数学化归思想在小学数学解题中的应用

文| 程晓峰，杨玉梅

数学是极富思维的一门学科，衡量学生数学思维品质的指标之一是解题能力。那么，如何展开小学数学解题教学？如何启发学生？我们可以从波利亚探索法中蕴含的化归思想得到启发。

一、题目呈现

题目一：

（1）妈妈买了体积是11200 cm3的假山、水草等饰物，放进长80cm、宽50cm 的玻璃鱼缸，完全浸入水中，水面升高了多少？

（2）有一个长方体鱼缸，从里面量得长是8 dm，宽是6dm，水深是6dm，放进去一块珊瑚石，水面升高了5 cm，这块珊瑚石的体积是多少？

（3）一个长方体玻璃缸，从里面量长是15 cm，宽是10 cm，把一个体积是300 cm3的西红柿浸入水中后，水面上升到12 cm，原来的水深是多少厘米？

（4）任选一个不规则物体（如苹果、桃子、土豆等），想办法计算出它的体积。把活动过程记录下来，并写成一篇数学日记。

题目二：一个酸奶瓶（如图1），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4cm3，当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8 cm，瓶子倒放时，空余部分高为2 cm（如图2），则瓶内酸奶体积是多少？

图1

图2

题目三：

两个相同的分数应用类型的数学题目：

（1）六年级原有女生人数是男生人数的80%，后来转来女生3 人，现在女生人数是男生人数的，请问原来六年级有多少人？

二、题目解法与分析

（一）题目解法

对于题目一：

（1）问：

已知假山、水草等饰物体积为11200 cm3，玻璃鱼缸的长为80 cm，宽为50 cm。鱼缸的形状为长方体。所以，完全浸没饰物后水面上升的高度为：50×80=4000，11200÷4000=2.8（cm），所以浸没饰物后水面上升了2.8 cm。

（2）问：

已知长方体鱼缸的长为8 dm，宽为6dm。投入珊瑚石后水面上升了5cm，5cm=0.5 dm，8×6×0.5=24。所以，珊瑚石的体积为24 dm3。

（3）问：

已知长方体玻璃缸的长为15 cm，宽为10 cm，西红柿体积为300 cm3，所以，在水中浸没后水面上升的高度为：300÷（15×10）=2（cm），因此，原来的水深为：12-2=10（cm）。

（4）问：

要测量如苹果、桃子、土豆等的体积，根据前面三个问题的解决思路：首先，找到一个体积易求的规则容器，测量其长、宽和高；其次，在容器中加入能够淹没所求物体的水，然后观察并记录物体淹没前后水面高度的变化；最后，用变化的高度同容器的长和宽相乘，不规则物体的体积即求解完成。

对于题目二：已知左右两个酸奶瓶形状和大小一致，体积相等，但左边是正放，右边是倒放，设瓶子的体积为V，正放时酸奶体积为V1，倒放时的酸奶体积为V2，分析题目能判断酸奶的体积前后相等，所以V1=V2，因此V-V1=V-V2，结合图像观察得知，左右空余部分的体积相等。不妨将左边不规则的空余部分替换为右边空余部分图形，此时的图形如图3 所示：

图3

已知酸奶瓶的容积为32.4 cm3，图3 得到的组合图形是高为10 cm 的圆柱形酸奶瓶的正视图。因此，该酸奶瓶的底面积是：32.4÷10=3.24（cm2），图3 中酸奶的高为8 cm，所以，酸奶体积为：3.24×8=25.92（cm3）。

对于题目三：

（1）女生人数的变化使前后男女学生的人数比发生改变，分析题目中的已知条件：

①全校女生增加3 人，全校男生人数不变

②（原有）女生∶男生=80∶100=4∶5=24∶30

③（现在）女生∶男生=5∶6=25∶30

保证男生在人数比中所占份额保持前后不变，则表明全校男生的人数不变。因此，前后女生人数比中份额的变动为25（份）-24（份）=1（份），根据已知条件①得出1（份）=3（人），所以原来的女生人数与男生人数比为24∶30，则女生人数为：24×3=72（人），男生人数为30×3=90（人），原来六年级人数为：72+90=162（人）。

（2）分析题目中的已知条件：

①小芳晚饭后看书17 页

②晚饭前，已看页数∶未看页数=3∶7

③晚饭后，已看页数∶未看页数=5∶6

因此，晚饭前的总页数份数应该为：3+7=10（份），晚饭后的总页数应该为：5+6=11（份），由于该书的总页数保持不变，所以寻找前后的总页数份数的最小公倍数：10×11=110。那么，晚饭前，已看页数∶未看页数=33∶77，晚饭后，已看页数∶未看页数=50∶60，小芳晚饭前后读书的份数变化为：50-33=17（份），因此1 份=1 页，总页数=110×1=110（页）。

（二）题目分析

题目一中的前三个问题：第一问是已知不规则物体体积，求解水面上升的高度；第二问是已知水面上升的高度，求解不规则物体的体积；第三问是已知不规则物体体积和水上升后的水面高度，求放入物体前原来水面高度。可以发现（1）问和（2）问中的已知条件和所求结果是相互转化而得到的，其已知条件和问题都有相似之处，考查学生能否将不规则物体转化为熟悉的规则物体，从而求其体积。（3）问是对前两问的变形。对（3）问的求解首先要求解出不规则物体后水面下降的高度，从而高度做差方得原来水深，这一问进一步培养学生思维的灵活性。三个变式问题求解后学生对“变化”会有更深的理解，理解变化有从小到大的上升趋势，也有从大到小的下降趋势，培养了学生思维的广阔性。题目一的（4）问让学生对前三个问题的理解进行升级。独立解决相类似的物体体积，学生会对前问进行分析，懂得从问题出发直接测量长、宽、高不易，需要借助其他规则物体来计算，其中自然理解必要的已知条件和数据是什么，从而测量规则物体的长、宽、高和水面的变化高度。根据（3）问的启示，学生进一步发现可以通过观察水面下降或者上升的高度两种测量方法来求解。

对比得知，题目二是对题目一的进一步变式，其同样是求解不规则物体体积，与题目一对比可知，瓶子放置方向的改变表明作为学生所需思维支架的规则物体变成了会同样发生变化的不规则物体，此时学生的思维受到阻抑。而波利亚的解题理论可以启发学生重新审视条件和问题，首先，需要学生思考已知条件是否能够充分确定未知量。其次，回忆曾经是否有一道与它有关并且解过的题目。为了有可能应用它，思考是否需要引入某个辅助元素将其转化成熟悉的问题。从这个分析路径出发，学生会思考需要把作为思维支架的物体即整个酸奶瓶转换成容易测量其体积的规则物体，这一过程需引入辅助元素，即图形的整合，将酸奶瓶替换为圆柱形的规则物体。此时，学生的思维由困惑转为通畅，根据题目一的求解思路自然而然地就能得出所需结果。

题目三看似与题目一和题目二不属于同一种类型，其侧重寻求在现实生活中存在的数量关系基础上建立起来的份数占比问题，考查因数量变动而导致分数比的变动问题。解决这类问题和解决题目一和题目二有其基本的通性通法，即寻求数量变动中的不变关系和不变量，最终通过用变化的分数占比来表达不变量，即通过已知条件的细分与改变转换成学生能够自主加以分析和解决的新的、数学的已知条件。题目三引导学生从生活实际出发来思考该题中存在的不变量。学生能够发现转校生中男生人数和阅读书籍的总页数都是未改变的量。根据波利亚的解题表，当教师引导学生关注到不变量是两个问题中均蕴含的特征后，下一步就应该执行波利亚解题中倡导的“你能找出已知数据与未知量之间的联系吗”。学生由此思考如何从分数比这一条件与新的条件“不变量的存在”同未知量建立关系，从而思考可以将分数比转化为分母或分子相同的新分数比。这样原有问题中的已知条件得到学生的重新叙述，学生的思维从分散、困惑转为明朗，此时可推出第三个问题“今年小亮的年龄是小英的2 倍，10 年前小亮的年龄是小英的7 倍，小亮和小英今年各多少岁”让学生思考。这时学生自然会去观察其已知条件与之前的题目已知条件的类似之处，即两人之间的年龄差也同样是不变量，继续执行波利亚解题表中的步骤：“这里有一道和你曾经解过的题目有关，你能利用它吗？”此时的利用显然已经体现出解题思路层次上的化归思想，将不熟悉的问题情景和数学问题尽可能通过改变已知条件、未知量来转化成自己熟悉的数学问题。依循这样的解题思路，学生自然不会认为数学过于灵活而不存在“通性通法”一说。

三、解题反思与启示

（一）通过“一题多解”贯通学生知识，培养学生良好的思维品质

数学知识是显性的，但是数学思考方式和思维是隐性的。题目一的求解过程并不烦琐，但是造成解题困惑的主要原因在于数学知识和数学方法的结合度不够，需要学生用数学方法把数学知识有机融合，而一题多解可以将学生分散的数学知识整合成有条理的整体。题目一的（4）问中从上升和下降两个方向求出不规则物体的体积已经初步体现出一题多解的解题思维。在解题过程中训练学生一题多解的解题思维能够提升学生思维的灵活性，从而逐渐形成“少算多思”的解题意识，为以后遇到相似的问题情境在寻求结果时，更追求简便且自然的解题方案。同样，题目三中的两个问题情境完全不同，但是其分析思路是相似而又不同的，学生在寻求数量关系中体会到不变量是解题的重要特征，从而发展思维的深刻性。

（二）通过渗透化归思想强化核心知识，培养学生思维的深刻性

小学图形与几何知识领域中对长方体、正方体、圆柱与圆锥的体积进行了研究，学生对规则图形的体积的运算过程有了研究范式。现实生活中不规则图形大量存在，同时两类图形在一定条件下可以相互转化，如何根据已有知识在解题中研究不规则图形的体积是提升学生思维品质的富有意义的问题。题目一和题目二之间有自然且有意义的关联，题目二的解题方案不是凭空产生的，其中的步骤需要借助以往的解题思路才能顺利完成。如果没有求解过类似题目一中的问题，那么学生在理解将酸奶瓶代表的不规则物体通过拼补组合的方式转化成熟悉易解的规则物体这一步骤的过程就会产生困惑，因此，教师需要引导学生总结一类相似问题的通性通法，对比其已知条件和所求结果之间的关系，从而让学生在看似多变的题目中把握其不变的特性，进而培养学生数学思维的深刻性。题目三不再是与图形紧密结合的题目，但是对培养学生厘清数量关系、转换数量关系的意识和能力是有益的。

通过以上分析可以看出，教学中最关键的问题不在于通过教学能使学生会做多少题目，针对每一个题目会多少种解法，而在于面对一个问题时，教师该如何引导学生正确思维，引导学生在掌握知识、技能、技巧、方法的同时，逐步理解数学的思想和方法，教会学生数学思考的方法，从而有效提升学生的数学素养。