高速铁路0.01～120 m波段轨道不平顺功率谱密度函数的构建

陈宪麦 ，董春敏，魏子龙，李赛，杨飞，孙宪夫

(1.中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；2.高速铁路建造技术国家工程研究中心，湖南 长沙，410075；3.中国铁道科学研究院集团有限公司 基础设施检测研究所，北京，100081)

轨道不平顺是轮轨系统的激扰源，是引起机车车辆产生振动和轮轨动作用力的关键因素，对列车的行车安全性、平稳性、车辆和轨道部件的寿命、养护维修以及周边环境品质等都产生不利影响。轨道不平顺的随机性特征决定了只能用随机振动理论相关统计函数来描述轨道不平顺的特征。功率谱密度函数为最常用的随机振动理论相关统计函数之一。各项不平顺的功率谱密度(PSD)函数也称为轨道谱，它可以反映出线路的随机特性和周期性成分。国外学者对轨道谱的研究起步较早，英国在1964 年便开展了对轨道不平顺的测试研究，得到各项轨道谱。之后，法国、日本、美国、德国等也提出适用于自己国家的轨道谱。但轨检车所测得的轨道谱波长范围为几米到百余米，一般只能满足低频振动分析。列车在高速行驶条件下，短波不平顺作为轮轨力的主要影响因素，是产生噪声的根源之一[1]，为此，研究者对短波不平顺进行了研究。SATO[2]在研究高频振动时，将计算轮轨表面实测短波不平顺数据所得不平顺谱进行简化，提出了与轮轨表面粗糙度系数相关联的短波谱。我国轨道谱的研究从20世纪60年代开始，目前已测量并公布多个典型轨道谱。长沙铁道学院随机振动研究室[3]分析了京广线三次测定结果，提出了Ⅰ级铁路干线轨道不平顺特征函数的表达式。王澜[4]对我国石太线的轨道垂向短波不平顺进行了实测，提出了我国50 kg/m钢轨线路垂向短波不平顺谱。罗林等[5]对我国干线轨道不平顺功率谱进行了分析，提出了我国主要干线和不同轨道结构、质量状态以及曲线、桥梁、焊缝等特殊地段的轨道谱。杨文忠等[6]采用文献[5]中干线7参数拟合公式对沪杭线实测不平顺进行了拟合，并与长沙铁道学院轨道谱[3]进行了对比。陈宪麦等[7-8]分析了秦沈客运专线轨道不平顺检测结果，提出了秦沈客运专线轨道谱及其评判方法。陈宪麦等[9]计算分析了京广、京哈、京沪等共12 条线路的轨道谱，提出了用于表征我国干线铁路轨道不平顺特征的轨道谱。田国英等[10]利用联调联试期间0 号综合检测列车和GJ-5 型轨检车的大量轨道不平顺检测结果，提出了武广高速铁路无砟轨道谱。徐磊等[11-12]分析了沪宁线和朔黄重载铁路轨道不平顺实测结果，分别提出了时速350 km 沪宁客运专线轨道不平顺谱和朔黄重载铁路轨道不平顺谱。基于京津、武广、郑西、沪杭、沪宁、京沪等高速铁路轨道不平顺检测数据，我国于2014年提出了高速铁路无砟轨道不平顺谱[13]。陈宪麦等[14]分析了青藏铁路轨道不平顺实测结果，采用Levenberg—Marquardt法及文献[5]中干线谱公式统计平均值谱并进行拟合。余翠英等[15]计算分析了京沪和哈大高速铁路轨道不平顺谱，并采用高速铁路无砟轨道不平顺谱进行拟合。高望翰等[16]分析了某高速铁路高低不平顺实测数据，提出了功率谱密度的7阶多项式拟合谱模型。郝晓莉等[17]计算并分析了大秦和朔黄重载铁路2～70 m 波长范围内的轨道不平顺谱特征，提出了重载铁路轨道不平顺谱。但不同的不平顺谱有各自的速度或线路等级，对应不同的波长范围，如中国高速铁路无砟轨道高低、轨向谱的检测波长范围为1.5～120.0 m。从目前已知的轨道谱可以看出，即使速度等级相同，其轨道谱表达形式也不同，且已知的轨道谱对其他线路的适用性较差。现有轨道谱形式差异性大，且多以某一频段(如短波、中波或中长波)为主，对更宽频带(如包含短、中、长波段的波段可以简单称为“全波段”)轨道谱研究较少，在高速行车条件下，短波激扰不容忽视，对全波段轨道谱的研究非常必要。为此，本文作者基于波磨小车与综合检测列车测得的高速铁路轨道(面)不平顺结果，对数据进行预处理，分别计算并分析线路的功率谱密度，并对周期成分进行分析；对所计算的轨道谱进行统计分析，求得中位谱；对中位谱进行拟合，提出短波、中长波频段和全波段的轨道谱表达式；将本文提出的拟合谱与既有谱进行对比，对线路状态进行评判。

1 轨道不平顺数据及预处理

1.1 短波不平顺数据

本文所分析的高铁短波不平顺数据的有效检测波长范围为10～1 000 mm，测试区段设计速度为250 km/h，基础结构为路基与桥梁(无隧道)的有砟轨道结构。采样频率为2 mm/点，检测数据包含左、右轨面高低不平顺，滤波波长分段为[10，30)、[30，100)、[100，300)和[300，1 000] mm。

1.2 中长波不平顺数据

中长波不平顺数据为2019 年某高铁线路实测数据，该线路基础结构为无砟轨道，时速为300 km。每个季度检测2次，全年上、下行共有16次检测数据。检测数据主要为轨道几何形位数据，采样频率为0.25 m/点。

1.3 数据预处理

轨道不平顺的测量设备受自身和外界因素的影响，在某些区段有异常或失真的现象，因此，需要对轨道不平顺数据进行预处理，剔除异常数据。目前，轨道不平顺数据预处理主要包含剔除异常值、消除趋势项和检验平稳性等。此外，对于短波不平顺数据，需要处理程序中出现的“NAN”问题。

对于异常值，按文献[18]中规则进行剔除。以高低不平顺为例(见图1)，采用该方法可有效剔除异常值。

图1 轨道高低不平顺异常值Fig.1 Abnormal data of track longitudinal irregularity

此外，在分析轨道不平顺的数据时，通常要消除轨距和水平2项不平顺的趋势项。本文仅对高低和轨向不平顺进行分析，不需要消除趋势项。

在进行谱分析前，对数据按照文献[19]提出的轮次法进行平稳性检验。首先，将轨道不平顺序列平均分布，并计算各等份的均值；其次，计算数据整体的均值；第三，按文献[19]中的方法计算轮次数r；最后，根据不同情况判断数据的平稳性。以左高低不平顺为例，将其分为26 等份，并计算各等份均值，与整体均值进行比较(见图2)，可以求得轮次数r=16。根据文献[19]，当等份数N=26，显著水平α取0.05时，若轮次数满足7 ＜r＜18，则为平稳数据，因此，本文分析数据为平稳数据。

图2 轮次法平稳性检验Fig.2 Stability test of Lunci method

2 轨道不平顺谱的分析计算

采用平均周期图法分析功率谱密度。窗函数采用余弦矩形窗，轨道谱的计算长度参照规范[13]，按表1取值。

表1 轨道谱计算长度与最大波长对应关系Table 1 Relationship between calculation length of power spectral density of track irregularity and maximum wavelength

采用数据预处理方法和实测谱计算方法，分别对短波和中长波实测数据的功率谱密度进行估计，并对其周期性成分进行分析。

2.1 短波不平顺谱特征分析

短波不平顺功率谱密度见图3。由图3可知：

图3 短波不平顺功率谱密度Fig.3 Power spectral density of shortwave track irregularity

1) 在波长[10，30) mm范围内，功率谱密度曲线存在多处尖峰值，对应波长为11、14、22和25 mm，多与波磨有关。

2) 在波长[30，100) mm范围内，同样存在多个周期成分，对应敏感波长为33、40、50和64 mm。

3) 在波长[100，1 000] mm 范围内，功率谱曲线较平稳，主要体现随机特性。

2.2 中长波不平顺谱特征分析

高铁线路左高低、右高低、左轨向、右轨向、中心高低和中心轨向的轨道不平顺功率谱密度见图4。从图4可知：

图4 中长波不平顺功率谱密度Fig.4 Power spectral densities of medium-long wave track irregularity

1) 左高低不平顺和右高低不平顺功率谱密度随着波长的变化基本一致，这说明左、右高低不平顺相似，与实际情况一致，且中心线路高低不平顺和单轨的高低不平顺波长特性相同。总体上，谱线存在12 个周期性成分，所对应的波长分别为1.06、1.30、1.70、2.50、3.20、4.00、5.00、6.60、8.00、10.00、20.00和33.00 m。其中，不同波长的周期成分对应不同的形成因素，如波长在2 m 以下，大多对应钢轨在焊接时接头焊接不好或者轨枕的间隔不均匀等因素；33 m(及其5 m、8 m、10 m倍频)与32 m简支梁形成的不平顺相关[20]。该路段采用CRTSII 型板式无砟轨道结构，结构长×宽×高为6 450 mm×2 550 mm×200 mm，因此，3.2 m 和6.6 m 的波长的周期性成分与1/2 轨道板长度和轨道板长度相关。

2) 左轨向不平顺和右轨向不平顺的功率谱密度随波长的分布基本一致，说明在实际中，左右轨的平顺状态基本相同，且中心线路轨向不平顺谱与单轨的轨向不平顺谱特征相同。对3条谱线来说，波长在8 m以上的功率谱密度曲线较平滑，主要由随机成分构成。而1～8 m的波长范围内谱线有明显周期性波长，如1.05、1.30、1.60、3.00 和6.00 m等，其中，6.00～8.00 m可能与钢轨在轧制、运输与铺设过程中产生的硬弯等有关。

2.3 中长波不平顺的分位谱

参考文献[21]中的谱分级方法，针对中长波不平顺谱16个样本，包括左高低、右高低、左轨向、右轨向、中心高低和中心轨向，采用统计学中四分位数法，得到25%、50%和75%样本以及下、上包络线，并选取50%样本即中位谱作为建议值，采用非线性最小二乘法进行拟合(见图5)。

图5 左轨向不平顺功率谱密度百分位谱Fig.5 Percentile power spectral densities of left track alignment irregularity

3 轨道不平顺谱的拟合分析

3.1 拟合思路

计算获得的轨道不平顺功率谱由离散的数据点组成，包含宽带成分和周期成分，无法用确定的函数式来表达，需要采用拟合的处理方法获取其近似的函数表达式。既有研究提出了很多类型的拟合函数式，我国高速铁路推荐使用分段表达的形式[13]，即

式中：S(f)为轨道不平顺功率谱密度；f为空间频率；A0和n为待定参数。

轨道不平顺功率谱均采用双对数坐标展示，谱线采用式(1)拟合。对式(1)两边取对数，得

可以发现，在双对数坐标中，以式(1)为拟合公式的谱线以直线的形式呈现，并且为分段直线，这能很好地将每一段数据谱线表达出来，公式形式简单，参数较少；此外，采用分段拟合的方式，拟合效果好。但式(1)人为地割裂了轨道谱函数的连续性。本文基于多项式拟合的思路，采用非线性最小二乘法进行拟合，提出针对短波、中长波乃至全波段的拟合公式。

3.2 短波不平顺谱的拟合分析

根据所计算短波不平顺(左高低和右高低)功率谱密度，构造如下拟合公式：

式中：Ss(λ)为短波不平顺功率谱密度；λ为波长，，f为空间频率，即波长的倒数；A、B和C为轨道短波不平顺功率谱函数的特征系数。根据式(3)，短波不平顺谱拟合结果如图6所示。

图6 短波不平顺轨道谱拟合Fig.6 Power spectral density fitting of shortwave track irregularity

由图6可知在[0.01，1) m波长范围内，所提出的拟合公式可以很好地反映其变化趋势。各特征系数见表2。

表2 短波不平顺轨道谱特征系数Table 2 Characteristic coefficient of power spectral density of short-wave track irregularity

3.3 中长波不平顺谱的拟合分析

目前轨检车的检测频率为4点/m，虽然其测量有效波长范围为1.5～120 m，但据每米4 个点的采样数据可以粗略地勾勒出1 m波长的波形轮廓，可以将其分析波长延拓到1～120 m，也便于整合0.01～1 m 波段的短波不平顺，构造更宽波段范围(0.01～120 m)的轨道谱。因此，本节中长波不平顺谱的波长计算范围延拓到1～120 m，拟合公式如下：

式中：Sml(λ)为轨道中长波不平顺功率谱密度；A～D为轨道中长波不平顺功率谱函数的特征系数。

按式(4)，对高低和轨向4 项不平顺和中心高低、中心轨向2 项不平顺功率谱中位谱进行拟合，结果如图7所示。

图7 中长波不平顺轨道谱拟合Fig.7 Power spectral density fitting of medium-long wave track irregularity

由图7可知在1～120 m的波长范围内，式(4)可精确地对所计算的轨道不平顺功率谱密度进行拟合。

按式(4)得出的中长波不平顺中位谱各拟合特征系数如表3所示。

表3 中长波不平顺轨道谱特征系数Table 3 Characteristic coefficient of power spectral density of medium-long wave track irregularity

由图7可知，左高低和右高低功率谱的特征非常相近，但不平顺谱的拟合特征系数相差较大(表3)，对于轨向不平顺也有相同的结论。因此，可以采用式(4)和表3中参数对轨道谱中长波进行拟合。式(4)仅仅含4个参数，表达形式简洁。

3.4 全波段不平顺谱的构建

目前所提出的各类轨道谱均有其波长限定范围，如王澜[4]建议的短波谱有效波长范围为[0.01，1) m。针对本文不同波长的不平顺拟合公式，虽然短波谱和中长波谱数据来源分别为有砟轨道和无砟轨道，但时速分别为250 km 和300 km，从速度等级的角度考虑，将其进行统一，提出0.01～120 m的轨道不平顺谱，表达形式为

式中：Sf(λ)为轨道全波段不平顺功率谱；A，B，…，G分别代表全波段轨道不平顺功率谱函数的7个特征系数。

采用式(5)对波长范围为0.01～120 m 的功率谱密度函数进行拟合，结果如图8所示。

图8 0.01～120 m轨道谱拟合Fig.8 Power spectral density fitting of track irregularity of 0.01-120 m waveband

由图8 可知在波长0.01～0.45 m 和0.90～120 m范围内谱线拟合良好，在0.45～0.90 m 范围拟合有些偏差。经分析可知，在波长0.50 m 处，功率谱密度存在1个较大值；其次，在0.45 m处出现1个严重不规则拐点，使得在拟合上出现偏差。

按式(5)进行的全波段不平顺谱的拟合特征系数如表4所示。

表4 0.01～120 m轨道谱特征系数Table 4 Characteristic coefficient of power spectral density of track irregularity of 0.01-120 m waveband

4 轨道不平顺谱的对比分析

4.1 短波不平顺谱

为了进一步对比分析本线路的特性，根据本文提出的短波不平顺谱的拟合公式与SATO[2]建议的3 m 以下的短波谱和王澜[4]建议的50 kg/m 钢轨的短波不平顺谱进行对比分析。其中，SATO[2]建议短波谱中轮轨表面粗糙度系数的取值参考文献[22]中采用“黄金分割法”对180 km/h线路进行反演所得结果，即3.15×10-7，结果如图9所示。

图9 短波轨道不平顺谱比较Fig.9 Comparison of power spectral density of shortwave track irregularity

由图9 可知：SATO[2]建议短波谱和50 kg/m 钢轨线路短波谱均为直线，且趋于平行。而本文拟合谱为1 条向下凹的曲线，位置介于SATO[2]建议短波谱和50 kg/m钢轨线路短波谱之间，且其弦与两者近似平行。

从谱线位置看，SATO[2]建议短波谱位置最低，本文拟合谱次之，因此，SATO[2]建议短波谱线状态最好。

4.2 中长波不平顺谱

将本文提出的中长波不平顺(波长取1～120 m)拟合谱与德国低干扰谱[5]、中国高速铁路无砟轨道谱[13]和武广高速铁路谱[10]进行对比，结果如图10所示。

图10 中长波轨道不平顺谱比较Fig.10 Comparison of power spectral density of medium-long wave track irregularity

由图10可知：对于高低不平顺谱(图10(a)和图10(b))，在波长2 m 以下范围内接近于德国低干扰谱，其余波长范围低于德国低干扰谱；在波长7 m以上时，谱线更接近于中国高速铁路无砟轨道谱，但整体均高于中国高速铁路无砟轨道谱；对于轨向不平顺谱(图10(c)和图10(d))，在整个波长范围内，谱线均高于中国高速铁路无砟轨道谱和武广高速铁路谱；当波长在2 m以下时，谱线高于德国低干扰谱；在波长大于7 m时，谱线接近于中国高速铁路无砟轨道谱。总体来说，拟合谱接近于中国高速铁路无砟轨道谱。

5 结论

1) 短波不平顺的周期性成分与波磨和钢轨接头相关；中长波不平顺范围内存在多个周期性成分，与32 m简支梁不平顺、CRTSII型板式无砟轨道结构以及钢轨在轧制、运输与铺设过程中产生的硬弯等有关。

2) 提出了高速铁路短波、中波、中长波和全波段的轨道谱拟合公式，谱线拟合效果好；与中国高速铁路无砟轨道谱拟合公式相比，不需要进行分段处理，没有破坏轨道谱函数的连续性，使应用更加简便；此外，本文所构建的轨道谱表征函数形式简单，拟合效果好，参数少，适用性强。

3) 短波不平顺谱线位置介于SATO建议短波谱和50 kg/m钢轨线路短波谱之间，说明线路平顺状态介于这两者之间；中长波轨道谱整体上接近于中国高速铁路无砟轨道谱，说明线路平顺状态相近。