基于力学超材料的柔性机械臂设计技术

程基彬 戴 宁 郭 培 熊继源 叶世伟 程筱胜

南京航空航天大学机电学院,南京,210016

0 引言

传统的工业刚性机械臂结构一般由几段刚性结构和关节组成,关节的数量决定了机械臂的自由度大小。但在一些特殊的工作环境中(如复杂内腔的检视[1]、人体内的微创手术[2]、航天器在空间的操作[3-4]等),连续柔性机械臂可以作为一个更好的解决方案[5]。连续柔性机械臂因其更多的运动学自由度[6-8]和连续性,在需要大变形和空间受限特定工作环境下可以完成更多的工作。

柔性机械臂在国内外已被大量设计和研究。ROBERTSON等[9]设计了一种控制良好的真空动力软体气动执行器,作为软体机器人或柔性机械臂的单元。DEASHAPRIYA等[10]设计了一种多节线控柔性机械臂,研究了该机械臂的运动学模型。DONG等[11]提出了一种由多节梯度变化的执行器组成的柔性机械臂,并研究实现了新的控制算法。JIANG等[5]提出了一种二维多段可伸缩柔性机械臂的控制算法,通过梯度下降法和神经网络来保证所提算法的准确性和有效性。范需等[12]提出了一种基于分段常曲率假设的气动软体机器人变形预测方法。QIN等[6]设计了一种绳索驱动的连续关节仿生蛇形连续机器人,进行了运动学分析、轨迹规划和负载能力测试。

常见的柔性机械臂结构包含刚性结构加活动关节和波纹管类的弹性结构。力学超材料是一种人工结构,其力学性能由其结构而非组成来定义[13],由于其性能独特且可编程设计,因此可以作为柔性机械臂的结构单元。GREGG等[14]设计了一种超轻晶格结构及其复材制造工艺,探究了该结构的性能。CRAMER团队[15-17]和JENETT团队[18-21]也进行了相关研究,具体如下:文献[15]基于超轻晶格结构提出了一种可编程的数字变形机翼设计方法并应用于航空航天领域;文献[16]研究了超轻晶格结构的弹性变形和编程装配,实现了机翼的各向异性和整体主动变形;文献[17]提出了一种基于超材料的商用飞机级别大尺寸离散晶格机翼的分析方法,并且实现了有效的数值模拟;文献[18]提出了一种通过模块构建的可逆装配体实现主动变形的方法,设计了具有良好空气动力学特性的主动变形机翼;文献[19]提出了一种可组装的离散力学超材料构建系统,设计了四种力学超材料并完成其性能的研究;文献[20]对大规模的胞元组装自动化系统进行了研究;文献[21]通过各向异性的可组装力学超材料设计了一根可变性梁,可作为蛇形机器人的主体在水中实现游动。

综上所述,本文将力学超材料和柔性机械臂两者结合,研究以力学超材料为结构主体的柔性机械臂(以下简称柔性臂)设计技术。本文通过柔性臂单元的结构和分段常曲率假设,建立了胞元组的变形模型和变形参数的计算方法,得到了单节和多节的柔性臂单元变形预测模型,最后通过实验对预测模型进行了验证,完成了预定的弯曲角度和空间的检视。

1 技术路线

本文以三维力学超材料单胞为基础,构建柔性臂的结构单元,阐明驱动原理;柔性臂结合了分段常曲率假设,进行了以叠加为核心的分段变形建模,进一步提出了胞元组的变形模型;通过变形数学模型得到了单节柔性臂单元的变形预测模型,进一步提出了多节柔性臂单元的叠加变形预测模型;结合控制补偿策略等实验手段得到了实物实验结果;对比分析实验结果和模型预测结果,从而验证预测的可用性。综上,形成了图 1所示的技术路线。

图1 技术路线

2 柔性臂单元数学模型

2.1 柔性臂结构及驱动原理

柔性臂结构是由多个力学超材料的胞元组成,每个胞元由六片二维组元组装而成,如图2所示。二维组元有弹性 (橙色,零泊松比) 组元和刚性(灰色,正泊松比)组元两种。相同组元组装单胞的力学性能在正交方向上是一致均匀的,如图2a和图2d所示,其中图2a所示为零泊松比(弹性)胞元,图2d所示为正泊松比(刚性)胞元。混合单胞的力学性能表现出正交各向异性,如图2b和图2c所示。不同特性单胞组成的胞元组可以实现非均匀的变形。

(a)弹性胞元 (b)双向混合胞元 (c)单向混合胞元 (d)刚性胞元图2 力学超材料胞元图

对平面内的弯曲变形进行研究,选用图2c所示的单向混合胞元进行组合成为单节胞元组,如图2所示。混合胞元和修改的刚性胞元可组成单节柔性臂单元。刚性胞元内置一个驱动器,以提供柔性臂单元变形的驱动力,通过传力机构将驱动力作用于柔性臂单元末端。如图3所示,驱动力FT根据扭矩T和传力半径r计算而得,可表示为FT=T/r。

图3 单节柔性臂单元结构及其驱动原理图

2.2 分段变形建模

单一胞元是一段连续体,单胞变形量叠加得到柔性臂单元的整体变形量。根据分段常曲率假设,每一个胞元变形后的中心线可以看作一定曲率圆弧所对应的弦长,同一驱动器控制内的多个单胞中心线由多段弦连接而成,如图4a所示。

图4a中,α为胞元组的弯曲角度,αi(i=1,2,…)为第i个胞元对应的弯曲角度,Ri为第i个胞元弯曲圆弧对应的曲率半径,lri为第i个胞元的驱动绳索长度,si为第i个胞元弯曲后的中心曲线,d为胞元的初始边长。由图4中几何关系可得

(1)

(2)

其中,Rri为lri对应圆弧的曲率半径;a为一常数,表示胞元中心线到驱动绳索的距离,可由胞元边长d的一半减去单片二维组元的厚度h0得到,即a=0.5d-h0。

胞元中心线的起点和终点坐标可通过胞元的变形叠加得到,如图4b所示,点由蓝色表示,红色虚线为点坐标的增量。第二个胞元中心线的终点P2坐标(x2,y2)等于起点P0坐标添加各个方向上的增量,即(x2,y2)=(x0+Δx1+Δx2,y0+Δy1+Δy2)。

(a)胞元变形几何关系(b)胞元位置叠加关系图4 单一胞元变形示意图

2.3 胞元组变形建模

单节柔性臂单元包含多个变形单胞,由一个舵机驱动。如图5所示,图中黑色曲线为变形胞元的中心曲线,红色箭头为该柔性臂单元起点和终点的切向向量,向量与x轴的角度为θi,其中起点方向与x轴的角度为θ1,终点方向与x轴的角度为θ2,柔性臂的旋转角度αr=θ2-θ1的正负决定了柔性臂单元在坐标系下的两种不同弯曲形态。

图5 柔性臂单元弯曲变形

由图5中的几何关系易得

(3)

(4)

(5)

根据2.2节的胞元分段叠加关系,可以通过计算得到每个胞元中心线的起点和终点位置坐标。依据图5所示的几何关系,易得角度δ0=0.5(π-α1)和α′2=α1+α2,且图5中存在一定的累加关系,具体计算表达式如下:

(6)

(7)

(8)

式(6)～式(8)中,i=1,2,…,5,通过五次叠加得到了单节柔性臂单元末端的位置信息。图5中,si为单节柔性臂单元中第i个变形单胞的中心曲线,ki为第i个圆弧的曲率,(xi,yi)为位置坐标。

当两节柔性臂单元组合运动时,如图6所示,紫色线段为驱动胞元的中心线。通过分段区分变形和驱动单元,建立局部坐标系。在局部坐标系下柔性臂单元内的各个胞元变形可计算。b为一常数,表示驱动胞元的长度。Sj对应第j节柔性臂单元的变形曲线,其中(xSj1,ySj1)、(xSj2,ySj2)分别为该节单元的起点和终点。第j节单元起点可通过第j-1节单元的终点进行计算:

(9)

(10)

其中,β=αSj-αSj-1-…-αS1,αSj为第j节柔性臂单元的弯曲角度。柔性臂单元的终点坐标通过式(7)和式(8)计算而得。

图6 两节柔性臂单元叠加示意图

3 柔性臂变形预测模型

柔性臂的变形可以分为两个过程,如图7所示。首先是每个驱动单胞中的驱动器输出一段位移,使得驱动绳索收紧变形。绳索变形后的折线对应胞元弯曲后的变形圆弧。其次是变形胞元在绳索的作用下达成弯曲的形态。通过圆弧参数的叠加计算得到柔性臂单元末端的位置信息[22]。

图7 柔性臂变形描述空间对应关系图

变形圆弧参数到位置信息的变换是几何关系,不涉及动力学内容。因驱动器输出的扭矩数值恒定,所以驱动器空间至曲线参数的变化可以视为一个恒力的作用距离至圆弧参数的变换。舵机驱动器的额定扭矩影响柔性臂单元的极限变形角度。

3.1 单节柔性臂单元变形预测

单节柔性臂单元的变形预测如图8所示,图中的蓝色线段为驱动绳索,它距胞元组的中心线的距离为a,通过收缩使得S1节变形胞元产生角度为αS1的弯曲。该单元起点的坐标为(x0,y0),末端坐标为(x0+b+5d,y0),单元变形后末端坐标为(xS12,yS12)。

(a)中心曲线与驱动绳索关系图 (b)末端胞元参数示意图图 8 单一胞元组变形预测图

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

绳索收缩的长度lT等于卷绳器旋转角度γ对应的弧长,也等于初始绳索长度与弯曲后绳索长度之差,得到式(11)和式(12)。单节柔性臂单元的弯曲角度αS1等于5个胞元弯曲角度αi之和,得到式(13)。将式(1)和(2)代入联立后的式(11)和式(12)可得式(14),整理后得到式(15),即卷绳器旋转角度γ与每个变形胞元弯曲角度αi的关系式。

由2.3节可知,每个胞元的末端坐标是根据前端坐标推导而来的,柔性臂单元的末端坐标是通过单胞变形叠加而来的,所以柔性臂单元末端坐标相较于初始坐标的增量为胞元变形量之和,即

(16)

(17)

其中,xS11=x0+b,yS11=y0。至此,完成了一段柔性臂单元变形弯曲的过程预测,得到了具体的数学关系式。

3.2 多节柔性臂单元叠加变形预测

每个柔性臂单元都配有一驱动单元,可进行独立控制。多节胞元组的变形预测过程中,卷绳器旋转角度γ1、γ2分别控制柔性臂单元S1和S2的弯曲效果,可实现图9所示的单侧弯曲和S形弯曲,末端的方向变化如图9中红箭头所示。

根据3.1节的角度关系,可得

(18)

(19)

其中,α1～α5为柔性臂单元S1的第1～5个变形胞元的弯曲角度;α6～α10为柔性臂单元S2的第1～5个变形胞元的弯曲角度。

图9中紫色连接线为驱动胞元的中心线,由于柔性臂整体的结构属性,各部分在连接点处满足一阶连续,则图 9a所示的S形弯曲柔性臂末端坐标(xS22,yS22)可通过3.1节的结果叠加而来,其具体表达式为

(a)S形弯曲

(b)单侧弯曲图9 多节胞元组变形预测图

(20)

(21)

多媒体课件这种形式，可以改变过去单调的教学方式，让学生成为课堂的主体，教师则在一旁进行适当的点播；也可以让学生在多媒体的辅助下进行小组间的自主学习。如在教学New York的过程中，先让学生以小组为单位，查找一些关于New York的信息。再在课堂上，进行小组之间的展示和交流，共享资源。让学生学会上网查找对自己学习有用的信息内容，这激发了他们的学习兴趣，变被动为主动，让学生在老师的引导下进行小组间的展示和交流，这也可以构建出一个以学生为主体，教师为主导的课堂，改变了以往的传统教学方式。

图9b所示的柔性臂末端坐标(x′S22,y′S22)可表示为

(22)

(23)

通过以上两种弯曲情况的分析,可以进行三节及以上的柔性臂末端位置的预测。单节柔性臂单元的旋转角度αr的正负决定了坐标累加量和计算角度的选择。

4 实验结果和分析

4.1 实验环境

本文柔性臂结构的制造工艺选取成本低、灵活性高的多射流融合(MJF)三维打印。材料采用未来工厂公司未来7500高性能尼龙。驱动舵机选用DS3230,其余框架、背景板、线材、电源等均选用常见适用类型。本实验采用的单胞边长为45 mm,由于重叠的排列特性,d值取43 mm,a值取20.5 mm,b值取71 mm。单节柔性臂单元由1个驱动胞元和5个变形胞元组成。

实验验证平台如图10所示,整体平台框架由铝型材搭建而成,可实现柔性臂的多种初始位置;背景板装于框架上,可辅助结果的测量;柔性臂固定在框架上。分别测量柔性臂不同姿态下的弯曲变形,将预测模型的结果与实验结果进行对比。

图10 实验验证平台

4.2 实物实验与分析

对多节柔性臂进行弯曲实验,柔性臂能实现一个连续过程,图11展示了两个舵机同向旋转相同角度且角度在40.5°～94.5°的变化过程,每隔13.5°进行一次记录。

(a)40.5° (b)54°

(c)67.5° (d)81° (e) 94.5°图11 单侧弯曲连续变化图

两个舵机的旋转角度可以分别进行控制,如图12所示,以实现正负单侧弯曲(图12a和图12b)、正负S形弯曲(图12d和图12 e)和末端的摄像头观察(图12c)演示,从图12c的①中可以看到柔性臂末端有两个障碍物,②和③显示了摄像头拍摄到的障碍物,分别为黑色的碳纤维板和黄色的复材板。

将第3节中模型所预测的变形弯曲曲线与实验结果提取出的曲线进行对比,结果如图13所示。柔性臂末端角度的对比结果如表1所示。预测模型的误差统计如表2所示。

通过实验结果对比可知,在单侧连续弯曲情况下,随着舵机同时旋转角度的增大,x轴向的预测误差有增大的趋势,y轴向的预测误差有减小的趋势,而柔性臂末端弯曲角度误差变化较为平稳,但整体误差是在增大的。造成误差的主要原因是:在胞元组受力弯曲时,单个胞元存在一定压缩,影响预测模型中的参数会导致预测的弯曲角度都偏大;靠近根部的柔性臂单元受重力影响更大,弯曲角度会有所减小。由图13可知,越靠近柔性臂的末端,预测和实验的偏差就越大,因胞元弯曲并不完全满足分段常曲率假设,且由于装配方法的局限性,因此随着胞元的增多,累积的误差就会持续增大。

(a)单侧正向弯曲 (b)单侧负向弯曲 (c)末端摄像头观察

(d)S形正向弯曲 (e)S形负向弯曲

(a)40.5°对比 (b)54°对比

(c)67.5°对比 (d)81°对比 (e)94.5°对比图13 预测结果与实验结果对比

表1 柔性臂末端弯曲角度对比

表2 误差结果对比

5 结论

(1)提出了一种基于力学超材料的柔性机械臂结构。分析了柔性机械臂的驱动原理,对力学超材料单胞和胞元组变形进行了以分段和叠加为核心的建模,为柔性机械臂变形提供了基础。

(2)提出了单节和多节的柔性机械臂单元变形预测模型,通过实物实验验证了预测模型的可用性,从而为基于力学超材料柔性机械臂的设计提供了一种方法,并为多节柔性机械臂的变形预测提供了理论支持。