小学数学教学中尺规作图的价值及教学策略

■浙江省杭州市临平区育才实验小学教育集团新荷小学 张 彬

数学领域的研究过程离不开工具的辅助和应用。尺规作图源于古希腊，是研究数学几何的一种尤为重要的方法，也是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《课标（2022年版）》）中针对小学数学“图形与几何”课程教学的新增内容。小学阶段的学生没有太强的逻辑思维能力，在学习数学知识时难以在没有外部工具辅助的情况下通过想象构建具体的图形与模型。在此阶段采用尺规作图法，既可以帮助小学生更加直观地感受和理解课本知识，也可以在锻炼小学生的实际动手操作能力时促进小学生逻辑思维的形成，为他们日后的数学学习奠定基础。

一、尺规作图的诞生与发展

从字面意义理解，尺规作图指借助直尺和圆规进行几何图形绘制的一种辅助学习数学的方式，它在“几何与图形”课程教学与学习中具有重要意义。《课标（2022年版）》将尺规作图的学习从中学阶段提前到了小学阶段，文件要求教师通过尺规作图培养学生的动手能力和几何直观能力，逐步提高学生的核心素养，此举引起了教育行业的广泛关注。在数学研究领域中，每一种辅助研究的方式都是在历史的不断发展中诞生和完善。尺规作图的诞生和发展经历了三个主要的历史阶段。

第一个阶段是雅典时期，也是尺规作图兴起的时期，它最初在希腊数学史中出现。尺规作图主要的两个工具是没有刻度的直尺和圆规，前者可以画出无限延长的直线，后者可以在确定定点后画出不同大小的圆，二者结合则可以画出多种不受限制的结合图形。在这一阶段，尺规作图凭借要求低和能进行智力训练的特点广受欢迎。

第二个阶段主要以欧几里得在《几何原本》中提出的有关尺规作图的内容为主，他提出了五条尺规作图公设，即过两个不相交的点可以确定一条线段；延长线段可以确定一条直线；一个圆心和一条半径可以确定一个圆；直角相等以及有关三条直线相交的平行公设。

第三个阶段是尺规作图的三大难题。一是在有一已知圆的基础上做出与之面积相等的正方形；二是只通过没有刻度的直尺和圆规将任意一个确定的角进行三等分；三是在有一已知立方体的基础上作出体积为其两倍的另一立方体。这三个问题在古希腊时期就已经被提出，在数学史的发展过程中又先后被其他数学家证明不能用尺规作图解决。

目前尺规作图成为数学教材中的一部分，也成为教师和学生在日常教学与学习过程中都会使用到的教学工具。从小学中高年级开始，新知识依托于旧知识，有关尺规作图的相关知识在教材中的难度呈逐步上升并环环相扣的趋势，让学生在学习和应用过程中不断巩固、深化新旧知识。

二、小学数学教学引入尺规作图的价值

小学阶段是数学课程学习的奠基阶段，教师在教学过程中引用尺规作图的方法能够让学生更加直观地观察几何图形的本质，让学生自己动手操作解决简单的数学问题，在一定程度上能够培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣。尺规作图可以在数学几何图形学习中锻炼学生的多项个人能力，因为每一次作图时的推理、分析、思考过程都是对学生数学逻辑思维的一次综合性锻炼。

（一）培养学生的动手操作能力

动手操作是数学学习过程中必不可少的环节，数学课程中所有已知的公式和定理都是通过历史上许多数学家反复实验和验证后才被整理和总结出来的。小学生的年龄小，思维能力处在培养和发展的阶段。呈现在教材上的知识点大都语言简练，虽然便于学生记忆，但在理解上通常会存在一些困难，往往需要通过更加直观的观察和实际的动手操作展开思考。

以“矩形周长”相关知识为例，直尺可以画出一条直线，圆规可以确定两个点之间的距离，学生在学习的过程中可以利用直尺和圆规将不在一条直线上的多条线段准确移植到同一条直线上，以更加直观的视觉观察了解矩形的展开和周长的意义。学生在实际操作过程中能对相关的知识点形成更加深刻的记忆，也锻炼了自己的实际动手操作能力。

（二）增强学生的几何直观能力

数学几何图形的学习离不开用眼睛观察，学生在学习的过程中既要学会抽象的数学概念，也要知道抽象的数学知识在直观的构图中拥有怎样的表现形式。以直观的模型为支撑展开教学，对小学生而言至关重要，教师在教学过程中可以通过尺规作图的方法绘制更加精确的图形，减少因为作图和测量差异而对图形数据造成的误差，引导学生从视觉观察入手对图形进行探索和思考，感受数学的严谨性。

尺规作图还有利于让学生形成几何直观思维，使其在学习的过程中了解尺规作图这种方式能作出哪些具体的图形，继而在自己动手用尺规进行作图的过程中明确作图有哪些步骤，每一个步骤能够带来什么样的结果，培养空间想象能力。

以人教版四年级下册“三角形”教学为例，教师可以给定能够组成一个三角形的三条线段，让学生运用直尺和圆规两种工具，通过画圆弧找交点的方式将这三条线段组合到一起，得到一个三角形，以此了解线段和图形之间的互相转化。在这个过程之中，教师可以引导学生探究什么样的三条线段组合到一起能够形成一个三角形，自行归纳总结这三条线段之间的关系并找寻其中的规律，以对三角形的组成和特点拥有更加深刻的认识。

（三）锻炼学生的逻辑思维能力

数学具有逻辑性和思维性特点，于学生的逻辑思维能力有一定要求。尺规作图并非单纯绘制图形即可，还需要学生能够根据自己绘制的图形来探索和解决实际的问题。在数学学科教学中，教会学生如何思考、如何独立推理是教师教学任务的一项重要目标。

以人教版六年级上册“圆”教学为例，该单元内容有让学生利用尺规作图在圆内绘制一些图形的章节。在作图之前，学生需要先在脑海中构思大概的形状，再确定作图的每一个步骤，最后在确定图形具体的位置和大小后才能真正开始动手绘制。此过程存在循序渐进的关系，具有一定的逻辑性。在实际的教学过程中，教师在教会学生正确利用尺规进行作图的同时，也可以引导学生一同探讨为什么要按照这样的模式进行作图，引导学生进行推理和思考，进一步培养学生的推理能力和逻辑思维能力。

三、小学数学尺规作图教学现状

学习是要学会利用学习到的知识来探索世界，解决生活中可能遇到的相关问题，将学习与生活结合起来，让书本知识不只是一种书本上的形式。尺规作图是一种相对来说比较容易理解的实验方法，在小学数学教学中引入尺规作图不仅是《课标（2022年版）》对小学生提出的要求，培养学生的创新能力和独立思考能力有助于其成为社会所需的创新型人才，顺应未来社会经济的发展趋势，符合当前社会发展的需要。

（一）新课标中对小学数学尺规作图的要求

《课标（2022年版）》明确了义务教育阶段对人才培养的要求，也对具体课程的实施要求进行细化，以培养学生各项素质为本确定了多项具体要求。《课标（2022 年版）》要求小学中段的学生学会使用直尺和圆规作与已知线段等长的线段、在给定边长的情况下作出等边三角形、将三角形的三条边画到同一直线上研究三角形周长；还要求小学高段的学生学会利用圆规画圆、在利用尺规作三角形的过程中探索三角形三条边长之间的关系。

相较于之前，《课标（2022 年版）》在对小学阶段的尺规作图学习方面，不仅强调要让学生在学会如何作图的同时了解其背后的依据，让学生一边动手一边学习，重视学生综合素质的培养，也更加注重小学与初中阶段知识之间的衔接性，旨在为学生初中阶段的学习打下坚实的基础。

（二）小学数学教学中尺规作图的难点

限于小学生的逻辑思维发展和认知水平的发展，小学生认知社会的方式主要处于观察和分析阶段，对于年级相对较低的学生来说，学习尺规作图是一种挑战。这种挑战主要在于低年级的学生对一些已经确定了的数学概念还不了解，在学习过程中缺乏一定的常识基础，使用直尺和圆规时无法发挥工具的作用。同时，低年级的小学生的精力旺、思维比较跳脱和活跃，课堂上容易走神，跟不上课堂节奏，有时候还可能出现把工具当玩具的情况，对自身学习和理解课堂知识起不到帮助。

四、小学数学教学中尺规作图的教学策略

学生是教学的主体，教师则是课堂的引导者，肩负引导学生开展学习的重要任务。学生对几何图形的认识和学习是对具体和抽象概念的理解，尺规作图能够帮助学生积累将抽象的概念在脑海中构建具体模型的经验，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

（一）将问题的提出和解决融入实际教学过程

小学生在学习过程中最大的问题就是缺乏主动性，需要教师在课前提出指导、课时抛出问题、课后解决问题，让学生能够跟着老师的思路开展思考和归纳总结。虽然学习尺规作图的重点是要让学生进行自主探究，自己动手实际操作，但教师仍然不能将课堂主导权完全交到学生手里，而是要在以学生为主体的基础上调动学生的学习积极性，让学生成为课堂主人的同时潜移默化地为学生指明探究方向。提出问题和解决问题向来是小学数学课堂教学过程中主要的教学方式，无论是在培养学生动手能力层面还是锻炼学生逻辑思维能力层面，都离不开这两个过程。学生在通过尺规作图解决问题的过程中，可以获得一定的成就感和满足感这种获得感能反向激起自身的学习热情和思考动力。

（二）注重推理和思考的过程

学习的过程、思路和方法不具备唯一性，受学生个人思维水平的影响较深。学生在使用尺规作图的方法学习数学知识时，受个人综合能力影响会呈现不同的作图方法，这种“不唯一性”体现了学生之间在推理和思考过程中的差异。推理和思考不是学生脑海中与生俱来的能力，而是在后期的学习和生活中通过各项活动锻炼得来。

作为一名小学阶段的数学教师，在教学时不应仅关注最后的结果和答案是否正确，而是注重学习过程，分析学生的计算过程是否存在问题和遗漏，用加强过程分析反作用于最后结果。在尺规作图教学过程中，教师可以将多种作图方式按照从随意到严谨的顺序呈现，重点写出各种作图方式的推理过程，引导学生思考这几种作图方式各自的优势和不足，进一步理解为什么要按照已定的步骤进行作图、为什么不能省略推理过程，让学生在思考的同时加深对知识的印象，进而提升课堂教学效果。同时，教师对尺规作图的认识也不能只停留在一个知识点的表象上，而是要把尺规作图当作一种探究数学魅力的方法，将具体过程“揉碎”后再教给学生，便于学生理解和消化。

（三）根据学生的实际情况设计教学内容

教师要以学生为本，在教学内容设计方面遵循整体性和循序渐进性原则，让学生在实践操作中不断夯实数学基础。学生的认知能力和思维水平随着年级增长逐步发展，不同年级对于相同或类似的知识点的认识和理解能力各有不同。

教师在教学内容设计方面根据学生认知能力和思维能力发展的规律，大致可以分为三个阶段：一是从经验积累出发，先让学生能够认识和熟悉工具的基础应用；二是让学生对尺规作图产生初步的了解和探索，主动尝试思考；三是拓展和应用。鼓励学生在作图时能够发挥想象力，体会和理解不同图形所蕴含的数学知识，对数学有深入的认识。死记硬背的知识容易在时间的流逝中逐渐被遗忘，但在学习过程中学会的方法和养成的习惯不容易被遗忘，这也是用尺规作图培养学生综合素养的一种印证。

（四）注重给予学生反馈和评价

在学习过程中，教师的评价和反馈能够对学生最后的学习效果产生影响，尺规作图这种需要学生积极参与实践操作的教学方式更需要教师的不断激励和认可。教师的评价和反馈能够代表教师对学生的关注度，对于学习主动性不强的学生来说，这种关注能够诱导他们参与到课堂教学活动中，帮助他们养成好的学习习惯。除此之外，同学之间的互相评价既能加强学生之间的互动和交流，也能获得同龄人的认可，对于小学生来说，这种满足感和获得感是他人无法给予的，对小学生的学习热情和积极性能产生积极的影响。

五、结语

综上所述，小学阶段是夯实数学学科基础、培养学习能力和个人逻辑思维能力的重要阶段。尺规作图于学生个人能力的培养、思维和认知能力的发展而言有所裨益。在图形与几何教学过程中，教师应充分挖掘尺规作图的教育价值，将其应用于日常教学活动中，时刻谨记自身作为引导者的身份，为学生提供一定的指导，帮助学生学会正确运用尺规作图法解决数学问题和生活问题，以达到提升学生综合素养的教学目标。