这一发现是符合规律的，核心素养与思想方法一样，依赖知识发生的过程而存在，通常也不适宜作为直接教学的对象，因此，渗透其实不仅仅面向数学思想方法，其也面向数学学科核心素养，所以“渗透”也可以成为数学学科核心素养落地的驱动力.

上面阐述的数形结合思想以及直观想象与逻辑推理思想，其实都与数学学科核心素养密切相关. 初中数学学科核心素养所强调的“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，能将数形结合、直观想象以及逻辑推理等容纳进去. 比如，数学的眼光从何而来？其实数形结合就可以帮助学生形成数学的眼光——现实世界中的实物经过抽象可以变成形，描述这些形则需要数的关系，当学生经历了这些过程后，数学眼光不就形成了吗？同样的道理，数学的思维和数学的语言也可以在这样的过程中得到培养.

总而言之，初中数学教师真正要做的是提炼出教材之中的思想与方法，通过对其深刻内涵的挖掘，真正实现数学教学的目的［1］. 当下，通过渗透的思路来实施数学思想方法教学，并促进数学学科核心素养的落地，是最为可行的.

参考文献：

［1］李秀文. 初中数学教学中思想与方法的渗透——评《数学教育研究方法论》［J］. 中国教育学刊，2021（12）：142.