融合尺规作图教学 助力学生素养发展

朱燕

【教学内容】

人教版四年级下册第五单元“三角形”中的“三角形的三边关系”。

【设计理念】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》新增了“会用直尺和圆规作三角形，探索三角形的三边关系，并说出其中道理”的要求，意在让学生把头脑中想象的图形画出来，在画图过程中逐步发展核心素养。在本课的学习中，作图前学生的想象，是孕育空间观念的摇篮；作图时留下的痕迹，是学生思考过程的体现；作图后进行观察验证，是发展几何直观和推理意识的最佳时机。

【教学目标】

1.理解三角形的三边关系，能用三边关系解决实际问题或解释生活现象。

2.在尺规作图的操作中，积累“判断三条线段能否围成三角形”的活动经验，经历“猜想—操作—验证”的过程，发展空间观念、几何直观和推理意识。

3.体会数学与生活的联系，提高学习兴趣。

【教学重点】知道三角形的三边关系，会用三边关系解决简单的实际问题。

【教学难点】理解三角形的三边关系，能灵活解决生活问题或解释生活现象。

【教学流程】

一、情境导入，猜想三角形的三边关系

师：如图所示，小明从家去学校，走哪条路更近呢？为什么？（出示教材例3主题图）

学生通过观察、测量、讨论，得出答案——直着走最近。

小结：两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。

师：根据这一结论，想一想小明从家到邮局哪条路最近？从学校到邮局呢？这三条路刚好围成了三角形，你发现这个三角形的三条边有什么关系吗？

预设：三角形任意两边之和大于第三边。

师：是不是所有的三角形三条边都有这样的关系呢？今天这节课我们就一起来研究三角形的三边关系。

（板书课题）

二、尺规作图，验证三角形的三边关系

（一）出示线段，学习尺规作图的验证方法

1.猜想三条线段能否围成三角形。

师：这里有3条不同长度的线段（3cm、5cm、6cm，图略）。请同学们想象一下，如果我们用圆规先截取最长的一条，在纸张的空白处画出同样长的线段，然后以这条线段为基准，再用圆规截取、画出另外两条线段，它们能围成三角形吗？

2.画图验证，总结尺规作图的验证方法。

师：老师给你们每人一把直尺和一副圆规，你能用画一画的方法来验证它们能否围成三角形吗？

学生画图验证，教师巡视指导。

汇报：谁愿意来介绍你是怎么画图验证的？

学生一边展示自己的画图作品，一边描述作图方法。

追问：其他同学听懂他的方法了吗？

小结尺规作图的验证方法：（1）先用圆规截取最长线段的长度，与直尺配合在空白處画出同样长的线段a。（2）用圆规截取第二条线段的长度，针尖对准线段a的一端画出圆弧，则针尖到圆弧任意一点的距离就是这条线段的长度。（3）用圆规截取第三条线段的长度，针尖对准线段a的另一端画出圆弧。若两个圆弧有交点，且交点在直线外，则能连线画出三角形；若两个圆弧的交点在直线上或没有交点，则无法连线，不能围成三角形。

（二）尺规操作，归纳推理三角形的三边关系

师：你们都学会这种验证方法了吗？那这4组线段能否围成三角形？请同学们四人小组分工合作，利用尺规画一画验证。（出示教材例4）

追问：为什么第二组和第三组都围不成三角形？

预设：因为两边之和等于第三边，会重合；两边之和小于第三边，够不着会断开。

追问：既然两边之和小于或等于第三边都围不成三角形，那三条边必须满足什么条件才能围成三角形呢？

追问：三角形任意两边之和大于第三边的“任意”能否省略呢？

四人小组讨论，按顺序依次表达自己的想法，形成结论，由组长总结汇报。

预设：不能省略。第二组和第三组就是反例。两

边之和大于第三边，有可能围不成三角形。

反例1：4+9>5，5+9>4，4+5=9。（图略）

反例2：3+10>6，6+10>3，3+6<10。（图略）

小结：“任意”不能省略。

（三）深入验证：演绎推理三角形的三边关系

师：虽然这4组线段中，只有“任意两边之和大于第三边才能围成三角形”，那是不是所有三角形任意两边之和都大于第三边？有什么好办法进行验证吗？

方法1：合情推理，画出多个三角形，先量一量、比一比，再通过计算验证。（图略）

方法2：演绎推理，利用“两点之间，线段最短”的基本事实进行验证。因为“两点之间，线段最短”，所以a+b>c，a+c>b，b+c>a，即三角形任意两边之和大于第三边。

追问：这几种验证方法中，你们更信服哪种验证方法？说一说理由。

预设：更信服第二种验证方法，因为它能证明所有三角形都符合三角形三边关系，第一种举例子的方法不完整，因为例子是举不完的。

小结：举例子的方法属于合情推理，这种推理可用来发现规律，但不能证明规律，因为例子是举不完的。而根据“两点之间，线段最短”的基本事实证明三角形的三边关系属于演绎推理，可以用来证明规律。

三、联系生活，应用三角形的三边关系

（一）学以致用，解释生活中的现象

师：同学们，我们已经知道了三角形的三边关系，你能解释这些生活中的现象吗？（四人小组分工合作）

小结：前两幅图，人们虽然运用了三角形三边关系走了捷径，但第一幅图中的游客破坏了环境，第二幅图中的叔叔有生命危险，是不可取的。第三、四幅图中描述的事件合理利用了三角形的三边关系，为我们的生活带来了便利和好处，我们要像这样合理运用知识造福世界，便捷生活！

（二）解决问题，对比提炼简便方法

师：工人叔叔有三根铁棒（长度为3cm、4cm和6cm），他能否将其焊接成一个三角形？为什么？

预设：这三根铁棒能焊接成一个三角形。

方法1：尺规作图。

方法2：因为3+4>6，4+6>3，3+6>4，所以能围成三角形。

方法3：只要判断3+4>6就可以了，因为4+6>3，3+6>4，必然成立，所以只要判断“较短”两边之和大于第三边，就能判断三根铁棒能围成三角形。

师：你们更喜欢哪种方法？说一说理由。

小结：“三角形任意两边之和大于第三边”是三角形三条边的本质关系，比较“较短两边之和是否大于第三边”是判断三条线段能否围成三角形的简便方法。

四、推理想象，拓展三角形的三边关系

出示题目：已知三角形两条边分别是5 cm和8 cm，第三条边可能是多长？

第一层次：结合实例，尝试推演有限个数的整数结果。

师：怎样验证这些答案是否正确？

预设：计算验证或尺规作图验证。

第二层次：想象、理解无限个数的数学结果。

师：请同学们想象一下，把这些图中8cm的这条边合并在一起会怎样？

学生思考后，出示图2。

追问：仔细观察这幅图，你有什么发现？

第三层次：动态展示，形成更深层的三角形三边关系。

师：是这样吗？我们让这幅图动起来。（课件展示：动态的三角形）

追问：看了动态的三角形，你又有什么发现？

小结：是的，当三角形两条边的长度固定不变时，不管三角形的第三条边怎么变，都一定满足“两边之差<第三边<两边之和”。（如图3所示）

五、课堂总结，了解学生的收获与体会

师：这节课你有什么收获？回想一下我们是如何探究三角形的三边关系的？